Giải SGK Toán 12 CD Bài 2. Phương trình đường thẳng có đáp án

Giá của vectơ là đường thẳng A*'C'*.

Vì ABCD.A*'B'C'D'* là hình hộp nên AC // A*'C'*.

Vậy giá của vectơ và đường thẳng AC song song với nhau.

Vì vectơ là vectơ chỉ phương của đường thẳng ∆ nên giá của vectơ song song hoặc trùng với đường thẳng ∆.

Lại có vectơ có giá là đường thẳng M0M hay chính là đường thẳng ∆.

Từ đó suy ra hai vectơ và có giá song song hoặc trùng nhau nên chúng cùng phương.

Ta có .

.

Ta có là một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (P).

Vì đường thẳng ∆ vuông góc với mặt phẳng (P) nên đường thẳng ∆ nhận vectơ làm vectơ chỉ phương.

Vậy phương trình tham số của đường thẳng ∆ là:

(t là tham số).

Vì M(x; y; z) ∈ ∆ nên .

Khi đó , , .

Suy ra .

Vậy tọa độ (x; y; z) của điểm M (nằm trên ∆) thỏa mãn hệ phương trình .

Ta có .

Vậy phương trình chính tắc của đường thẳng ∆ là .

Phương trình tham số của đường thẳng AB đi qua điểm A(1; 2; 3) và có vectơ chỉ phương là:

(t là tham số).

Phương trình chính tắc của đường thẳng AB đi qua điểm A(1; 2; 3) và có vectơ chỉ phương là:

.

Phương trình chính tắc của đường thẳng OM là:

.

Vì ∆1 và ∆2 cắt nhau nên hai vectơ và không cùng phương.

Ba vectơ , và đồng phẳng vì giá của mỗi vectơ này đều cùng nằm trong mặt phẳng chứa hai đường thẳng cắt nhau ∆1 và ∆2.

Vì ∆1 và ∆2 chéo nhau nên hai vectơ và không cùng phương.

Ba vectơ , và không đồng phẳng.

Xét hệ phương trình .

Ta thấy hệ phương trình này có đúng một nghiệm là t1 = 2, t2 = 1.

Vậy hai đường thẳng ∆1 và ∆2 cắt nhau.

Ta có .

Mà , nên .

Vậy .

Đường thẳng có vectơ chỉ phương là .

Các trục tọa độ Ox, Oy và Oz có vectơ chỉ phương lần lượt là , và .

Ta có:

cos (∆, Ox) = ;

cos (∆, Oy) = ;

cos (∆, Oz) = ;

Mặt phẳng (P) có vectơ pháp tuyến .

Các trục tọa độ Ox, Oy và Oz có vectơ chỉ phương lần lượt là , và .

Ta có:

sin (Ox, (P)) = ;

sin (Oy, (P)) = ;

sin (Oz, (P)) = .

Vì ∆1 ⊥ (P1) và ∆*'1 song song hoặc trùng với ∆1 nên ∆'*1 ⊥ (P1).

Tương tự ∆*'*2 ⊥ (P2).

Khi đó, góc giữa hai đường thẳng ∆*'1, ∆'*2 luôn là góc giữa hai đường thẳng lần lượt vuông góc với hai mặt phẳng (P1) và (P2) nên góc giữa hai đường thẳng ∆1, ∆2 không phụ thuộc vào việc chọn hai đường thẳng ∆1, ∆2.

Theo Ví dụ 10, ta có AD*'* ⊥ (CDA*'B'*).

Mặt khác, ta có AB ⊥ (BCC*'B'), suy ra góc giữa hai mặt phẳng (BCC'B') và (CDA'B') là góc giữa hai đường thẳng AB và AD', đó là góc BAD'*.

Lại có AB ⊥ (ADD*'A'), suy ra AB ⊥ AD'*, do đó .

Vậy ((BCC*'B'), (CDA'B'*)) = .

