Giải SGK Toán 12 CTST Bài 1. Khoảng biến thiên và khoảng tứ phân vị của mẫu số liệu ghép nhóm có đáp án

Sau bài học này, ta giải quyết được bài toán trên như sau:

Từ biểu đồ đã cho, ta có bảng thống kê sau:

Khoảng biến thiên của mẫu số liệu ghép nhóm về thời gian tập thể dục buổi sáng của bác Bình là 40 – 15 = 25 (phút).

Tuy nhiên, trong mẫu số liệu ghép nhóm về thời gian tập thể dục buổi sáng của bác An, khoảng đầu tiên chứa dữ liệu là [20; 25) và khoảng cuối cùng chứa dữ liệu là [25; 30).

Do đó, khoảng biến thiên của mẫu số liệu ghép nhóm về thời gian tập thể dục buổi sáng của bác An là 30 – 20 = 10 (phút).

Nếu căn cứ theo khoảng biến thiên thì bác Bình có thời gian tập thể dục phân tán hơn bác An, vậy bác An là người có thời gian tập đều hơn.

Cỡ mẫu n = 30.

- Tính khoảng tứ phân vị của mẫu số liệu ghép nhóm về thời gian tập thể dục buổi sáng mỗi ngày của bác Bình:

Gọi x$_{1}$; x$_{2}$; …; x$_{30}$ là mẫu số liệu gốc về thời gian tập thể dục buổi sáng mỗi ngày của bác Bình được xếp theo thứ tự không giảm.

Ta có x$_{1}$; x$_{2}$; …; x$_{5}$ ∈ [15; 20), x$_{6}$; x$_{7}$; …; x$_{17}$ ∈ [20; 25),

x$_{18}$; x$_{19}$; …; x$_{25}$∈ [25; 30), x$_{26}$; …; x$_{28}$ ∈ [30; 35), x$_{29}$; x$_{30}$∈ [35; 40).

Tứ phân vị thứ nhất Q$_{1}$ của mẫu số liệu gốc là x$_{8}$ ∈ [20; 25). Do đó, tứ phân thứ nhất của mẫu số liệu ghép nhóm là ${Q}_{1}=20+\frac{\frac{30}{4}-5}{12}\cdot (25-20)=\frac{505}{24}$.

Tứ phân vị thứ ba Q$_{3}$ của mẫu số liệu gốc là x$_{23}$ ∈ [25; 30). Do đó, tứ phân thứ ba của mẫu số liệu ghép nhóm là ${Q}_{3}=25+\frac{\frac{3\cdot 30}{4}-(5+12)}{8}\cdot (30-25)=\frac{455}{16}$.

Khoảng tứ phân vị của mẫu số liệu ghép nhóm về thời gian tập thể dục buổi sáng mỗi ngày của bác Bình là ∆$_{Q}$ = Q$_{3}$ – Q$_{1}$ = $\frac{455}{16}-\frac{505}{24}=\frac{355}{48}$.

- Tính khoảng tứ phân vị của mẫu số liệu ghép nhóm về thời gian tập thể dục buổi sáng mỗi ngày của bác An:

Gọi y$_{1}$; y$_{2}$; …; y$_{30}$ là mẫu số liệu gốc về thời gian tập thể dục buổi sáng mỗi ngày của bác An được xếp theo thứ tự không giảm.

Ta có y$_{1}$; y$_{2}$; …; y$_{25}$ ∈ [20; 25), y$_{26}$; …; y$_{29}$; y$_{30}$∈ [25; 30).

Tứ phân vị thứ nhất Q*'*$_{1}$ của mẫu số liệu gốc là y$_{8}$ ∈ [20; 25). Do đó, tứ phân thứ nhất của mẫu số liệu ghép nhóm là ${{Q}^{'}}_{1}=20+\frac{\frac{30}{4}}{25}\cdot (25-20)=\frac{43}{2}$.

Tứ phân vị thứ ba Q*'*$_{3}$ của mẫu số liệu gốc là y$_{23}$ ∈ [20; 25). Do đó, tứ phân thứ ba của mẫu số liệu ghép nhóm là ${{Q}^{'}}_{3}=20+\frac{\frac{3\cdot 30}{4}}{25}\cdot (25-20)=\frac{49}{2}$.

