Giải SGK Toán 12 CTST Bài tập cuối chương 5 có đáp án

Đáp án đúng là: D

Mặt phẳng (P): x + 2y + 3z – 1 = 0 có một vectơ pháp tuyến là $\overrightarrow {{n_4}} = \left( {1;2;3} \right)$.

Đáp án đúng là: B

Mặt phẳng (Oyz) có phương trình là x = 0.

Đáp án đúng là: C

Mặt phẳng đi qua điểm M(1; 2; −3) và có vectơ pháp tuyến $\overrightarrow n = \left( {1; - 2;3} \right)$ có phương trình là: (x – 1) – 2(y – 2) + 3(z + 3) = 0 Û x – 2y + 3z + 12 = 0.

Đáp án đúng là: A

Ta có $d\left( {A,(P)} \right) = \frac{{\left| {3.1 + 4.\left( { - 2} \right) + 2.3 + 4} \right|}}{{\sqrt {{3^2} + {4^2} + {2^2}} }} = \frac{5}{{\sqrt {29} }}$.

Đáp án đúng là: C

Mặt phẳng (α), (β), (γ) có vectơ pháp tuyến lần lượt là

$\overrightarrow {{n_\alpha }} = \left( {1;1;2} \right),\overrightarrow {{n_\beta }} = \left( {1;1; - 1} \right),\overrightarrow {{n_\gamma }} = \left( {1; - 1;0} \right)$.

Có $\overrightarrow {{n_\alpha }} .\overrightarrow {{n_\beta }} = 1.1 + 1.1 + 2.\left( { - 1} \right) = 0$. Do đó (α) ^ (β).

Có $\overrightarrow {{n_\beta }} .\overrightarrow {{n_\gamma }} = 1.1 + 1.\left( { - 1} \right) + \left( { - 1} \right).0 = 0$. Do đó (γ) ^ (β).

Có $\overrightarrow {{n_\alpha }} .\overrightarrow {{n_\gamma }} = 1.1 + 1.\left( { - 1} \right) + 2.0 = 0$. Do đó (α) ^ (γ).

Có $\overrightarrow {{n_\alpha }}$ và $\overrightarrow {{n_\beta }}$ không cùng phương với nhau nên hai mặt phẳng này không song song.

Đáp án đúng là: C

Đường thẳng $\frac{{x - 2}}{{ - 1}} = \frac{{y - 1}}{2} = \frac{{z + 3}}{1}$ có một vectơ chỉ phương là $\overrightarrow {{u_3}} = \left( { - 1;2;1} \right)$.

Đáp án đúng là: B

Đường thẳng d: $\left\{ \begin{array}{l}x = 1 + 2t\\y = 3t\\z = - 2 + t\end{array} \right.$ có phương trình chính tắc là $\frac{{x - 1}}{2} = \frac{y}{3} = \frac{{z + 2}}{1}$.

Đáp án đúng là: A

Đường thẳng d có vectơ chỉ phương là $\overrightarrow {{a_1}} = \left( {2; - 1; - 1} \right)$.

Đường thẳng d$_{1}$ có vectơ chỉ phương là $\overrightarrow {{a_2}} = \left( {3;1;5} \right)$.

Ta có $\overrightarrow {{a_1}} .\overrightarrow {{a_2}} = 2.3 + \left( { - 1} \right).1 + \left( { - 1} \right).5 = 0$. Do đó d ^ d$_{1}$.

Đáp án đúng là: A

Mặt phẳng (P) có vectơ pháp tuyến $\overrightarrow {{n_1}} = \left( {2; - 1; - 1} \right)$.

Mặt phẳng (Q) có vectơ pháp tuyến $\overrightarrow {{n_2}} = \left( {1;0; - 1} \right)$.

$\cos \left( {\left( P \right),\left( Q \right)} \right) = \frac{{\left| {2.1 + \left( { - 1} \right).0 + \left( { - 1} \right).\left( { - 1} \right)} \right|}}{{\sqrt {{2^2} + {{\left( { - 1} \right)}^2} + {{\left( { - 1} \right)}^2}} .\sqrt {{1^2} + {{\left( { - 1} \right)}^2}} }} = \frac{3}{{2\sqrt 3 }} = \frac{{\sqrt 3 }}{2}$.

Suy ra ((P), (Q)) = 30°.

Đáp án đúng là: A

Mặt cầu (S): (x + 1)$^{2}$ + (y – 2)$^{2}$ + (z – 1)$^{2}$ = 9 có tâm I(−1; 2; 1) và R = 3.

Đáp án đúng là: C

Bán kính của mặt cầu là $IA = \sqrt {{{\left( { - 3 + 3} \right)}^2} + {0^2} + {{\left( {0 - 4} \right)}^2}} = 4$.

