Giải SGK Toán 12 CTST Bài 4. Khảo sát và vẽ đồ thị một số hàm số cơ bản có đáp án

Sau bài học này, ta khảo sát và vẽ đồ thị của hàm số C = C(v).

– Tập xác định: D = (0; 120].

– Sự biến thiên:

+ Chiều biến thiên:

Đạo hàm C*'*(v) = $-\frac{16\ 000}{{v}^{2}}+\frac{5}{2}=\frac{5(v-80)(v+80)}{2{v}^{2}}$;

C*'*(v) = 0 ⇔ v = – 80 (loại) hoặc v = 80.

Trên khoảng (0; 80), C*'*(v) < 0 nên hàm số nghịch biến trên khoảng này.

Trên khoảng (80; 120), C*'*(v) > 0 nên hàm số đồng biến trên khoảng này.

+ Cực trị: Hàm số đạt cực tiểu tại v = 80, C$_{CT}$ = C(80) = 400.

+ Giới hạn vô cực và tiệm cận: $\underset{v\rightarrow {0}^{+}}{\lim }C(v)=\underset{v\rightarrow {0}^{+}}{\lim }(\frac{16\ 000}{v}+\frac{5}{2}v)=+\infty$ nên đường thẳng v = 0 là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số.

+ Bảng biến thiên:

– Đồ thị:

Đồ thị hàm số có điểm cực tiểu (80; 400) và đi qua các điểm (40; 500), (100; 410), $(120;\ \frac{1\ 300}{3})$ như hình dưới đây.

a) Xét hàm số y = – x$^{2}$ + 4x – 3.

Tập xác định: D = ℝ.

Ta có y*'* = – 2x + 4;

y*'* = 0 ⇔ – 2x + 4 = 0 ⇔ x = 2.

Bảng biến thiên:

b) Hàm số đã cho là hàm số bậc hai có hệ số a = – 1 nên đồ thị hàm số là một parabol có bề lõm hướng xuống dưới, có đỉnh I(2; 1), đi qua các điểm (0; – 3), (1; 0), (3; 0) và (4; – 3).

Ta vẽ được đồ thị hàm số như sau:

a) y = – 2x$^{3}$ – 3x$^{2}$ + 1

1. Tập xác định: ℝ.

2. Sự biến thiên:

Chiều biến thiên:

Đạo hàm y*'* = – 6x$^{2}$– 6x; y*'* = 0 ⇔ x = – 1 hoặc x = 0.

Trên các khoảng (– ∞; – 1) và (0; + ∞), y*'* < 0 nên hàm số nghịch biến trên mỗi khoảng đó.

Trên khoảng (– 1; 2), y*'* > 0 nên hàm số đồng biến trên khoảng đó.

Cực trị:

Hàm số đạt cực đại tại x = 0 và y$_{CĐ}$ = 1.

Hàm số đạt cực tiểu tại x = – 1 và y$_{CT}$ = 0.

Các giới hạn tại vô cực: $\underset{x\rightarrow -\infty }{\lim }y=\underset{x\rightarrow -\infty }{\lim }{x}^{3}(-2-\frac{3}{x}+\frac{1}{{x}^{3}})=+\infty ;\ \underset{x\rightarrow +\infty }{\lim }y=\underset{x\rightarrow +\infty }{\lim }{x}^{3}(-2-\frac{3}{x}+\frac{1}{{x}^{3}})=-\infty$.

Bảng biến thiên:

3. Đồ thị:

Khi x = 0 thì y = 1 nên (0; 1) là giao điểm của đồ thị với trục Oy.

Ta có y = 0 ⇔ – 2x$^{3}$ – 3x$^{2}$ + 1 = 0 ⇔ x = – 1 hoặc x = $\frac{1}{2}$.

Vậy đồ thị của hàm số giao với trục Ox tại hai điểm (– 1; 0) và $(\frac{1}{2};\ 0)$.

Điểm (0; 1) là điểm cực đại và điểm (– 1; 0) là điểm cực tiểu của đồ thị hàm số.

Đồ thị của hàm số đã cho được biểu diễn như hình dưới đây.

Đồ thị của hàm số có tâm đối xứng là điểm I$(-\frac{1}{2};\ \frac{1}{2})$.

b) y = x$^{3}$ + 3x$^{2}$ + 3x + 2

1. Tập xác định: ℝ.

2. Sự biến thiên:

Chiều biến thiên:

Đạo hàm y*'* = 3x$^{2}$+ 6x + 3 = 3(x + 1)$^{2}$ ≥ 0 với mọi x ∈ ℝ;

y*'* = 0 ⇔ x = – 1.

Do đó, hàm số đồng biến trên khoảng (– ∞; + ∞).

Hàm số đã cho không có cực trị.