Khoảng tứ phân vị của mẫu số liệu ghép nhóm về thời gian tập thể dục buổi sáng mỗi ngày của bác An là ∆'$_{Q}$ = Q*'$_{3}$ – Q'*$_{1}$ = $\frac{49}{2}-\frac{43}{2}=3$.

Vì ∆$_{Q}$ = $\frac{355}{48}$ ≈ 7,4 > ∆'$_{Q}$ = 3 nên khoảng tứ phân vị của mẫu số liệu ghép nhóm về thời gian tập thể dục buổi sáng mỗi ngày của bác Bình lớn hơn bác An.

Vậy nếu căn cứ theo khoảng tứ phân vị thì bác An là người có thời gian tập đều hơn.

Ý kiến nêu trên là đúng.

Giải thích: Quan sát bảng thống kê đã cho, ta thấy cân nặng lớn nhất quả xoài có thể đạt được là dưới 450 g, cân nặng nhỏ nhất quả xoài có thể đạt được là 250 g. Mà ta có 450 – 350 = 200. Do đó, hai quả bất kì nào cũng có hiệu số cân nặng không vượt quá 200 g.

Khoảng biến thiên của mẫu số liệu ghép nhóm về chiều cao của các bạn học sinh nữ lớp 12C là: 185 – 155 = 30 (cm).

Trong mẫu số liệu ghép nhóm về chiều cao của các bạn học sinh nữ lớp 12D, khoảng đầu tiên chứa dữ liệu là [155; 160) và khoảng cuối cùng chứa dữ liệu là [175; 180).

Khoảng biến thiên của mẫu số liệu ghép nhóm về chiều cao của các bạn học sinh nữ lớp 12D là: 180 – 155 = 25 (cm).

Vậy nếu căn cứ theo khoảng biến thiên thì chiều cao của học sinh nữ lớp 12C có độ phân tán lớn hơn.

a) Số hộ gia đình được khảo sát (cỡ mẫu) là n = 24 + 62 + 34 + 21 + 9 = 150.

Gọi x$_{1}$; x$_{2}$; …; x$_{150}$ là tổng thu nhập trong năm 2022 của 150 hộ gia đình được xếp theo thứ tự không giảm.

Ta có x$_{1}$; x$_{2}$; …; x$_{24}$ ∈ [200; 250), x$_{25}$; x$_{26}$; …; x$_{86}$ ∈ [250; 300),

x$_{87}$; x$_{88}$; …; x$_{120}$∈ [300; 350), x$_{121}$; …; x$_{141}$ ∈ [350; 400), x$_{142}$; …; x$_{150}$∈ [400; 450).

Do đó, đối với dãy số liệu x$_{1}$; x$_{2}$; …; x$_{150}$ thì

Tứ phân vị thứ nhất Q$_{1}$ là x$_{38}$ ∈ [250; 300). Do đó, tứ phân thứ nhất của mẫu số liệu ghép nhóm là ${Q}_{1}=250+\frac{\frac{150}{4}-24}{62}\cdot (300-250)=\frac{16\ 175}{62}$.

Tứ phân vị thứ ba Q$_{3}$ là x$_{113}$ ∈ [300; 350). Do đó, tứ phân thứ ba của mẫu số liệu ghép nhóm là ${Q}_{3}=300+\frac{\frac{3\cdot 150}{4}-(24+62)}{34}\cdot (350-300)=\frac{11\ 525}{34}$.

b) Doanh nghiệp cần hướng đến các gia đình có mức thu nhập trong khoảng [Q$_{1}$; Q$_{3}$) = $[\frac{16175}{62};\ \frac{11525}{34})$ ≈ [260,89; 338,97) (triệu đồng).

Ta có bảng thống kê sau:

Cỡ mẫu n = 30.

Tính khoảng tứ phân vị của mẫu số liệu ghép nhóm về thời gian tập thể dục buổi sáng mỗi ngày của bác Bình:

Gọi x$_{1}$; x$_{2}$; …; x$_{30}$ là mẫu số liệu gốc về thời gian tập thể dục buổi sáng mỗi ngày của bác Bình được xếp theo thứ tự không giảm.