Mặt cầu tâm I(−3; 0; 4) và R = 4 có phương trình là (x + 3)$^{2}$ + y$^{2}$ + (z − 4)$^{2}$ = 16.

a) Ta có phương trình đoạn chắn của mặt phẳng (ABC) là:

$\frac{x}{1} + \frac{y}{1} + \frac{z}{1} = 1$ Û x + y + z – 1 = 0.

Thay tọa độ điểm D vào phương trình mặt phẳng (ABC) ta được:

−2 + 1 −1 −1 = −3 ≠ 0 nên D Ï (ABC).

Do đó A, B, C, D không đồng phẳng.

Suy ra A, B, C, D là bốn đỉnh của một hình chóp.

b) Đường thẳng AB nhận $\overrightarrow {AB} = \left( { - 1;1;0} \right)$ làm vectơ chỉ phương.

Đường thẳng CD nhận $\overrightarrow {CD} = \left( { - 2;1; - 2} \right)$ làm vectơ chỉ phương.

$\cos \left( {AB,CD} \right) = \frac{{\left| {\left( { - 1} \right).\left( { - 2} \right) + 1.1 + 0.\left( { - 2} \right)} \right|}}{{\sqrt {{{\left( { - 1} \right)}^2} + {1^2}} .\sqrt {{{\left( { - 2} \right)}^2} + {1^2} + {{\left( { - 2} \right)}^2}} }} = \frac{3}{{3\sqrt 2 }} = \frac{1}{{\sqrt 2 }}$.

Suy ra (AB, CD) = 45°.

c) Có $\overrightarrow {BC} = \left( {0; - 1;1} \right)$, $\overrightarrow {CD} = \left( { - 2;1; - 2} \right)$, $\left[ {\overrightarrow {BC} ,\overrightarrow {CD} } \right] = \left( {1; - 2; - 2} \right)$.

Mặt phẳng (BCD) đi qua B(0; 1; 0) và nhận $\overrightarrow n = \left[ {\overrightarrow {BC} ,\overrightarrow {CD} } \right] = \left( {1; - 2; - 2} \right)$ làm vectơ pháp tuyến có phương trình là x – 2(y – 1) – 2z = 0 Û x – 2y – 2z + 2 = 0.

Đường cao của hình chóp A.BCD chính là khoảng cách từ A đến mặt phẳng (BCD).

Ta có $d\left( {A,\left( {BCD} \right)} \right) = \frac{{\left| {1 + 2} \right|}}{{\sqrt {{1^2} + {{\left( { - 2} \right)}^2} + {{\left( { - 2} \right)}^2}} }} = 1$.

a) Ta có $\overrightarrow {BC} = \left( { - 1;2; - 7} \right),\overrightarrow {BD} = \left( {0;4; - 6} \right)$, $\left[ {\overrightarrow {BC} ,\overrightarrow {BD} } \right] = \left( {16; - 6; - 4} \right)$

Mặt phẳng (BCD) đi qua B(1; 0; 6) và nhận $\overrightarrow n = \frac{1}{2}\left[ {\overrightarrow {BC} ,\overrightarrow {BD} } \right] = \left( {8; - 3; - 2} \right)$ có phương trình là 8(x – 1) – 3y – 2(z – 6) = 0 Û 8x – 3y – 2z + 4 = 0.

Thay tọa độ điểm A vào phương trình mặt phẳng (BCD) ta được:

8.(−2) – 3.6 – 2.3 + 4 = −36 ≠ 0.

Do đó A Ï (BCD). Suy ra ABCD là một tứ diện.

b) Ta có $AH = d\left( {A,\left( {BCD} \right)} \right) = \frac{{\left| {8.\left( { - 2} \right) - 3.6 - 2.3 + 4} \right|}}{{\sqrt {{8^2} + {{\left( { - 3} \right)}^2} + {{\left( { - 2} \right)}^2}} }} = \frac{{36}}{{\sqrt {77} }}$.

c) Ta có $\overrightarrow {AB} = \left( {3; - 6;3} \right)$ và $\overrightarrow {CD} = \left( {1;2;1} \right)$, $\left[ {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {CD} } \right] = \left( { - 12;0;12} \right)$.

Mặt phẳng (α) đi qua A(−2; 6; 3) và nhận $\overrightarrow n = - \frac{1}{{12}}\left[ {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {CD} } \right] = \left( {1;0; - 1} \right)$ có phương trình là (x + 2) – (z – 3) = 0 Û x – z + 5 = 0.

Gọi (α): z – 4 = 0.

Ta có $d\left( {M,\left( \alpha \right)} \right) = \frac{{\left| {24 - 4} \right|}}{{\sqrt {{1^2}} }} = 20$.

