Giải SGK Toán 12 CTST Bài 1. Xác suất có điều kiện có đáp án

Sau khi học xong bài này, ta giải quyết bài toán này như sau:

Gọi A là biến cố “Xuất hiện mặt chẵn chấm”, B là biến cố “Xuất hiện mặt 6 chấm”.

Tập hợp các kết quả thuận lợi cho biến cố A là {2; 4; 6}.

Tập hợp các kết quả thuận lợi cho biến cố B là {6}.

Do đó $P(B|A)=\frac{1}{3}$.

a) Nếu lần thứ nhất lấy được bi xanh thì xác suất xảy ra biến cố B là:

$P\left( {B|A} \right) = \frac{3}{6} = \frac{1}{2}$.

b) Nếu lần thứ nhất không lấy được bi xanh thì xác suất xảy ra biến cố B là:

$P\left( {B|\overline A } \right) = \frac{4}{6} = \frac{2}{3}$.

Không gian mẫu của phép thử:

W = {(1; 2), (1; 3), (2; 1), (2; 3), (3; 1), (3; 2)}.

Tập hợp các kết quả thuận lợi cho biến cố A là {(1; 2), (1; 3)}.

Tập hợp các kết quả thuận lợi cho biến cố B là {(2; 1), (2; 3)}.

Tính P(D|A).

Ta thấy khi biến cố A xảy ra thì kết quả của phép thử là (1; 2) hoặc (1; 3). Đây đều là các kết quả thuận lợi cho biến cố D. Do đó P(D|A) = 1.

Tính P(D|B)

Ta thấy khi biến cố B xảy ra thì kết quả của phép thử là (2; 1) hoặc (2; 3). Trong hai kết quả này thì có một kết quả thuận lợi cho biến cố D. Do đó $P(D|B)=\frac{1}{2}$.

Gọi A là biến cố “Thành viên được chọn biết chơi cờ vua” và B là biến cố “Thành viên được chọn không biết chơi cờ tướng”.

Số thành viên của câu lạc bộ biết chơi cả hai môn cơ là 20 + 25 – 35 = 10.

Do đó, trong số 25 thành viên biết chơi cờ vua có 10 thành viên biết chơi cờ tướng. Suy ra có 15 thành viên không biết chơi cờ tướng.

Vậy xác suất thành viên được chọn không biết chơi cờ tướng, biết rằng thành viên đó biết chơi cờ vua là $P(B|A)=\frac{15}{25}=\frac{3}{5}$.

Gọi A là biến cố “Xuất hiện mặt chẵn chấm”, B là biến cố “Xuất hiện mặt 6 chấm”.

Tập hợp các kết quả thuận lợi cho biến cố A là {2; 4; 6}.

Tập hợp các kết quả thuận lợi cho biến cố B là {6}.

Do đó $P(B|A)=\frac{1}{3}$.

Ta có không gian mẫu của phép thử là

W = {(i; j): 1 ≤ i ≤ 6, 1 ≤ j ≤ 6} trong đó (i; j) là số chấm xuất hiện lần lượt ở hai con xúc xắc. Suy ra n(W) = 36.

a) A ∩ B là biến cố “Xuất hiện hai mặt có cùng số chấm và tổng bằng 8”.

Tập hợp các kết quả thuận lợi cho biến cố A ∩ B là {(4; 4)}. Suy ra n(A ∩ B) = 1.

Do đó $P\left( {A \cap B} \right) = \frac{1}{{36}}$.

B là biến cố “Tổng số chấm của hai mặt xuất hiện bằng 8”.

Tập hợp các kết quả thuận lợi cho biến cố B là {(2; 6), (3; 5), (4; 4), (5; 3), (6; 2)}.

Suy ra n(B) = 5.

Do đó $P\left( B \right) = \frac{5}{{36}}$.

Vậy $\frac{{P\left( {A \cap B} \right)}}{{P\left( B \right)}} = \frac{1}{5}$.

Trong số 5 kết quả thuận lợi cho biến cố B thì có 1 kết quả thuận lợi cho biến A.

Do đó P(A|B) = $\frac{1}{5}$.

b) C ∩ A là biến cố “Xuất hiện hai mặt có cùng số chấm trong đó có ít nhất một mặt 6 chấm”.