Ta có x$_{1}$; x$_{2}$; …; x$_{5}$ ∈ [15; 20), x$_{6}$; x$_{7}$; …; x$_{17}$ ∈ [20; 25),

x$_{18}$; x$_{19}$; …; x$_{25}$∈ [25; 30), x$_{26}$; …; x$_{28}$ ∈ [30; 35), x$_{29}$; x$_{30}$∈ [35; 40).

Tứ phân vị thứ nhất Q$_{1}$ của mẫu số liệu gốc là x$_{8}$ ∈ [20; 25). Do đó, tứ phân thứ nhất của mẫu số liệu ghép nhóm là ${Q}_{1}=20+\frac{\frac{30}{4}-5}{12}\cdot (25-20)=\frac{505}{24}$.

Tứ phân vị thứ ba Q$_{3}$ của mẫu số liệu gốc là x$_{23}$ ∈ [25; 30). Do đó, tứ phân thứ ba của mẫu số liệu ghép nhóm là ${Q}_{3}=25+\frac{\frac{3\cdot 30}{4}-(5+12)}{8}\cdot (30-25)=\frac{455}{16}$.

Khoảng tứ phân vị của mẫu số liệu ghép nhóm về thời gian tập thể dục buổi sáng mỗi ngày của bác Bình là ∆$_{Q}$ = Q$_{3}$ – Q$_{1}$ = $\frac{455}{16}-\frac{505}{24}=\frac{355}{48}$.

Tính khoảng tứ phân vị của mẫu số liệu ghép nhóm về thời gian tập thể dục buổi sáng mỗi ngày của bác An:

Gọi y$_{1}$; y$_{2}$; …; y$_{30}$ là mẫu số liệu gốc về thời gian tập thể dục buổi sáng mỗi ngày của bác An được xếp theo thứ tự không giảm.

Ta có y$_{1}$; y$_{2}$; …; y$_{25}$ ∈ [20; 25), y$_{26}$; …; y$_{29}$; y$_{30}$∈ [25; 30).

Tứ phân vị thứ nhất Q*'*$_{1}$ của mẫu số liệu gốc là y$_{8}$ ∈ [20; 25). Do đó, tứ phân thứ nhất của mẫu số liệu ghép nhóm là ${{Q}^{'}}_{1}=20+\frac{\frac{30}{4}}{25}\cdot (25-20)=\frac{43}{2}$.

Tứ phân vị thứ ba Q*'*$_{3}$ của mẫu số liệu gốc là y$_{23}$ ∈ [20; 25). Do đó, tứ phân thứ ba của mẫu số liệu ghép nhóm là ${{Q}^{'}}_{3}=20+\frac{\frac{3\cdot 30}{4}}{25}\cdot (25-20)=\frac{49}{2}$.

Khoảng tứ phân vị của mẫu số liệu ghép nhóm về thời gian tập thể dục buổi sáng mỗi ngày của bác An là ∆'$_{Q}$ = Q*'$_{3}$ – Q'*$_{1}$ = $\frac{49}{2}-\frac{43}{2}=3$.

Vì ∆$_{Q}$ = $\frac{355}{48}$ ≈ 7,4 > ∆'$_{Q}$ = 3 nên khoảng tứ phân vị của mẫu số liệu ghép nhóm về thời gian tập thể dục buổi sáng mỗi ngày của bác Bình lớn hơn bác An.

a) Khoảng biến thiên của mẫu số liệu ghép nhóm ban đầu là:

R = 33 – 15 = 18 (phút).

Từ Ví dụ 4, ta có khoảng tứ phân vị của mẫu số liệu ghép nhóm ban đầu là ${Δ}_{Q}=\frac{505}{114}$.

Giá trị x trong mẫu số liệu là giá trị ngoại lệ nếu x > Q$_{3}$ + 1,5∆$_{Q}$ hoặc x < Q$_{1}$ + 1,5∆$_{Q}$.

Hay x > $\frac{68}{3}+1{,}5\cdot \frac{505}{114}=\frac{6683}{228}\approx 29{,}31$ hoặc x < $\frac{693}{38}-1{,}5\cdot \frac{505}{114}=\frac{881}{76}\approx 11{,}59$.

