Giải SGK Toán 12 CTST Bài 1. Tính đơn điệu và cực trị của hàm số có đáp án

Dựa vào đồ thị ta thấy:

+) Trong khoảng thời gian từ 0 – 3 giây và 6 – 8 giây thì khinh khí cầu tăng dần độ cao.

+) Trong khoảng thời gian từ 3 – 6 giây thì khinh khí cầu giảm dần độ cao.

+) Tại thời điểm 3 phút sau khi xuất phát khinh khí cầu đang ở điểm chuyển từ tăng dần sang giảm dần nên độ cao của nó đang đạt cực đại.

+) Tại thời điểm 6 phút sau khi xuất phát, khinh khí cầu đang ở điểm chuyển từ giảm dần sang tăng dần nên độ cao của nó là một điểm cực tiểu.

Dựa vào đồ thị hàm số ta có:

Hàm số đồng biến trên các khoảng (−∞; −2) và (−1; 0).

Hàm số nghịch biến trên các khoảng (−2; −1) và (0; +∞).

a) Dựa vào đồ thị của hàm số, ta có:

Hàm số đồng biến trên khoảng (0; +∞).

Hàm số nghịch biến khoảng (−∞; 0).

b) f'(x) = 2x; f'(x) = 0 Û x = 0.

Lập bảng biến thiên của hàm số

c) Hàm đồng đống biến khi f'(x) > 0 và nghịch biến khi f'(x) < 0.

a) Tập xác định: D = ℝ.

Ta có f'(x) = 3x$^{2}$ – 12x + 9; f'(x) = 0 Û 3x$^{2}$ – 12x + 9 = 0 Û x = 1 hoặc x = 3.

Bảng biến thiên:

Vậy hàm số đồng biến trên các khoảng (−∞; 1) và (3; +∞), nghịch biến trên khoảng (1; 3).

Ta có ${g}^{'}(x)=-\frac{1}{{x}^{2}}<0,\forall x\ne 0.$

Bảng biến thiên

Vậy hàm số nghịch biến trên các khoảng (−∞; 0) và (0; +∞).

Tập xác định: D = ℝ.

Ta có f'(x) = 3 – cosx.

Vì −1 £ cosx £ 1 nên −1 £ −cosx £ 1.

Do đó 2 £ 3 −cosx £ 4 hay 2 £ f'(x) £ 4.

Hay f'(x) luôn dương. Do đó hàm số f(x) = 3x – sinx đồng biến trên ℝ.

Tập xác định: D = ℝ.

Ta có h'(t) = 18t$^{2}$ – 162t + 324; h'(t) = 0 Û 18t$^{2}$ – 162t + 324 = 0 Û t = 3 hoặc t = 6.

Bảng biến thiên

Dựa vào bảng biến thiên ta có:

Trong khoảng thời gian (0; 3) và (6; 8) thì khinh khí cầu tăng dần độ cao và trong khoảng (3; 6) thì khinh khí cầu giảm dần độ cao.

Dựa vào đồ thị hàm số, ta có:

a) Với x ∈ (−1; 1) thì f(x) < f(0) với mọi x ≠ 0.

b) Với x ∈ (1; 3) thì f(x) > f(2) với mọi x ≠ 2.

c) Tồn tại khoảng (0; 2) chứa điểm x = 1 mà trên đó f(x) > f(1) với mọi x ≠ 1 hoặc f(x) < f(1) với mọi x ≠ 1.

Dựa vào đồ thị ta có:

+) x = 5 là điểm cực đại của hàm số vì f(x) < f(5) với mọi x ∈ (3; 7)\{5}, y$_{CĐ}$ = y(5) = 5.

+) x = 3 là điểm cực tiểu của hàm số vì f(x) > f(3) với mọi x ∈ (1; 5)\{3}, y$_{CT}$ = y(3) = 2.

+) x = 7 là điểm cực tiểu của hàm số vì f(x) > f(7) với mọi x ∈ (5; 9)\{7}, y$_{CT}$ = y(7) = 1.

a) Dựa vào đồ thị của hàm số ta có:

+) x = 0 là điểm cực tiểu của hàm số.

+) x = 1 là điểm cực đại của hàm số.

b) Tại x = 1 hàm số không có đạo hàm.

c)

Dấu của y' khi x đi qua điểm cực đại sẽ đổi từ dương sang âm.

Dấu của y' khi x đi qua điểm cực tiểu sẽ đổi từ âm sang dương.

Tập xác định: D = ℝ\{−1}.

Có ${g}^{'}(x)=\frac{(2x+1)(x+1)-({x}^{2}+x+4)}{{(x+1)}^{2}}=\frac{{x}^{2}+2x-3}{{(x+1)}^{2}}$.