Tập hợp các kết quả thuận lợi cho biến cố C ∩ A là {(6; 6)}. Suy ra n(C ∩ A) = 1.

Do đó $P\left( {C \cap A} \right) = \frac{1}{{36}}$.

A là biến cố “Xuất hiện hai mặt có cùng số chấm”.

Tập hợp các kết quả thuận lợi cho biến cố A là {(1; 1), (2; 2), (3; 3), (4; 4), (5; 5), (6; 6)}.

Suy ra n(A) = 6. Do đó $P\left( A \right) = \frac{6}{{36}} = \frac{1}{6}$.

Vậy $\frac{{P\left( {C \cap A} \right)}}{{P\left( A \right)}} = \frac{1}{6}$.

Trong số 6 kết quả thuận lợi cho biến cố A thì có 1 kết quả thuận lợi cho biến cố C.

Do đó $P\left( {C|A} \right) = \frac{1}{6}$.

Gọi A là biến cố “Chọn hai bạn có cùng giới tính”.

B là biến cố “Chọn được ít nhất 1 bạn nam”.

AB là biến cố “Chọn được hai bạn có cùng giới tính trong đó có ít nhất 1 bạn nam” hay AB “Chọn được 2 bạn nam”.

Ta có $P\left( {AB} \right) = \frac{{C_5^2}}{{C_9^2}} = \frac{5}{{18}}$.

$P\left( B \right) = \frac{{C_5^1.C_4^1}}{{C_9^2}} + \frac{{C_5^2}}{{C_9^2}} = \frac{5}{9} + \frac{5}{{18}} = \frac{5}{6}$.

Do đó $P\left( {A|B} \right) = \frac{{P\left( {AB} \right)}}{{P\left( B \right)}} = \frac{5}{{18}}:\frac{5}{6} = \frac{1}{3}$.

Gọi A là biến cố “Bệnh nhân bị chấn thương vùng đầu”.

B là biến cố “Bệnh nhân đội mũ bảo hiểm đúng cách”.

AB là biến cố “Bệnh nhân bị chấn thương vùng đầu và đội mũ bảo hiểm đúng cách”.

Theo đề ta có: P(AB) = 0,18; P(B) = 0,9; P(A) = 0,8.

Khi đó P(A|B) = 0,18 : 0,9 = 0,2.

Việc đội mũ bảo hiểm đúng cách sẽ làm giảm khả năng bị chấn thương vùng đầu số lần là: 0,8 : 0,2 = 4 lần.

Gọi A là biến cố “Ngày thứ Bảy trời nắng” và B là biến cố “Ngày Chủ nhật trời mưa”.

Khi đó P(A) = 0,7, P(B|A) = 0,2, $P\left( {B|\overline A } \right) = 0{,}3$.

Suy ra $P\left( {\overline A } \right) = 1 - P\left( A \right) = 0{,}3;P\left( {\overline B |A} \right) = 1 - P\left( {B|A} \right) = 0{,}8;$

$P\left( {\overline B |\overline A } \right) = 1 - P\left( {B|\overline A } \right) = 0{,}7$.

Áp dụng công thức nhân xác suất, ta có xác suất trời nắng vào thứ Bảy và trời mưa vào Chủ Nhật là P(AB) = P(A).P(B|A) = 0,7.0,2 = 0,14.

Tương tự ta có:

$P\left( {A\overline B } \right) = P\left( A \right)P\left( {\overline B |A} \right) = 0{,}7.0{,}8 = 0{,}56$;

$P\left( {\overline A B} \right) = P\left( {\overline A } \right)P\left( {B|\overline A } \right) = 0{,}3.0{,}3 = 0{,}09$;

$P\left( {\overline A \overline B } \right) = P\left( {\overline A } \right)P\left( {\overline B |\overline A } \right) = 0{,}3.0{,}7 = 0{,}21$.

Ta có thể biểu diễn các kết quả trên theo sơ đồ hình cây như sau:

Gọi M là biến cố “Viên bi lấy ra từ hộp thứ nhất có màu xanh”,

N là biến cố “Viên bi lấy ra từ hộp thứ hai có màu đỏ”.