Vì ∆1, ∆2 lần lượt là giá của hai vectơ lần lượt là hai vectơ pháp tuyến của (P1), (P2) nên ∆1 ⊥ (P1) và ∆2 ⊥ (P2).

Khi đó, ((P1), (P2)) = (∆1, ∆2). Suy ra cos ((P1), (P2)) = cos (∆1, ∆2).

Các vectơ , và lần lượt là vectơ pháp tuyến của các mặt phẳng tọa độ (Oyz), (Ozx) và (Oxy).

Ta có:

cos ((P), (Oyz)) = ;

cos ((P), (Ozx)) = ;

cos ((P), (Oxy)) = .

Đáp án đúng là: D

Đường thẳng đi qua điểm A(3; 2; 5) nhận làm vectơ chỉ phương có phương trình tham số là: (t là tham số).

Đáp án đúng là: B

Đường thẳng đi qua điểm B(– 1; 3; 6) nhận làm vectơ chỉ phương có phương trình chính tắc là: .

Đáp án đúng là: C

Các vectơ lần lượt là các vectơ pháp tuyến của các mặt phẳng (P), (P1), (P2), (P3), (P4).

Ta có . Suy ra .

Vậy mặt phẳng (P) vuông góc với mặt phẳng (P3).

Với t = 0 ta có . Suy ra A(1; 3; – 1) ∈ ∆.

Với t = 1 ta có . Suy ra B(0; 5; 2) ∈ ∆.

Thay tọa độ điểm C(6; – 7; – 16) vào phương trình đường thẳng ∆ ta được:

. Do đó, C ∈ ∆.

Thay tọa độ điểm D(– 3; 11; – 11) vào phương trình đường thẳng ∆ ta được:

(vô lí). Do đó, D ∉ ∆.

Vậy trong hai điểm C và D, chỉ có điểm C thuộc đường thẳng ∆.

+ Phương trình tham số của đường thẳng ∆ đi qua điểm A(– 1; 3; 2) và có vectơ chỉ phương là: (t là tham số).

+ Phương trình chính tắc của đường thẳng ∆ đi qua điểm A(– 1; 3; 2) và có vectơ chỉ phương là: .

Ta có là một vectơ chỉ phương của đường thẳng ∆.

+ Phương trình tham số của đường thẳng ∆ là: (t*'* là tham số).

+ Phương trình chính tắc của đường thẳng ∆ là: .

Lưu ý: Ở ý b này, ta có thể lấy điểm N làm điểm mà đường thẳng ∆ đi qua để viết phương trình tham số và phương trình chính tắc của ∆.

Đường thẳng ∆1 đi qua điểm M1(1; 2; 3) và có là vectơ chỉ phương.

Đường thẳng ∆2 đi qua điểm M2(– 11; – 6; 10) và có là vectơ chỉ phương.

Ta có , suy ra , cùng phương;

và nên không cùng phương.

Vậy ∆1 // ∆2.

Đường thẳng ∆1 đi qua điểm M1(1; 2; 3) và có là vectơ chỉ phương.

Đường thẳng ∆2 đi qua điểm M2(– 3; – 6; 15) và có là vectơ chỉ phương.

Ta có: , suy ra , không cùng phương;

, .

Do (– 22) ∙ (– 4) + 14 ∙ (– 8) + 2 ∙ 12 = 0 nên đồng phẳng.

Vậy ∆1 cắt ∆2.

Đường thẳng ∆1 đi qua điểm M1(– 1; 1; 0) và có là vectơ chỉ phương.

Đường thẳng ∆2 đi qua điểm M2(1; 3; 1) và có là vectơ chỉ phương.

Ta có: , .

Do 4 ∙ 2 + (– 7) ∙ 2 + 5 ∙ 1 = – 1 ≠ 0 nên không đồng phẳng.

Vậy ∆1 và ∆2 chéo nhau.