Vì điểm H(2; −1; −2) là hình chiếu vuông góc của gốc tọa độ O(0; 0; 0) xuống mặt phẳng (Q) nên mặt phẳng (Q) nhận $\overrightarrow {OH} = \left( {2; - 1; - 2} \right)$ làm một vectơ pháp tuyến.

Mặt phẳng (P) có một vectơ pháp tuyến là $\overrightarrow n = \left( {1; - 1;0} \right)$.

$\cos \left( {\left( P \right),\left( Q \right)} \right) = \frac{{\left| {2.1 + \left( { - 1} \right).\left( { - 1} \right) + \left( { - 2} \right).0} \right|}}{{\sqrt {{1^2} + {{\left( { - 1} \right)}^2}} .\sqrt {{2^2} + {{\left( { - 1} \right)}^2} + {{\left( { - 2} \right)}^2}} }} = \frac{3}{{3\sqrt 2 }} = \frac{1}{{\sqrt 2 }}$.

Suy ra ((P), (Q)) = 45°.

a) Ta có A(70; 0; 0), B(70; 0; −60), C(70; 80; 0), D(50; 0; 0).

b) Ta có $\overrightarrow {AB} = \left( {0;0; - 60} \right),\overrightarrow {AC} = \left( {0;80;0} \right)$, $\left[ {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AC} } \right] = \left( {4800;0;0} \right)$.

Mặt phẳng (ABC) đi qua A(70; 0; 0), nhận $\overrightarrow n = \frac{1}{{4800}}\left[ {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AC} } \right] = \left( {1;0;0} \right)$ có phương trình là x – 70 = 0.

Có $\overrightarrow {AC} = \left( {0;80;0} \right)$, $\overrightarrow {AD} = \left( { - 20;0;0} \right)$, $\left[ {\overrightarrow {AC} ,\overrightarrow {AD} } \right] = \left( {0;0;1600} \right)$.

Mặt phẳng (ACD) đi qua A(70; 0; 0), nhận $\overrightarrow n = \frac{1}{{1600}}\left[ {\overrightarrow {AC} ,\overrightarrow {AD} } \right] = \left( {0;0;1} \right)$ có phương trình là z = 0.

c) Đường thẳng AC đi qua A(70; 0; 0) và nhận $\overrightarrow a = \frac{1}{{80}}\overrightarrow {AC} = \left( {0;1;0} \right)$ có phương trình tham số là $\left\{ \begin{array}{l}x = 70\\y = t\\z = 0\end{array} \right.$.

d) $d\left( {M,\left( {ABC} \right)} \right) = \frac{{\left| {0 - 70} \right|}}{{\sqrt {{1^2}} }} = 70$.

a) Mặt phẳng đoạn chắn của (O'AC) là $\frac{x}{2} + \frac{y}{6} + \frac{z}{4} = 1$ Û 6x + 2y + 3z – 12 = 0.

b) Đường thẳng CO' đi qua C(0; 6; 0) nhận $\frac{1}{2}\overrightarrow {CO'} = \left( {0; - 3;2} \right)$ làm vectơ chỉ phương có phương trình là $\left\{ \begin{array}{l}x = 0\\y = 6 - 3t\\z = 2t\end{array} \right.$.

c) Mặt cầu đi qua các đỉnh của hình hộp có tâm I là trung điểm của O'B và bán kính IO'.

Có B(2; 6; 0), O'(0; 0; 4). Suy ra I(1; 3; 2) và $IO' = \sqrt {{{\left( { - 1} \right)}^2} + {{\left( { - 3} \right)}^2} + {{\left( {4 - 2} \right)}^2}} = \sqrt {14}$.

Phương trình mặt cầu là: (x – 1)$^{2}$ + (y – 3)$^{2}$ + (z – 2)$^{2}$ = 14.

MA$^{2}$ = MB$^{2}$ + MC$^{2}$

Û (x – 1)$^{2}$ + y$^{2}$ + z$^{2}$ = x$^{2}$ + (y – 2)$^{2}$ + z$^{2}$ + x$^{2}$ + y$^{2}$ + (z – 3)$^{2}$

Û x$^{2}$ – 2x + 1 + y$^{2}$ + z$^{2}$ = x$^{2}$ + y$^{2}$ – 4y + 4 + z$^{2}$ + x$^{2}$ + y$^{2}$ + z$^{2}$ – 6z + 9

Û x$^{2}$ + 2x + 1 + y$^{2}$ – 4y + 4 + z$^{2}$ – 6z + 9 – 2 = 0

Û (x + 1)$^{2}$ + (y – 2)$^{2}$ + (z – 3)$^{2}$ = 2.

Do đó M luôn thuộc vào mặt cầu S với tâm I(−1; 2; 3) và $R = \sqrt 2$.