Giải SGK Toán 12 CTST Bài tập cuối Chương 1 có đáp án

Đáp án đúng là: A

Quan sát Hình 1, ta thấy trên khoảng (5; + ∞), đồ thị hàm số đi lên từ trái qua phải nên hàm số đồng biến trên khoảng đó.

Đáp án đúng là: B

Quan sát Hình 1, ta thấy trên khoảng (0; 3), đồ thị hàm số đi lên từ trái qua phải nên hàm số đồng biến trên khoảng đó, suy ra y' > 0 với x ∈ (0; 3); trên khoảng (3; 5) đồ thị hàm số đi xuống từ trái qua phải nên hàm số nghịch biến trên khoảng đó, suy ra y*'* < 0 với x ∈ (3; 5), vậy tại điểm x = 3, đạo hàm y*'* đổi dấu từ dương sang âm nên hàm số đạt cực đại tại điểm x = 3.

Đáp án đúng là: B

Xét hàm số $y=\frac{{x}^{2}-4x+1}{x-4}$.

Tập xác định: D = ℝ\{4}.

Đạo hàm ${y}^{'}=\frac{(2x-4)(x-4)-{x}^{2}+4x-1}{{(x-4)}^{2}}=\frac{{x}^{2}-8x+15}{{(x-4)}^{2}}$.

Ta có y*'* = 0 ⇔ x = 3 hoặc x = 5.

Bảng biến thiên:

Từ bảng biến thiên, suy ra hàm số đạt cực tiểu tại x = 5, giá trị cực tiểu là y = 6.

Đáp án đúng là: C

Quan sát Hình 2, ta thấy trên khoảng (1; 5), đồ thị của hàm số f*'(x) nằm phía dưới trục Ox, do đó f'*(x) < 0 với mọi x ∈ (1; 5), vậy hàm số y = f(x) nghịch biến trên khoảng (1; 5).

Ta có a + b = 10, suy ra b = 10 – a.

Vì a, b ≥ 0 nên 10 – a ≥ 0, suy ra a ≤ 10.

a) Ta có ab = a(10 – a) = – a$^{2}$ + 10a.

Xét hàm số H(a) = – a$^{2}$ + 10a với a ∈ [0; 10].

Đạo hàm H*'(a) = – 2a + 10. Trên khoảng (0; 10), H'*(a) = 0 khi a = 5.

H(0) = 0; H(5) = 25; H(10) = 0.

Do đó, $\underset{[0;\ 10]}{\max }H(a)=25$ tại a = 5.

Với a = 5 thì b = 10 – 5 = 5.

Vậy biểu thức ab đạt giá trị lớn nhất bằng 25 khi a = b = 5.

b) Ta có a$^{2}$ + b$^{2}$ = a$^{2}$ + (10 – a)$^{2}$ = 2a$^{2}$ – 20a + 100.

Xét hàm số S(a) = 2a$^{2}$ – 20a + 100 với a ∈ [0; 10].

Đạo hàm S*'(a) = 4a – 20. Trên khoảng (0; 10), S'*(a) = 0 khi a = 5.

S(0) = 100; S(5) = 50; S(10) = 100.

Do đó, $\underset{[0;\ 10]}{\min }S(a)=50$ tại a = 5.

Vậy tổng các bình phương của hai số a và b đạt giá trị nhỏ nhất bằng 50 khi a = b = 5.

Giả sử hàm số bậc ba cần tìm có dạng y = f(x) = ax$^{3}$ + bx$^{2}$ + cx + d (a ≠ 0).

Quan sát Hình 3, ta thấy đồ thị hàm số đi qua các điểm (0; 5), (1; 1) và (3; 5).

Với x = 0 thì y = 5, thay vào hàm số ta suy ra d = 5.

Khi đó hàm số trở thành y = f(x) = ax$^{3}$ + bx$^{2}$ + cx + 5.

Với x = 1 thì y = 1, thay vào hàm số ta được a + b + c + 5 = 1 (1).

