Giải SGK Toán 12 CD Bài 4. Ứng dụng hình học của tích phân có đáp án

Quan sát Hình 11, ta thấy:

+ Hình phẳng H1 được giới hạn bởi các đường thẳng x = 0, x = 1, trục Ox và đồ thị hàm số y = f(x) = x3 – 2x2 – x + 2.

+ Hình phẳng H2 được giới hạn bởi các đường thẳng x = 1, x = 2, trục Ox và đồ thị hàm số y = f(x) = x3 – 2x2 – x + 2.

+ Hình phẳng H3 được giới hạn bởi các đường thẳng x = 2, x = 3, trục Ox và đồ thị hàm số y = f(x) = x3 – 2x2 – x + 2.

Ta có:

.

.

.

Do đó, .

Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị của hàm số y = x2 – 2x, trục Ox và hai đường thẳng x = – 1, x = 3 là:

.

Ta có ; .

Khi đó, S = S1 – S2 = .

Mà .

Vậy .

Ta có: 10 – x2 > x2 + 2 với mọi x ∈ [– 2; 2].

Do đó, diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đồ thị hàm số y = 10 – x2, y = x2 + 2 và hai đường thẳng x = – 2, x = 2 là:

.

Thể tích khối lập phương là V = 13 = 1.

Ta có .

Vậy thể tích khối lập phương đó bằng .

Thể tích của vật thể đã cho là:

.

Thể tích khối chóp cụt đều đó là:

.

Vì hay và h = b – a nên

.

Hàm số y = f(x) chính là phương trình của nửa đường tròn tâm O, bán kính r.

Ta có phương trình đường tròn tâm O, bán kính r là x2 + y2 = r2.

Suy ra y = f(x) = (do nửa đường tròn nằm phía trên trục Ox (Hình 24)).

Hình tròn tâm H bán kính f(x) có diện tích là S(x) = πf2(x).

Thể tích của hình cầu tâm O bán kính r là:

.

Thể tích khối tròn xoay khi cho hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số f(x) = , trục hoành và hai đường thẳng x = 0, , quay quanh trục Ox là:

.

Đáp án đúng là: B

Hình thang cong ABCD được giới hạn bởi đồ thị các hàm số , y = – x + 3 và hai đường thẳng x = 1, x = 2.

Ta có với mọi x ∈ [1; 2].

Vậy diện tích của hình thang cong đó là:

.

Đáp án đúng là: B

Thể tích khối tròn xoay tạo thành khi cho hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số , trục hoành và hai đường thẳng x = 0, x = 2 quay quanh trục Ox là:

.

Diện tích hình phẳng đó là:

.

Ta có x + 1 > với mọi x ∈ [1; 2].

Vậy diện tích hình phẳng đó là:

.

Thể tích khối tròn xoay đó là:

.

Hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y = f(t), trục Ot và hai đường thẳng t = 0, t = 2 là hình thang vuông OABC (xem hình dưới).

Ta có SOABC = .

Vậy diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y = f(t), trục Ot và hai đường thẳng t = 0, t = 2 bằng 3.

Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y = f(t), trục Ot và hai đường thẳng t = 0, t = 1 là: .

Do đó, biểu thị cho phần diện tích của hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y = f(t), trục Ot và hai đường thẳng t = 0, t = 1.

Chọn hệ tọa độ Oxy với gốc tọa độ O trùng với chân cửa bên trái như hình dưới đây.

Gọi đồ thị hàm số biểu thị cho cửa đã cho có dạng y = ax2 + bx + c (a ≠ 0).

Đồ thị hàm số này đi qua gốc tọa độ O(0; 0) và các điểm (35; 21), (70; 0) nên

.

Suy ra .

Diện tích mặt kính cần lắp V là diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số , trục Ox và hai đường thẳng x = 0, x = 70.

Ta có (m2).

Hình phẳng tô màu xanh trong Hình 34 được giới hạn bởi đồ thị hàm số y = f(x), các đường thẳng y = 5, x = – 5, x = 10.

Diện tích hình phẳng này là:

(m2).

Cách 1:

Tam giác OMP là tam giác vuông tại P nên:

OP = OM ∙ = ℓ ∙ cos α;

MP = OM ∙ = ℓ ∙ sin α;

Khi đó, điểm M có tọa độ là . Suy ra .

Suy ra yM = xM ∙ tan α. Do đó điểm M thuộc đường thẳng y = x ∙ tan α.

Lại có điểm O cũng thuộc đường thẳng trên nên phương trình đường thẳng OM là:

y = x ∙ tan α.

Khi đó, tam giác OPM là hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y = x ∙ tan α, trục Ox và hai đường thẳng x = 0, x = ℓ ∙ cos α. Khối tròn xoay 𝒩 là khối tròn xoay thu được khi quay hình phẳng trên quanh trục Ox.

Thể tích khối tròn xoay này là:

.

Cách 2:

Tam giác OMP là tam giác vuông tại P nên:

OP = OM ∙ = ℓ ∙ cos α;

MP = OM ∙ = ℓ ∙ sin α;

Khi quay tam giác OPM quanh trục Ox ta được khối nón tròn xoay có bán kính đáy là r = MP = ℓ ∙ sin α và chiều cao h = OP = ℓ ∙ cos α.

Thể tích khối nón là:

.

Thể tích thùng rượu vang đó là:

= π[41 873,40106 – (– 47 659,41294)] ≈ 281 275,6307 (cm2).