Giải SGK Toán 12 Cánh diều Bài 3. Biểu thức tọa độ của các phép toán vectơ có đáp án

Sau bài học này, ta giải quyết được bài toán trên như sau:

Theo giả thiết, ta có các điểm P(0; 0; 4), Q$_{1}$(0; – 1; 0), Q$_{2 (\frac{\sqrt{3}}{2};\ \frac{1}{2};\ 0)}$, Q$_{3 (-\frac{\sqrt{3}}{2};\ \frac{1}{2};\ 0)}$ .

Suy ra $\overrightarrow{P{Q}_{1}}=(0-0;\ -1-0;\ 0-4)$ hay $\overrightarrow{P{Q}_{1}}=(0;\ -1;\ -4)$ ;

$\overrightarrow{P{Q}_{2}}=(\frac{\sqrt{3}}{2}-0;\ \frac{1}{2}-0;\ 0-4)$ hay $\overrightarrow{P{Q}_{2}}=(\frac{\sqrt{3}}{2};\ \frac{1}{2};\ -4)$ ;

$\overrightarrow{P{Q}_{3}}=(-\frac{\sqrt{3}}{2}-0;\ \frac{1}{2}-0;\ 0-4)$ hay $\overrightarrow{P{Q}_{3}}=(-\frac{\sqrt{3}}{2};\ \frac{1}{2};\ -4)$ .

Suy ra $|\overrightarrow{P{Q}_{1}}|=|\overrightarrow{P{Q}_{2}}|=|\overrightarrow{P{Q}_{3}}|=\sqrt{17}$ . Do đó, $|\overrightarrow{{F}_{1}}|=|\overrightarrow{{F}_{2}}|=|\overrightarrow{{F}_{3}}|$ .

Vì vậy, tồn tại hằng số c ≠ 0 sao cho:

$\overrightarrow{{F}_{1}}=c\overrightarrow{P{Q}_{1}}=(0;\ -c;\ -4c)$;

$\overrightarrow{{F}_{2}}=c\overrightarrow{P{Q}_{2}}=(\frac{\sqrt{3}}{2}c;\ \frac{1}{2}c;\ -4c)$;

$\overrightarrow{{F}_{3}}=c\overrightarrow{P{Q}_{3}}=(-\frac{\sqrt{3}}{2}c;\ \frac{1}{2}c;\ -4c)$.

Suy ra $\overrightarrow{{F}_{1}}+\overrightarrow{{F}_{2}}+\overrightarrow{{F}_{3}}=(0;\ 0;\ -12c)$.

Mặt khác, ta có: $\overrightarrow{{F}_{1}}+\overrightarrow{{F}_{2}}+\overrightarrow{{F}_{3}}=\overrightarrow{F}$ , trong đó $\overrightarrow{F}=(0;\ 0;\ -360)$ là trọng lực tác dụng lên máy quay. Suy ra – 12c = – 360, tức là c = 30.

Vậy $\overrightarrow{{F}_{1}}=(0;\ -30;\ -120);\ \overrightarrow{{F}_{2}}=(15\sqrt{3};\ 15;\ -120);\ \overrightarrow{{F}_{3}}=(-15\sqrt{3};\ 15;\ -120)$ .

a) Ta có $\overrightarrow{u}=({x}_{1};\ {y}_{1};\ {z}_{1})$ nên $\overrightarrow{u}={x}_{1}\overrightarrow{i}+{y}_{1}\overrightarrow{j}+{z}_{1}\overrightarrow{k}$ .

Ta có $\overrightarrow{v}=({x}_{2};\ {y}_{2};\ {z}_{2})$ nên $\overrightarrow{v}={x}_{2}\overrightarrow{i}+{y}_{2}\overrightarrow{j}+{z}_{2}\overrightarrow{k}$ .

a)

Vì M là trung điểm của AB nên với điểm O ta có: $\overrightarrow{OM}=\frac{1}{2}(\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB})$ .

Ta có A(x$_{A}$; y$_{A}$; z$_{A}$) và B(x$_{B}$; y$_{B}$; z$_{B}$) nên $\overrightarrow{OA}$ = (x$_{A}$; y$_{A}$; z$_{A}$) và $\overrightarrow{OB}$= (x$_{B}$; y$_{B}$; z$_{B}$).

