Giải SGK Toán 12 Cánh diều Bài 2. Phương sai, độ lệch chuẩn của mẫu số liệu ghép nhóm có đáp án

Sau bài học này, ta giải quyết bài toán trên như sau:

Để kiểm tra xem kết quả nhảy xa của vận động viên nào đồng đều hơn, ta cần tính phương sai và độ lệch chuẩn của mẫu số liệu ghép nhóm biểu diễn kết quả 40 lần nhảy xa của từng vận động viên và so sánh.

Từ Bảng 11 và Bảng 12, ta có các bảng thống kê sau:

Số trung bình cộng của mẫu số liệu ghép nhóm biểu diễn kết quả 40 lần nhảy xa của vận động viên Dũng là:

${\overline{x}}_{D}=\frac{3\cdot 6{,}34+7\cdot 6{,}58+5\cdot 6{,}82+20\cdot 7{,}06+5\cdot 7{,}30}{40}=\frac{276{,}88}{40}\approx 6{,}92$ (m).

Vậy phương sai của của mẫu số liệu ghép nhóm biểu diễn kết quả 40 lần nhảy xa của vận động viên Dũng là:

${s}_{D}^{2}=\frac{1}{40}$∙ [3 ∙ (6,34 – 6,92)$^{2}$ + 7 ∙ (6,58 – 6,92)$^{2}$ + 5 ∙ (6,82 – 6,92)$^{2}$

+ 20 ∙ (7,06 – 6,92)$^{2}$ + 5 ∙ (7,30 – 6,92)$^{2}$] = $\frac{2{,}9824}{40}$ ≈ 0,07.

Độ lệch chuẩn của mẫu số liệu ghép nhóm trên là: ${s}_{D}\approx \sqrt{0{,}07}\approx 0{,}26$ (m).

Số trung bình cộng của mẫu số liệu ghép nhóm biểu diễn kết quả 40 lần nhảy xa của vận động viên Huy là:

${\overline{x}}_{H}=\frac{2\cdot 6{,}34+5\cdot 6{,}58+8\cdot 6{,}82+19\cdot 7{,}06+6\cdot 7{,}30}{40}=\frac{278{,}08}{40}\approx 6{,}95$ (m).

Vậy phương sai của của mẫu số liệu ghép nhóm biểu diễn kết quả 40 lần nhảy xa của vận động viên Huy là:

${s}_{H}^{2}=\frac{1}{40}$∙ [2 ∙ (6,34 – 6,95)$^{2}$ + 5 ∙ (6,58 – 6,95)$^{2}$ + 8 ∙ (6,82 – 6,95)$^{2}$

+ 19 ∙ (7,06 – 6,95)$^{2}$ + 6 ∙ (7,30 – 6,95)$^{2}$] = $\frac{2{,}5288}{40}$ ≈ 0,06.

Độ lệch chuẩn của mẫu số liệu ghép nhóm trên là: ${s}_{H}\approx \sqrt{0{,}06}\approx 0{,}24$ (m).

Do s$_{H}$ ≈ 0,24 < s$_{D}$ ≈ 0,26 nên kết quả nhảy xa của vận động viên Huy đồng đều hơn kết quả nhảy xa của vận động viên Dũng.

a) Ta có ${x}_{1}=\frac{40+45}{2}=42{,}5$ ; ${x}_{2}=\frac{45+50}{2}=47{,}5$; ${x}_{3}=\frac{50+55}{2}=52{,}5$;

${x}_{4}=\frac{55+60}{2}=57{,}5$; ${x}_{5}=\frac{60+65}{2}=62{,}5$.

b) Số trung bình cộng của mẫu số liệu ghép nhóm đã cho là:

$\overline{x}=\frac{3\cdot 42{,}5+12\cdot 47{,}5+9\cdot 52{,}5+7\cdot 57{,}5+9\cdot 62{,}5}{40}=53{,}375$ .

Từ Bảng 17 ta có bảng thống kê sau:

Số trung bình cộng của mẫu số liệu ghép nhóm trên là:

$\overline{x}=\frac{6\cdot 55+12\cdot 65+7\cdot 75+8\cdot 85+7\cdot 95}{40}=\frac{2980}{40}=74{,}5$.

Vậy phương sai của của mẫu số liệu ghép nhóm trên là:

${s}^{2}=\frac{1}{40}$∙ [6 ∙ (55 – 74,5)$^{2}$ + 12 ∙ (65 – 74,5)$^{2}$ + 7 ∙ (75 – 74,5)$^{2}$

+ 8 ∙ (85 – 74,5)$^{2}$ + 7 ∙ (95 – 74,5)$^{2}$] = $\frac{7190}{40}$ ≈ 179,8.