Ta thấy đồ thị hàm số có hai điểm cực trị là (1; 1) và (3; 5), tức là phương trình y*'* = 0 có hai nghiệm là x = 1 và x = 3.

Ta có y*'* = 3ax$^{2}$ + 2bx + c.

Với x = 1 thì y*'* = 0 nên ta có 3a + 2b + c = 0 (2).

Với x = 3 thì y*'* = 0 nên ta có 27a + 6b + c = 0 (3).

Từ (1), (2) và (3) ta suy ra a = – 1; b = 6; c = – 9.

Vậy hàm số cần tìm là y = f(x) = – x$^{3}$ + 6x$^{2}$ – 9x + 5.

b) Hai điểm cực trị của đồ thị hàm số là (0; 4) và $(2;\ \frac{8}{3})$.

Khoảng cách giữa hai điểm cực trị của đồ thị hàm số là $d=\sqrt{{(2-0)}^{2}+{(\frac{8}{3}-4)}^{2}}=\frac{4\sqrt{10}}{3}$.

b) Ta có A(0; – 1), I(1; 2).

Vì B đối xứng với A qua I nên I là trung điểm của AB.

Khi đó, tọa độ của điểm B là $\{\begin{matrix}{x}_{B}=2{x}_{I}-{x}_{A}=2\cdot 1-0=2 \\ {y}_{B}=2{y}_{I}-{y}_{A}=2\cdot 2-(-1)=5\end{matrix}$. Suy ra B(2; 5).

Ta có $\frac{2\cdot 2+1}{2-1}=5$, do đó điểm B(2; 5) thuộc đồ thị hàm số $y=\frac{2x+1}{x-1}$.

b) Thể tích của khối trụ là V = πr$^{2}$h = $π\cdot {[\frac{5(12-h)}{12}]}^{2}\cdot h=\frac{25πh{(12-h)}^{2}}{144}$ (cm$^{3}$).

Vậy thể tích khối trụ theo h là $V(h)=\frac{25πh{(12-h)}^{2}}{144}$.

c) Rõ ràng h phải thỏa mãn điều kiện 0 < h < 12.

Xét hàm số $V(h)=\frac{25πh{(12-h)}^{2}}{144}$ với h ∈ (0; 12).

Ta có ${V}^{'}(h)=\frac{25π(12-h)(12-3h)}{144}$.

Trên khoảng (0; 12), ta có V*'*(h) = 0 khi h = 4.

Bảng biến thiên:

Căn cứ vào bảng biến thiên, ta thấy trên khoảng (0; 12), hàm số V(h) đạt giá trị lớn nhất bằng $\frac{400π}{9}$ tại h = 4.

Vậy h = 4 cm thì khối trụ có thể tích lớn nhất.

b) Từ câu a), ta thấy trên đoạn [30; 120], giá trị nhỏ nhất của hàm số $\overline{C}(x)$ bằng 10 tại x = 60.

Vậy số phần ăn là 60 thì chi phí trung bình của một phần ăn là thấp nhất.

a) Quan sát đồ thị hàm số ở Hình 6, ta thấy:

- Trên đoạn (0; + ∞), đồ thị hàm số đi xuống từ trái qua phải nên hàm số R(S) nghịch biến trên khoảng đó.

- Ta có $\underset{x\rightarrow +\infty }{\lim }R(S)=0$ nên đường thẳng y = 0 hay trục Ox là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số.

- Ta có $\underset{x\rightarrow {0}^{+}}{\lim }R(S)=+\infty$ nên đường thẳng x = 0 hay trục Oy là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số.

Vậy tiết diện S càng tăng thì điện trở R càng giảm dần về 0.

c) Với S = 0,000169 thì R = 0,001 và theo bài ra ta có ℓ = 10.

Do đó, $0{,}001=ρ\cdot \frac{10}{0{,}000169}$. Suy ra $ρ=1{,}69\cdot {10}^{-8}$.

Vậy dây điện được làm bằng kim loại đồng.