Các giới hạn tại vô cực: $\underset{x\rightarrow -\infty }{\lim }y=\underset{x\rightarrow -\infty }{\lim }{x}^{3}(1+\frac{3}{x}+\frac{3}{{x}^{2}}+\frac{2}{{x}^{3}})=-\infty ;\ \underset{x\rightarrow +\infty }{\lim }y=\underset{x\rightarrow +\infty }{\lim }{x}^{3}(1+\frac{3}{x}+\frac{3}{{x}^{2}}+\frac{2}{{x}^{3}})=+\infty$.

Bảng biến thiên:

3. Đồ thị:

Khi x = 0 thì y = 2 nên (0; 2) là giao điểm của đồ thị với trục Oy.

Ta có y = 0 ⇔ x$^{3}$ + 3x$^{2}$ + 3x + 2 = 0 ⇔ x = – 2.

Vậy đồ thị của hàm số giao với trục Ox tại điểm (– 2; 0).

Đồ thị của hàm số đi qua các điểm (– 2; 0), (– 1; 1) và (0; 2).

Đồ thị của hàm số đã cho được biểu diễn như hình dưới đây.

Đồ thị của hàm số có tâm đối xứng là điểm I(– 1; 1).

3. Đồ thị:

Đồ thị hàm số giao với trục Ox tại điểm (– 1; 0), giao với trục Oy tại điểm (0; – 1).

Đồ thị của hàm số đã cho được biểu diễn như hình dưới đây.

Tâm đối xứng của đồ thị hàm số là điểm I(1; 1). Các trục đối xứng của đồ thị hàm số là hai đường phân giác của các góc tạo bởi hai đường tiệm cận x = 1 và y = 1.

3. Đồ thị:

Đồ thị hàm số giao với trục Ox tại điểm (– 5; 0), giao với trục Oy tại điểm $(0;\ \frac{5}{2})$.

Đồ thị của hàm số đã cho được biểu diễn như hình dưới đây.

Tâm đối xứng của đồ thị hàm số là điểm I(2; – 1). Các trục đối xứng của đồ thị hàm số là hai đường phân giác của các góc tạo bởi hai đường tiệm cận x = 2 và y = – 1.

3. Đồ thị:

Ta có y = 0 ⇔ $x-\frac{1}{x}=0$ ⇔ x$^{2}$ = 1 ⇔ x = – 1 hoặc x = 1.

Vậy đồ thị hàm số giao với trục Ox tại điểm (– 1; 0) và điểm (1; 0).

Đồ thị hàm số không cắt trục Oy.

Đồ thị của hàm số đã cho được biểu diễn như hình dưới đây.

Tâm đối xứng của đồ thị hàm số là gốc tọa độ O(0; 0). Các trục đối xứng của đồ thị hàm số là hai đường phân giác của các góc tạo bởi hai đường tiệm cận x = 0 (trục Oy) và y = x.

b)

Để vật là ảnh thật thì d*'* > 0, tức là y > 0.

Quan sát đồ thị hàm số $y=\frac{3x}{x-3}$, ta thấy trên khoảng (3; + ∞), đồ thị hàm số nằm phía trên trục Ox nên y > 0 trên khoảng này. Vậy với x > 3, tức d > 3 hay khoảng cách từ vật đến thấy kính lớn hơn 3 thì ảnh của vật là ảnh thật.

Để vật là ảnh ảo thì d*'* < 0, tức là y < 0.

Quan sát đồ thị hàm số $y=\frac{3x}{x-3}$, ta thấy trên khoảng (0; 3), đồ thị hàm số nằm phía dưới trục Ox nên y < 0 trên khoảng này. Vậy với x ∈ (0; 3), tức d ∈ (0; 3) hay khoảng cách từ vật đến thấu kính lớn hơn 0 và nhỏ hơn 3 thì ảnh của vật là ảnh ảo.

a) Thể tích của hình hộp chữ nhật cần chế tạo là: V = 2xy (cm$^{3}$).

Theo bài ra ta có V = 500 cm$^{3}$, khi đó 2xy = 500, suy ra y = $\frac{250}{x}$.

b) Diện tích xung quanh của chiếc hộp là

S$_{xq}$ = 2(x + y) ∙ 2 = 4(x + y) (cm$^{2}$).

Diện tích toàn phần của chiếc hộp là

S$_{tp}$ = S$_{xq}$ + 2S$_{đ}$ = 4(x + y) + 2xy (cm$^{2}$)

Lại có y = $\frac{250}{x}$ nên S$_{tp}$ = $4(x+\frac{250}{x})+2x\cdot \frac{250}{x}=4x+\frac{1000}{x}+500$.