Có g'(x) = 0 Û x$^{2}$ + 2x – 3 = 0 Û x = 1 hoặc x = −3.

Bảng biến thiên:

Dựa vào bảng biến thiên, ta có:

Hàm số đạt cực đại tại x = −3 và y$_{CĐ}$ = y(−3) = −5.

Hàm số đạt cực tiểu tại x = 1 và y$_{CT}$ = y(1) = 3.

a) Dựa vào đồ thị ta có:

Hàm số nghịch biến trên các khoảng (−1; 0) và (2; 4).

Hàm số đồng biến trên các khoảng (0; 2) và (4; 5).

Hàm số đạt cực tiểu tại x = 0; x = 4 và y$_{CT}$ = −1.

Hàm số đạt cực đại tại x = 2 và y$_{CĐ}$ = 2.

b) Dựa vào đồ thị ta có:

Hàm số đồng biến trên các khoảng (−3; −1) và (1; 3).

Hàm số nghịch biến trên khoảng (−1;1).

Hàm số đạt cực đại tại x = −1 và y$_{CĐ}$ = 3.

Hàm số đạt cực tiểu tại x = 1 và y$_{CT}$ = −1.

a) Tập xác định: D = ℝ.

Có y' = 6x$^{2}$ + 6x – 36; y' = 0 Û 6x$^{2}$ + 6x – 36 = 0 Û x = −3 hoặc x = 2.

Bảng biến thiên

Dựa vào bảng biến thiên, ta có:

Hàm số đạt cực đại tại x = −3 và y$_{CĐ}$ = 82.

Hàm số đạt cực tiểu tại x = 2 và y$_{CT}$ = −43.

b) Tập xác định: D = ℝ\{2}.

Có ${y}^{'}=\frac{(2x-8)(x-2)-({x}^{2}-8x+10)}{{(x-2)}^{2}}=\frac{{x}^{2}-4x+6}{{(x-2)}^{2}}=\frac{{(x-2)}^{2}+2}{{(x-2)}^{2}}>0,\forall x\ne 2.$

Bảng biến thiên

Hàm số không có cực trị.

c) Tập xác định: D = [−2; 2].

Có ${y}^{'}=\frac{{(-{x}^{2}+4)}^{'}}{2\sqrt{-{x}^{2}+4}}=\frac{-x}{\sqrt{-{x}^{2}+4}}$; y' = 0 Û x = 0.

Bảng biến thiên

Dựa vào bảng biến thiên ta có:

Hàm số đạt cực đại tại x = 0 và y$_{CĐ}$ = 2.

Hàm số không có cực tiểu.

Tập xác định: D = ℝ\{3}.

Có ${y}^{'}=\frac{2(x-3)-(2x+1)}{{(x-3)}^{2}}=\frac{-7}{{(x-3)}^{2}}$ < 0, ∀ x ≠ 3.

Do đó hàm số nghịch biến trên (−∞; 3) và (3; +∞).

Vậy hàm số $y=\frac{2x+1}{x-3}$ nghịch biến trên từng khoảng xác định của nó.

b) Có f'(x) = 0,03x$^{2}$ – 0,08x + 0,25

= $0{,}03({x}^{2}-\frac{8}{3}x)+0{,}25$

$=0{,}03{(x-\frac{4}{3})}^{2}+\frac{59}{300}>0,\forall x$.

Do đó f(x) là hàm đồng biến. Điều này chứng tỏ kim ngạch xuất khẩu rau quả của Việt Nam tăng liên tục trong các năm từ 2010 đến 2017.

a) Ta có v(t) = x'(t) = 3t$^{2}$ −12t + 9;

a(t) = v'(t) = 6t – 12.

b) Để tìm khoảng thời gian nào vận tốc của chất điểm tăng, trong khoảng thời gian nào vận tốc của chất điểm giảm ta đi xét sự biến thiên của hàm v(t).

Có v'(t) = 0 Û 6t – 12 = 0 Û t = 2.

Bảng biến thiên

Dựa vào bảng biến thiên ta có:

Vận tốc của chất điểm tăng khi t > 2 và vận tốc của chất điểm giảm khi 0 < t < 2.

Dựa vào đồ thị của hàm y = f'(x), ta có bảng biến thiên

Dựa vào bảng biến thiên ta có:

Hàm số y = f(x) đồng biến trên các khoảng (−1; 2) và (4; 5).

Hàm số y = f(x) nghịch biến trên các khoảng (−2; −1) và (2; 4).

Hàm số y = f(x) đạt cực tiểu tại x = −1 và x = 4.

Hàm số y = f(x) đạt cực đại tại x = 2.