Do đó, chỉ có đúng 1 lần ông Thắng đi hết 32 phút là giá trị ngoại lệ của mẫu số liệu ghép nhóm.

Sau khi bỏ giá trị ngoại lệ, ta có bảng thống kê sau:

Khoảng biến thiên của mẫu số liệu ghép nhóm sau khi loại bỏ giá trị ngoại lệ là:

R*'* = 30 – 15 = 15 (phút).

Cỡ mẫu n*'* = 99.

Gọi y$_{1}$; y$_{2}$; y$_{3}$; …; y$_{99}$ là mẫu số liệu gốc gồm thời gian 99 lần đi xe buýt của ông Thắng được xếp theo thứ tự không giảm.

Ta có: y$_{1}$; …; y$_{22}$ ∈ [15; 18); y$_{23}$; …; y$_{60}$ ∈ [18; 21); y$_{61}$; …; y$_{87}$ ∈ [21; 24);

y$_{88}$; …; y$_{95}$ ∈ [24; 27); y$_{95}$; …; y$_{99}$ ∈ [27; 30).

Tứ phân vị thứ nhất của mẫu số liệu gốc là y$_{25}$ ∈ [18; 21). Do đó, tứ phân vị thứ nhất của mẫu số liệu ghép nhóm sau khi loại bỏ giá trị ngoại lệ là: ${{Q}^{'}}_{1}=18+\frac{\frac{99}{4}-22}{38}\cdot (21-18)=\frac{2769}{152}$.

Tứ phân vị thứ ba của mẫu số liệu gốc là y$_{75}$ ∈ [21; 24). Do đó, tứ phân vị thứ nhất của mẫu số liệu ghép nhóm sau khi loại bỏ giá trị ngoại lệ là: ${{Q}^{'}}_{3}=21+\frac{\frac{3\cdot 99}{4}-(22+38)}{27}\cdot (24-21)=\frac{271}{12}$.

Vậy khoảng tứ phân vị của mẫu số liệu ghép nhóm sau khi loại bỏ giá trị ngoại lệ là:${{Δ}^{'}}_{Q}={{Q}^{'}}_{3}-{{Q}^{'}}_{1}=\frac{271}{12}-\frac{2769}{152}=\frac{1991}{456}\approx 4{,}37$.

Nhận xét: Sau khi loại bỏ giá trị ngoại lệ, khoảng biến thiên giảm mạnh, còn khoảng tứ phân vị mới không bị ảnh hưởng nhiều.

b)

Lớp 12C:

Cỡ mẫu n = 2 + 7 + 12 + 3 + 0 + 1 = 25.

Gọi x$_{1}$; x$_{2}$; …; x$_{25}$ là mẫu số liệu gốc về chiều cao của 25 học sinh nữ lớp 12C được xếp theo thứ tự không giảm.

Ta có x$_{1}$; x$_{2}$ ∈ [155; 160), x$_{3}$; x$_{4}$; …; x$_{9}$ ∈ [160; 165),

x$_{10}$; x$_{11}$; …; x$_{21}$∈ [165; 170), x$_{22}$; …; x$_{24}$ ∈ [170; 175), x$_{25}$∈ [180; 185).

Tứ phân vị thứ nhất của mẫu số liệu gốc là $\frac{1}{2}$(x$_{6}$ + x$_{7}$) ∈ [160; 165). Do đó, tứ phân thứ nhất của mẫu số liệu ghép nhóm là:${Q}_{1}=160+\frac{\frac{25}{4}-2}{7}\cdot (165-160)=\frac{4565}{28}$.

Tứ phân vị thứ ba của mẫu số liệu gốc là $\frac{1}{2}$(x$_{19}$+ x$_{20}$) ∈ [165; 170). Do đó, tứ phân thứ ba của mẫu số liệu ghép nhóm là: ${Q}_{3}=165+\frac{\frac{3\cdot 25}{4}-(2+7)}{12}\cdot (170-165)=\frac{2705}{16}$.

Khoảng tứ phân vị của mẫu số liệu ghép nhóm về chiều cao của các bạn học sinh nữ lớp 12C là:

Lớp 12D:

Cỡ mẫu n*'* = 5 + 9 + 8 + 2 + 1 = 25.