Hai đường thẳng ∆1 và ∆2 có vectơ chỉ phương lần lượt là , .

Ta có: cos (∆1, ∆2) = .

Suy ra (∆1, ∆2) = 30°.

Hai đường thẳng ∆1 và ∆2 có vectơ chỉ phương lần lượt là , .

Ta có: cos (∆1, ∆2) = .

Suy ra (∆1, ∆2) ≈ 11°.

Hai đường thẳng ∆1 và ∆2 có vectơ chỉ phương lần lượt là và .

Ta có: cos (∆1, ∆2) = .

Suy ra (∆1, ∆2) ≈ 80°.

Đường thẳng ∆ có vectơ chỉ phương là và mặt phẳng (P) có vectơ pháp tuyến là .

Ta có sin (∆, (P)) = .

Suy ra (∆, (P)) ≈ 19°.

Do (P1), (P2) có hai vectơ pháp tuyến lần lượt là , nên

cos ((P1), (P2)) = .

Suy ra ((P1), (P2)) = 60°.

Ta có: .

Các vectơ lần lượt là vectơ chỉ phương của hai đường thẳng SA và CD nên

cos (SA, CD) = (do a > 0).

Suy ra (SA, CD) = 60°.

Ta có .

Xét vectơ .

Khi đó, là một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (SAC).

Đường thẳng SD có vectơ chỉ phương là .

Ta có sin (SD, (SAC)) =

.

Suy ra (SD, (SAC)) ≈ 28°.

Đường thẳng AB đi qua điểm A(3,5; – 2; 0,4) và nhận làm vectơ chỉ phương.

Phương trình tham số của đường thẳng AB là: (t là tham số).

Lưu ý: Ta có thể chọn điểm đi qua là B để viết phương trình tham số hoặc có thể viết phương trình chính tắc của đường thẳng AB.

Mặt phẳng nằm ngang (Oxy) có vectơ pháp tuyến là .

Ta có sin (AB, (Oxy)) = .

Suy ra (AB, (Oxy)) ≈ 3° ∈ (2,5°; 3,5°).

Vậy góc trượt nằm trong phạm vi cho phép.

Ta có .

Xét vectơ , hay .

Khi đó là một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (MNP) hay chính là mặt phẳng (α).

Phương trình mặt phẳng (α) là:

– 2,5(x – 5) + 2,5(y – 0) – 25(z – 0) = 0 ⇔ x – y + 10z – 5 = 0.

Vì C là vị trí mà máy bay xuyên qua đám mây để hạ cánh nên C là giao điểm của đường thẳng AB và mặt phẳng (α).

Vì C ∈ AB nên gọi tọa độ điểm C là C(3,5; – 2 + 7,5t; 0,4 – 0,4t).

Lại có C ∈ (α) nên ta có 3,5 – (– 2 + 7,5t) + 10(0,4 – 0,4t) – 5 = 0, suy ra t = .

Vậy C.

Vì D ∈ AB nên gọi tọa độ điểm D là D(3,5; – 2 + 7,5t*'; 0,4 – 0,4t'*).

D là vị trí mà máy bay ở độ cao 120 m, tức là khoảng cách từ D đến mặt phẳng (Oxy) bằng 120 m và bằng 0,12 km.

Ta có d(D, (Oxy)) = = |0,4 – 0,4t*'*|.

Khi đó, |0,4 – 0,4t*'*| = 0,12 .

Với t*'* = 0,7, ta có D(3,5; 3,25; 0,12).

Với t*'* = 1,3, ta có D(3,5; 7,75; – 0,12).

Vì D là vị trí độ cao của máy bay nên ta chọn D(3,5; 3,25; 0,12).

Ta có (km)

Vì tầm nhìn xa của phi công sau khi ra khỏi đám mây là 900 m = 0,9 km < 1,256 km nên người phi công đó không đạt được quy định an toàn bay.