Độ lệch chuẩn của mẫu số liệu ghép nhóm trên là: $s\approx \sqrt{179{,}8}\approx 13{,}4$.

a) Đáp án đúng là: B

Số trung bình cộng của mẫu số liệu ghép nhóm được cho bởi Bảng 18 là:

$\overline{x}=\frac{4\cdot 42{,}5+14\cdot 47{,}5+8\cdot 52{,}5+10\cdot 57{,}5+6\cdot 62{,}5+2\cdot 67{,}5}{44}=\frac{2340}{44}\approx 53{,}2$ (chục nghìn đồng).

Vậy phương sai của của mẫu số liệu ghép nhóm được cho bởi Bảng 18 là:

${s}^{2}=\frac{1}{44}$∙ [4 ∙ (42,5 – 53,2)$^{2}$ + 14 ∙ (47,5 – 53,2)$^{2}$ + 8 ∙ (52,5 – 53,2)$^{2}$ + 10 ∙ (57,5 – 53,2)$^{2}$

+ 6 ∙ (62,5 – 53,2)$^{2}$ + 2 ∙ (67,5 – 53,2)$^{2}$] = $\frac{2029{,}56}{44}$ ≈ 46,1.

b) Đáp án đúng là: A

Độ lệch chuẩn của mẫu số liệu ghép nhóm trên là: $s\approx \sqrt{46{,}1}\approx 6{,}8$ (chục nghìn đồng).

a) Số trung bình cộng của mẫu số liệu ghép nhóm biểu diễn mức lương của công ty A được cho bởi Bảng 19 là:

${\overline{x}}_{A}=\frac{15\cdot 12{,}5+18\cdot 17{,}5+10\cdot 22{,}5+10\cdot 27{,}5+5\cdot 32{,}5+2\cdot 37{,}5}{60}=\frac{1240}{60}\approx 20{,}67$ (triệu đồng).

Vậy phương sai của của mẫu số liệu ghép nhóm biểu diễn mức lương của công ty A được cho bởi Bảng 19 là:

${s}_{A}^{2}=\frac{1}{60}$∙ [15 ∙ (12,5 – 20,67)$^{2}$ + 18 ∙ (17,5 – 20,67)$^{2}$ + 10 ∙ (22,5 – 20,67)$^{2}$

+ 10 ∙ (27,5 – 20,67)$^{2}$+ 5 ∙ (32,5 – 20,67)$^{2}$ + 2 ∙ (37,5 – 20,67)$^{2}$] = $\frac{2948{,}334}{60}$ ≈ 49,14.

Độ lệch chuẩn của mẫu số liệu ghép nhóm trên là: ${s}_{A}\approx \sqrt{49{,}14}\approx 7{,}01$ (triệu đồng).

Số trung bình cộng của mẫu số liệu ghép nhóm biểu diễn mức lương của công ty B được cho bởi Bảng 20 là:

${\overline{x}}_{B}=\frac{25\cdot 12{,}5+15\cdot 17{,}5+7\cdot 22{,}5+5\cdot 27{,}5+5\cdot 32{,}5+3\cdot 37{,}5}{60}=\frac{1047{,}5}{60}\approx 17{,}46$ (triệu đồng).

Vậy phương sai của của mẫu số liệu ghép nhóm biểu diễn mức lương của công ty B được cho bởi Bảng 20 là:

${s}_{B}^{2}=\frac{1}{60}$∙ [25 ∙ (12,5 – 17,46)$^{2}$ + 15 ∙ (17,5 – 17,46)$^{2}$ + 7 ∙ (22,5 – 17,46)$^{2}$

+ 5 ∙ (27,5 – 17,46)$^{2}$+ 5 ∙ (32,5 – 17,46)$^{2}$ + 3 ∙ (37,5 – 17,46)$^{2}$] = $\frac{3632{,}696}{60}$ ≈ 60,54.

Độ lệch chuẩn của mẫu số liệu ghép nhóm trên là: ${s}_{B}\approx \sqrt{60{,}54}\approx 7{,}78$ (triệu đồng).

Số trung bình cộng của mẫu số liệu ghép nhóm được cho bởi Bảng 21 là:

$\overline{x}=\frac{25\cdot 25+20\cdot 35+20\cdot 45+15\cdot 55+14\cdot 65+6\cdot 75}{100}=\frac{4410}{100}\approx 44$.

Vậy phương sai của của mẫu số liệu ghép nhóm được cho bởi Bảng 21 là:

${s}^{2}=\frac{1}{100}$∙ [25 ∙ (25 – 44)$^{2}$ + 20 ∙ (35 – 44)$^{2}$ + 20 ∙ (45 – 44)$^{2}$

+ 15 ∙ (55 – 44)$^{2}$+ 14 ∙ (65 – 44)$^{2}$ + 6 ∙ (75 – 44)$^{2}$] = $\frac{24420}{100}$ = 244,2.

Độ lệch chuẩn của mẫu số liệu ghép nhóm trên là: $s=\sqrt{244{,}2}\approx 15{,}6$.