Gọi y$_{1}$; y$_{2}$; …; y$_{25}$ là mẫu số liệu gốc về chiều cao của 25 học sinh nữ lớp 12D được xếp theo thứ tự không giảm.

Ta có y$_{1}$; y$_{2}$; …; y$_{5}$ ∈ [155; 160), y$_{6}$; y$_{7}$; …; y$_{14}$ ∈ [160; 165),

y$_{15}$; y$_{16}$; …; y$_{22}$∈ [165; 170), y$_{23}$; y$_{24}$ ∈ [170; 175), y$_{25}$∈ [175; 180).

Tứ phân vị thứ nhất của mẫu số liệu gốc là $\frac{1}{2}$(y$_{6}$ + y$_{7}$) ∈ [160; 165). Do đó, tứ phân thứ nhất của mẫu số liệu ghép nhóm là:${{Q}^{'}}_{3}=165+\frac{\frac{3\cdot 25}{4}-(5+9)}{8}\cdot (170-165)=\frac{5375}{32}$.

a)

Khu vực A:

Khoảng biến thiên của mẫu số liệu ghép nhóm ứng với khu vực A là:

R = 34 – 19 = 15.

Cỡ mẫu n = 10 + 27 + 31 + 25 + 7 = 100.

Gọi x$_{1}$; x$_{2}$; …; x$_{100}$ là mẫu số liệu gốc về độ tuổi kết hôn của một số phụ nữ vừa lập gia đình ở khu vực A được xếp theo thứ tự không giảm.

Ta có x$_{1}$; x$_{2}$; …; x$_{10}$ ∈ [19; 22), x$_{11}$; x$_{12}$; …; x$_{37}$ ∈ [22; 25),

x$_{38}$; x$_{39}$; …; x$_{68}$∈ [25; 28), x$_{69}$; …; x$_{93}$ ∈ [28; 31), x$_{94}$; …; x$_{100}$∈ [31; 34).

Tứ phân vị thứ nhất của mẫu số liệu gốc là $\frac{1}{2}$(x$_{25}$ + x$_{26}$) ∈ [22; 25). Do đó, tứ phân thứ nhất của mẫu số liệu ghép nhóm là:${Q}_{1}=22+\frac{\frac{100}{4}-10}{27}\cdot (25-22)=\frac{71}{3}$

Tứ phân vị thứ ba của mẫu số liệu gốc là $\frac{1}{2}$(x$_{75}$+ x$_{76}$) ∈ [28; 31). Do đó, tứ phân thứ ba của mẫu số liệu ghép nhóm là: ${Q}_{3}=28+\frac{\frac{3\cdot 100}{4}-(10+27+31)}{25}\cdot (31-28)=\frac{721}{25}$.

Khoảng tứ phân vị của mẫu số liệu ghép nhóm về độ tuổi kết hôn của một số phụ nữ vừa lập gia đình ở khu vực A là:

∆$_{Q}$ = Q$_{3}$ – Q$_{1}$ = $\frac{721}{25}-\frac{71}{3}=\frac{388}{75}$ ≈ 5,17.

Khu vực B:

Khoảng biến thiên của mẫu số liệu ghép nhóm ứng với khu vực B là:

R*'* = 31 – 19 = 12.

Cỡ mẫu n*'* = 47 + 40 + 11 + 2 = 100.

Gọi y$_{1}$; y$_{2}$; …; y$_{100}$ là mẫu số liệu gốc về độ tuổi kết hôn của một số phụ nữ vừa lập gia đình ở khu vực B được xếp theo thứ tự không giảm.

Ta có y$_{1}$; y$_{2}$; …; y$_{47}$ ∈ [19; 22), y$_{48}$; y$_{49}$; …; y$_{87}$ ∈ [22; 25),

y$_{88}$; y$_{89}$; …; y$_{98}$∈ [25; 28), y$_{99}$; y$_{100}$ ∈ [28; 31).

Tứ phân vị thứ nhất của mẫu số liệu gốc là $\frac{1}{2}$(y$_{25}$ + y$_{26}$) ∈ [19; 22). Do đó, tứ phân thứ nhất của mẫu số liệu ghép nhóm là:

${{Q}^{'}}_{1}=19+\frac{\frac{100}{4}}{47}\cdot (22-19)=\frac{968}{47}$.