Ta có $P(M) = \frac{4}{{10}} = \frac{2}{5} = 0{,}4$; $P(N|M) = \frac{4}{{10}} = \frac{2}{5} = 0{,}4$;

Suy ra $P\left( {\overline M } \right) = 1 - P\left( M \right) = 0{,}6$; $P\left( {N|\overline M } \right) = \frac{5}{{10}} = 0{,}5$; $P\left( {\overline N |M} \right) = \frac{6}{{10}} = 0{,}6$;

$P\left( {\overline N |\overline M } \right) = \frac{5}{{10}} = 0{,}5$

Ta có sơ đồ cây

Dựa vào sơ đồ cây ta có P(A) = 0,16; P(B) = 0,24 + 0,3 = 0,54.

Gọi A là biến cố “Sinh viên đó tốt nghiệp loại giỏi”,

B là biến cố “Sinh viên đó tìm được việc làm đúng chuyên ngành”.

Ta có P(A) = 0,3; $P\left( {\overline A } \right) = 1 - P\left( A \right) = 0{,}7$; P(B|A) = 0,85; $P\left( {B|\overline A } \right) = 0{,}7$.

Suy ra $P\left( {\overline B |A} \right) = 1 - P\left( {B|A} \right) = 0{,}15$; $P\left( {\overline B |\overline A } \right) = 1 - P\left( {B|\overline A } \right) = 0{,}3$.

Ta có sơ đồ cây

Dựa vào sơ đồ cây, ta có: P(C) = 0,255; P(D) = 0,49.

Gọi A là biến cố “Sách được chọn là sách khoa học tự nhiên”,

B là biến cố “Sách được chọn là quyển sách về khoa học”.

AB là biến cố “Sách được chọn là sách khoa học và là sách khoa học tự nhiên”

Theo đề ta có P(A) = 0,14; P(B) = 0,35; P(AB) = P(A) = 0,14.

Do đó $P\left( {A|B} \right) = \frac{{P\left( {AB} \right)}}{{P\left( B \right)}} = \frac{{0{,}14}}{{0{,}35}} = 0{,}4$.

Có $P\left( {\overline B } \right) = 1 - P\left( B \right) = 0{,}2$.

Theo công thức nhân xác suất ta có: $P\left( {A\overline B } \right) = P\left( {\overline B } \right).P\left( {A|\overline B } \right) = 0{,}2.0{,}5 = 0{,}1$.

Vì $A\overline B$ và $AB$ là hai biến cố xung khắc và $A\overline B \cup AB = A$.

Suy ra $P(AB) = P(A) - P\left( {A\overline B } \right) = 0{,}4 - 0{,}1 = 0{,}3$.

Do đó $P\left( {A|B} \right) = \frac{{P\left( {AB} \right)}}{{P(B)}} = \frac{{0{,}3}}{{0{,}8}} = \frac{3}{8}$ .

Gọi M là biến cố “Bạn được chọn là nữ”;

N là biến cố “Bạn được chọn học tiếng Anh”.

Ta có $P(M) = \frac{{C_{25}^1}}{{C_{45}^1}} = \frac{5}{9}$; $P\left( {N|M} \right) = 0{,}6;P(N|\overline M ) = 0{,}7$.

Suy ra $P\left( {\overline M } \right) = 1 - P\left( M \right) = \frac{4}{9};$$P\left( {\overline N |M} \right) = 1 - P\left( {N|M} \right) = 0{,}4$;

$P\left( {\overline N |\overline M } \right) = 1 - P\left( {N|\overline M } \right) = 0{,}3$.

Ta có sơ đồ hình cây

Dựa vào sơ đồ hình cây, ta có: $P\left( A \right) = \frac{2}{{15}}$; $P\left( B \right) = \frac{1}{3}$.

Gọi A là biến cố “UPS bị hỏng khi xảy ra sự cố điện”.

B là biến cố “Máy tính bị hỏng”.

Ta có P(A) = 0,02; P(B|A) = 0,1; $P\left( {\overline B |\overline A } \right) = 1$.

Suy ra $P\left( {\overline B |A} \right) = 1 - P\left( {B|A} \right) = 0{,}9$.

Ta có sơ đồ cây như sau:

Dựa vào sơ đồ cây ta có:

a) $P\left( {\overline {AB} } \right) = 0{,}98$.

b) P(AB) = 0,002.