Giải SGK Toán 12 Tính nguyên hàm và tích phân với phần mềm Geogebra. Tính gần đúng tích phân bằng phương pháp hình thang

Khởi động phần mềm Geogebra, chọn Complex Adaptive System (CAS) để thực hiện tính toán nguyên hàm và tích phân.

a) Để tính $\int \frac{{x}^{2}-2x+2}{x+1}dx$, ta dùng lệnh IntegralSymbolic($\frac{{x}^{2}-2x+2}{x+1}$), kết quả sẽ được hiển thị ngay bên dưới như hình sau:

Vậy $\frac{{x}^{2}-2x+2}{x+1}$ = 5ln|x + 1| + $\frac{1}{2}$x$^{2}$ – 3x + C.

b) Để tính gần đúng tích phân $\int _{0}^{\frac{π}{2}}{e}^{x}\cos 2xdx$, ta dùng lệnh Nintegral(e$^{x}$cos2x, 0, $\frac{π}{2}$), kết quả sẽ được hiển thị ngay bên dưới như hình sau:

Vậy $\int _{0}^{\frac{π}{2}}{e}^{x}\cos 2xdx$ ≈ – 1,16.

1. Ta có: $f(x)=\frac{{e}^{x}}{x}$;

${f}^{'}(x)={(\frac{{e}^{x}}{x})}^{'}=\frac{{e}^{x}\cdot x-{e}^{x}}{{x}^{2}}=(\frac{1}{x}-\frac{1}{{x}^{2}}){e}^{x};$

${f}^{''}(x)={[(\frac{1}{x}-\frac{1}{{x}^{2}}){e}^{x}]}^{'}=(\frac{1}{x}-\frac{2}{{x}^{2}}+\frac{2}{{x}^{3}}){e}^{x}$

${{{f}^{'}}^{'}}^{'}(x)={[(\frac{1}{x}-\frac{2}{{x}^{2}}+\frac{2}{{x}^{3}}){e}^{x}]}^{'}=(\frac{1}{x}-\frac{3}{{x}^{2}}+\frac{6}{{x}^{3}}-\frac{6}{{x}^{4}}){e}^{x}$

f*'''*(x) = 0 thì x ≈ 1,596.

Ta có f*''(1) = e; f''(1,596) ≈ 0,333 ∙ e$^{1{,}569}$; f''*(2) = $\frac{{e}^{2}}{4}$.

Do đó, $M=\underset{x\in [1;2]}{\max }|{f}^{''}(x)|=e$.

2. Ta cần tìm n sao cho:$\frac{{(2-1)}^{3}\cdot e}{12{n}^{2}}<0{,}01\Leftrightarrow \frac{e}{12{n}^{2}}<0{,}01\Leftrightarrow n>\sqrt{\frac{25e}{3}}$.

Do đó, ta chọn n = 5.

3. Chia đoạn [1; 2] thành 5 đoạn có độ dài bằng nhau là [1; 1,2], [1,2; 1,4], [1,4; 1,6], [1,6; 1,8], [1,8; 2].

Áp dụng công thức hình thang, ta có: $\int _{1}^{2}\frac{{e}^{x}}{x}dx$$\approx \frac{2-1}{2\cdot 5}[\frac{{e}^{1}}{1}+2\cdot \frac{{e}^{1{,}2}}{1{,}2}+2\cdot \frac{{e}^{1{,}4}}{1{,}4}+2\cdot \frac{{e}^{1{,}6}}{1{,}6}+2\cdot \frac{{e}^{1{,}8}}{1{,}8}+\frac{{e}^{2}}{2}]$ ≈ 3,065.

Thể tích gần đúng của thân cây đã cho là $V=\int _{0}^{480}S(x)dx$.

Ta chia đoạn [0; 480] thành n = 8 đoạn con có độ dài bằng nhau, mỗi đoạn có độ dài là 60. Các đoạn đó là: [0; 60], [60; 120], [120; 180], [180; 240], [240; 300], [300; 360], [360; 420], [420; 480].

Áp dụng công thức hình thang, ta có:

$V=\int _{0}^{480}S(x)dx$$\approx \frac{480-0}{2\cdot 8}$(240 + 2 ∙ 248 + 2 ∙ 256 + 2 ∙ 260 + 2 ∙ 264 + 2 ∙ 272 + 2 ∙ 298

+ 2 ∙ 316 + 320] = 131 640 (cm$^{3}$) = 0,13164 (m$^{3}$).