Tứ phân vị thứ ba của mẫu số liệu gốc là $\frac{1}{2}$(y$_{75}$+ y$_{76}$) ∈ [22; 25). Do đó, tứ phân thứ ba của mẫu số liệu ghép nhóm là: ${{Q}^{'}}_{3}=22+\frac{\frac{3\cdot 100}{4}-47}{40}\cdot (25-22)=\frac{241}{10}$.

Khoảng tứ phân vị của mẫu số liệu ghép nhóm về độ tuổi kết hôn của một số phụ nữ vừa lập gia đình ở khu vực B là:

∆'$_{Q}$ = Q*'$_{3}$ – Q'*$_{1}$ = $\frac{241}{10}-\frac{968}{47}=\frac{1647}{470}$ ≈ 3,5.

Vì ∆'$_{Q}$< ∆$_{Q}$ nên phụ nữ ở khu vực B có độ tuổi kết hôn đồng đều hơn.

a) Sắp xếp lại mẫu số liệu trên theo thứ tự không giảm, ta được:

147 187,1 200,7 242,2 251,4 258,4 288,5

298,1 305 332 341,4 388,6 400 413,5

413,5 421 432,2 475 520 522,9

Khoảng biến thiên của mẫu số liệu trên là:

R = 522,9 – 147 = 375,9 (mm).

Cỡ mẫu n = 20.

Tứ phân vị thứ nhất là trung vị của mẫu số liệu:

147; 187,1; 200,7; 242,2; 251,4; 258,4 ; 288,5; 298,1; 305 ; 332.

Do đó, ${Q}_{1}=\frac{251{,}4+258{,}4}{2}=254{,}9$.

Tứ phân vị thứ ba là trung vị của mẫu số liệu:

341,4; 388,6 ; 400; 413,5; 413,5 ; 421; 432,2; 475; 520; 522,9.

Do đó, ${Q}_{3}=\frac{413{,}5+421}{2}=417{,}25$.

Khoảng tứ phân vị của mẫu số liệu đã cho là:

∆$_{Q}$ = Q$_{3}$ – Q$_{1}$ = 417,25 – 254,9 = 162,35.

b) Nhóm đầu tiên là [140; 240), ta chọn 3 nhóm còn lại là

[240; 340), [340; 440), [440; 540).

Từ bảng thống kê ban đầu, ta lập được bảng tần số ghép nhóm như sau:

c) Cỡ mẫu n = 20.

Khoảng biến thiên của mẫu số liệu ghép nhóm là

R*'* = 540 – 140 = 400 (mm).

Gọi x$_{1}$; x$_{2}$; …; x$_{20}$ là mẫu số liệu gốc về lượng mưa đo được vào tháng 7 từ năm 2002 đến 2021 tại một trạm quan trắc đặt ở Cà Mau được xếp theo thứ tự không giảm.

Ta có x$_{1}$; x$_{2}$; x$_{3}$ ∈ [140; 240), x$_{4}$; …; x$_{10}$ ∈ [240; 340),

x$_{11}$; …; x$_{17}$ ∈ [340; 440), x$_{18}$; x$_{19}$; x$_{20}$ ∈ [440; 540).

Tứ phân vị thứ nhất của mẫu số liệu gốc là ∈ [240; 340).

Do đó, tứ phân vị thứ nhất của mẫu số liệu ghép nhóm là: .

Tứ phân vị thứ ba của mẫu số liệu gốc là $\frac{1}{2}({x}_{5}+{x}_{6})$ ∈ [340; 440).

Do đó, tứ phân vị thứ ba của mẫu số liệu ghép nhóm là: ${{Q}^{'}}_{3}=340+\frac{\frac{3\cdot 20}{4}-(3+7)}{7}(440-340)=\frac{2880}{7}$.

Khoảng tứ phân vị của mẫu số liệu ghép nhóm là:

∆'$_{Q}$ = Q*'$_{3}$ – Q'*$_{1}$ = $\frac{2880}{7}-\frac{1880}{7}=\frac{1000}{7}$≈ 142,86.