Khi đó, $\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}$= (x$_{A}$ + x$_{B}$; y$_{A}$ + y$_{B}$; z$_{A}$ + z$_{B}$).

Suy ra $\overrightarrow{OM}=\frac{1}{2}(\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB})=(\frac{1}{2}({x}_{A}+{x}_{B});\ \frac{1}{2}({y}_{A}+{y}_{B});\ \frac{1}{2}({z}_{A}+{z}_{B}))$ .

Do đó,$M(\frac{1}{2}({x}_{A}+{x}_{B});\ \frac{1}{2}({y}_{A}+{y}_{B});\ \frac{1}{2}({z}_{A}+{z}_{B}))$ hay $\{\begin{matrix}{x}_{M}=\frac{1}{2}({x}_{A}+{x}_{B}) \\ {y}_{M}=\frac{1}{2}({y}_{A}+{y}_{B}) \\ {z}_{M}=\frac{1}{2}({z}_{A}+{z}_{B})\end{matrix}$ .

b)

Vì G là trọng tâm của tam giác ABC nên với điểm O ta có:

$\overrightarrow{OG}=\frac{1}{3}(\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC})$.

Ta có A(x$_{A}$; y$_{A}$; z$_{A}$), B(x$_{B}$; y$_{B}$; z$_{B}$), C(x$_{C}$; y$_{C}$; z$_{C}$).

Suy ra $\overrightarrow{OA}$= (x$_{A}$; y$_{A}$; z$_{A}$), $\overrightarrow{OB}$ = (x$_{B}$; y$_{B}$; z$_{B}$), $\overrightarrow{OC}$= (x$_{C}$; y$_{C}$; z$_{C}$).

Khi đó, = (x$_{A}$ + x$_{B}$ + x$_{C}$; y$_{A}$ + y$_{B}$ + y$_{C}$; z$_{A}$ + z$_{B}$ + z$_{C}$).

Suy ra $\overrightarrow{OG}=\frac{1}{3}(\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC})=(\frac{{x}_{A}+{x}_{B}+{x}_{C}}{3};\ \frac{{y}_{A}+{y}_{B}+{y}_{C}}{3};\ \frac{{z}_{A}+{z}_{B}+{z}_{C}}{3})$ .

Do đó,$G(\frac{{x}_{A}+{x}_{B}+{x}_{C}}{3};\ \frac{{y}_{A}+{y}_{B}+{y}_{C}}{3};\ \frac{{z}_{A}+{z}_{B}+{z}_{C}}{3})$ hay $\{\begin{matrix}{x}_{G}=\frac{{x}_{A}+{x}_{B}+{x}_{C}}{3} \\ {y}_{G}=\frac{{y}_{A}+{y}_{B}+{y}_{C}}{3} \\ {z}_{G}=\frac{{z}_{A}+{z}_{B}+{z}_{C}}{3}\end{matrix}$ .

a) Ta có $\overrightarrow{AB}=(1;\ 1;\ 4),\ \overrightarrow{AG}=(1;\ 3;\ -1)$ .

Suy ra $\overrightarrow{AB}=(1;\ 1;\ 4)\ne k\overrightarrow{AG}=(k;\ 3k;\ -k)$ với mọi k ∈ ℝ nên hai vectơ $\overrightarrow{AB}$ và $\overrightarrow{AG}$ không cùng phương.

Vậy ba điểm A, B, G không thẳng hàng.

b) Gọi tọa độ điểm C là (x$_{C}$; y$_{C}$; z$_{C}$).

Vì G là trọng tâm của tam giác ABC nên ta có $\{\begin{matrix}1=\frac{0+1+{x}_{C}}{3} \\ 2=\frac{-1+0+{y}_{C}}{3} \\ 0=\frac{1+5+{z}_{C}}{3}\end{matrix}$ .

Suy ra x$_{C}$ = 3 – 1 = 2, y$_{C}$ = 6 + 1 = 7, z$_{C}$ = 0 – 6 = – 6.

Vậy C(2; 7; – 6).