Vậy diện tích toàn phần của chiếc hộp là $S(x)=500+4x+\frac{1000}{x}$.

a) y = x$^{3}$ + x – 2

1. Tập xác định: ℝ.

2. Sự biến thiên:

Chiều biến thiên:

Đạo hàm y*'* = 3x$^{2}$+ 1; y*'* > 0 với mọi x ∈ ℝ.

Do đó, hàm số đồng biến trên khoảng (– ∞; + ∞).

Các giới hạn tại vô cực: $\underset{x\rightarrow -\infty }{\lim }y=\underset{x\rightarrow -\infty }{\lim }{x}^{3}(1+\frac{1}{{x}^{2}}-\frac{2}{{x}^{3}})=-\infty ;\ \underset{x\rightarrow +\infty }{\lim }y=\underset{x\rightarrow +\infty }{\lim }{x}^{3}(1+\frac{1}{{x}^{2}}-\frac{2}{{x}^{3}})=+\infty$.

Bảng biến thiên:

3. Đồ thị:

Khi x = 0 thì y = – 2 nên (0; – 2) là giao điểm của đồ thị với trục Oy.

Ta có y = 0 ⇔ x$^{3}$ + x – 2 = 0 ⇔ x = 1.

Vậy đồ thị của hàm số giao với trục Ox tại điểm (1; 0).

Đồ thị của hàm số đã cho được biểu diễn như hình dưới đây.

Đồ thị của hàm số có tâm đối xứng là điểm I(0; – 2).

a) Xét hàm số y = x$^{3}$ – 3x$^{2}$ + 2. Tập xác định của hàm số là D = ℝ.

Ta có y*'* = 3x$^{2}$ – 6x; y*"* = 6x – 6;

y*"* = 0 ⇔ x = 1.

Với x = 1, ta có y(1) = 0.

Vậy I(1; 0).

b) Ta có y*'* = 0 ⇔ 3x$^{2}$ – 6x = 0 ⇔ x = 0 hoặc x = 2.

Bảng biến thiên:

Do đó, hàm số đạt cực đại tại x = 0, giá trị cực đại là y$_{CĐ}$ = 2; hàm số đạt cực tiểu tại x = 2, giá trị cực tiểu là y$_{CT}$ = – 2.

Hai điểm cực trị của đồ thị hàm số là (0; 2) và (2; – 2).

Ta thấy $\{\begin{matrix}\frac{0+2}{2}=1 \\ \frac{2+(-2)}{2}=0\end{matrix}$. Vậy điểm I(1; 0) là trung điểm của đoạn thẳng nối hai điểm cực trị của đồ thị hàm số.

a) Sau khi cắt bốn góc tấm bìa và dựng thành chiếc hộp không nắp, khi đó chiếc hộp dựng thành có dạng hình hộp chữ nhật với các kích thước là x, 6 – 2x và 6 – 2x (dm).

Rõ ràng x phải thỏa mãn điều kiện 0 < x < 3.

Thể tích của chiếc hộp là V(x) = x(6 – 2x)$^{2}$ (dm$^{3}$) (0 < x < 3).

b) Xét hàm số V(x) = x(6 – 2x)$^{2}$ với x ∈ (0; 3).

1. Tập xác định: D = (0; 3).

2. Sự biến thiên:

Chiều biến thiên:

Đạo hàm V*'*(x) = (6 – 2x)$^{2}$ + x ∙ 2(6 – 2x) ∙ (– 2) = (6 – 2x)(6 – 6x).

Trên khoảng (0; 3), ta có V*'*(x) = 0 ⇔ x = 1.

Trên khoảng (0; 1), V*'*(x) > 0 nên hàm số đồng biến trên khoảng đó.

Trên khoảng (1; 3), V*'*(x) < 0 nên hàm số nghịch biến trên khoảng đó.

Hàm số có một điểm cực trị là điểm cực đại tại x = 1, y$_{CĐ}$ = 16.

Bảng biến thiên:

3. Đồ thị:

Trên khoảng (0; 3), đồ thị hàm số đi qua các điểm (1; 16) và (2; 8).

Đồ thị hàm số V(x) trên khoảng (0; 3) được biểu diễn như hình dưới đây.

Từ đó, ta thấy để tìm được độ dài cạnh hình vuông cần cắt bỏ để chiếc hộp đạt thể tích lớn nhất, ta cần tìm x$_{0}$ ∈ (0; 3) sao cho V(x$_{0}$) có giá trị lớn nhất.

Căn cứ vào bảng biến thiên ta thấy trong khoảng (0; 3) hàm số có một điểm cực trị duy nhất là điểm cực đại x = 1 nên tại đó V(x) có giá trị lớn nhất là $\underset{(0;\ 3)}{\max }V(x)=16$.

Vậy độ dài cạnh của hình vuông cần cắt bỏ là 1 dm thì chiếc hộp có thể tích lớn nhất.