Ta thấy khoảng biến thiên của mẫu số liệu ghép nhóm lớn hơn mẫu số liệu đã cho; khoảng tứ phân vị của mẫu số liệu ghép nhóm nhỏ hơn mẫu số liệu đã cho.

Từ biểu đồ đã cho, ta có có bảng thống kê sau:

Cỡ mẫu n = 14 + 30 + 25 + 18 + 5 = 92.

Gọi x$_{1}$; x$_{2}$; …; x$_{92}$ là mẫu số liệu gốc về số lượt khách đặt bàn qua hình thức trực tuyến mỗi ngày trong quý III năm 2022 của một nhà hàng được xếp theo thứ tự không giảm.

Ta có x$_{1}$; …; x$_{14}$ ∈ [1; 6), x$_{15}$; …; x$_{44}$ ∈ [6; 11), x$_{45}$; …; x$_{69}$ ∈ [11; 16),

x$_{70}$; …; x$_{87}$ ∈ [16; 21), x$_{88}$; …; x$_{92}$ ∈ [21; 26).

Tứ phân vị thứ nhất của mẫu số liệu gốc là $\frac{1}{2}({x}_{23}+{x}_{24})$ ∈ [6; 11).

Do đó, tứ phân vị thứ nhất của mẫu số liệu ghép nhóm là: ${Q}_{1}=6+\frac{\frac{92}{4}-14}{30}(11-6)=\frac{15}{2}$ = 7,5.

Tứ phân vị thứ ba của mẫu số liệu gốc là $\frac{1}{2}({x}_{69}+{x}_{70})$.

Mà x$_{69}$ ∈ [11; 16) và x$_{70}$ ∈ [16; 21)

Do đó, tứ phân vị thứ ba của mẫu số liệu ghép nhóm là Q$_{3}$ = 16.

Khoảng tứ phân vị của mẫu số liệu ghép nhóm là:

∆$_{Q}$ = Q$_{3}$ – Q$_{1}$ = 16 – 7,5 = 8,5.

a) Khoảng biến thiên của mẫu số liệu ghép nhóm là:

R = 9,4 – 8,4 = 1 (m).

Cỡ mẫu n = 100.

Gọi x$_{1}$; x$_{2}$; …; x$_{100}$ là mẫu số liệu gốc về chiều cao của 100 cây keo 3 năm tuổi tại một nông trường được xếp theo thứ tự không giảm.

Ta có x$_{1}$; …; x$_{5}$ ∈ [8,4; 8,6), x$_{6}$; …; x$_{17}$ ∈ [8,6; 8,8), x$_{18}$; …; x$_{42}$ ∈ [8,8; 9,0),

x$_{43}$; …; x$_{86}$ ∈ [9,0; 9,2), x$_{87}$; …; x$_{100}$ ∈ [9,2; 9,4).

Tứ phân vị thứ nhất của mẫu số liệu gốc là $\frac{1}{2}({x}_{25}+{x}_{26})$ ∈ [8,8; 9,0).

Do đó, tứ phân vị thứ nhất của mẫu số liệu ghép nhóm là: ${Q}_{1}=8{,}8+\frac{\frac{100}{4}-(5+12)}{25}(9{,}0-8{,}8)=8{,}864$.

Tứ phân vị thứ ba của mẫu số liệu gốc là $\frac{1}{2}({x}_{75}+{x}_{76})$ ∈ [9,0; 9,2).

Do đó, tứ phân vị thứ ba của mẫu số liệu ghép nhóm là:${Q}_{3}=9{,}0+\frac{\frac{3\cdot 100}{4}-(5+12+25)}{44}(9{,}2-9{,}0)=9{,}15$.

Khoảng tứ phân vị của mẫu số liệu ghép nhóm là:

∆$_{Q}$ = Q$_{3}$ – Q$_{1}$ = 9,15 – 8,864 = 0,286.

b) Trong 100 cây keo trên có 1 cây cao 8,4 m thuộc nhóm [8,4; 8,6).

Vì Q$_{1}$ – 1,5∆$_{Q}$ = 8,864 – 1,5 ∙ 0,286 = 8,435 > 8,4 nên chiều cao của cây keo cao 8,4 m là giá trị ngoại lệ của mẫu số liệu ghép nhóm.

a)

Nam giới:

Cỡ mẫu n = 4 + 7 + 4 + 6 + 15 + 12 + 2 = 50.

Gọi x$_{1}$; x$_{2}$; …; x$_{50}$ là mẫu số liệu gốc về tuổi của nam giới đang sinh hoạt trong câu lạc bộ dưỡng sinh được xếp theo thứ tự không giảm.

Ta có x$_{1}$; …; x$_{4}$ ∈ [50; 55), x$_{5}$; …; x$_{11}$ ∈ [55; 60), x$_{12}$; …; x$_{15}$ ∈ [60; 65),

x$_{16}$; …; x$_{21}$ ∈ [65; 70), x$_{22}$; …; x$_{36}$ ∈ [70; 75), x$_{37}$; …; x$_{48}$ ∈ [75; 80),

x$_{49}$; x$_{50}$ ∈ [80; 85).

Tứ phân vị thứ nhất của mẫu số liệu gốc là x$_{13}$ ∈ [60; 65).

Do đó, tứ phân vị thứ nhất của mẫu số liệu ghép nhóm là: ${Q}_{1}=60+\frac{\frac{50}{4}-(4+7)}{4}(65-60)=61{,}875$.

Tứ phân vị thứ ba của mẫu số liệu gốc là x$_{38}$ ∈ [75; 80).

Do đó, tứ phân vị thứ ba của mẫu số liệu ghép nhóm là:${Q}_{3}=75+\frac{\frac{3\cdot 50}{4}-(4+7+4+6+15)}{12}(80-75)=75{,}625$.

Khoảng tứ phân vị của mẫu số liệu ghép nhóm về tuổi của nam giới đang sinh hoạt trong câu lạc bộ dưỡng sinh là:

∆$_{Q}$ = Q$_{3}$ – Q$_{1}$ = 75,625 – 61,875 = 13,75.

Nữ giới:

Cỡ mẫu n*'* = 3 + 4 + 5 + 3 + 7 + 14 + 13 + 1 = 50.

Gọi y$_{1}$; y$_{2}$; …; y$_{50}$ là mẫu số liệu gốc về tuổi của nữ giới đang sinh hoạt trong câu lạc bộ dưỡng sinh được xếp theo thứ tự không giảm.

Ta có y$_{1}$; …; y$_{4}$ ∈ [50; 55), y$_{4}$; …; y$_{7}$ ∈ [55; 60), y$_{8}$; …; y$_{12}$ ∈ [60; 65),

y$_{13}$; …; x$_{15}$ ∈ [65; 70), y$_{16}$; …; y$_{22}$ ∈ [70; 75), y$_{23}$; …; y$_{36}$ ∈ [75; 80),

y$_{37}$; …; y$_{49}$ ∈ [80; 85), y$_{50}$ ∈ [85; 90).

Tứ phân vị thứ nhất của mẫu số liệu gốc là y$_{13}$ ∈ [65; 70).

Do đó, tứ phân vị thứ nhất của mẫu số liệu ghép nhóm là: ${{Q}^{'}}_{1}=65+\frac{\frac{50}{4}-(3+4+5)}{3}(70-65)=\frac{395}{6}$.

Tứ phân vị thứ ba của mẫu số liệu gốc là y$_{38}$ ∈ [80; 85).

Do đó, tứ phân vị thứ ba của mẫu số liệu ghép nhóm là:${{Q}^{'}}_{3}=80+\frac{\frac{3\cdot 50}{4}-(3+4+5+3+7+14)}{13}(85-80)=\frac{2095}{26}$.

Khoảng tứ phân vị của mẫu số liệu ghép nhóm về tuổi của nữ giới đang sinh hoạt trong câu lạc bộ dưỡng sinh là:

∆'$_{Q}$ = Q*'$_{3}$ – Q'*$_{1}$ = $\frac{2095}{26}-\frac{395}{6}=\frac{575}{39}$ ≈ 14,74.

b) Ta có ∆'$_{Q}$ ≈ 14,74 > ∆$_{Q}$ = 13,75 nên trong câu lạc bộ dưỡng sinh, nam giới có tuổi đồng đều hơn.