Giải SGK Toán 12 Cánh diều Bài 1. Vectơ và các phép toán vectơ trong không gian có đáp án

Sau bài học này, ta trả lời được câu hỏi trên như sau:

Vectơ trong không gian là một đoạn thẳng có hướng.

Các phép toán về vectơ trong không gian:

- Tổng và hiệu của hai vectơ trong không gian

+ Quy tắc ba điểm: $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AC}$ .

+ Quy tắc hình bình hành: Nếu ABCD là hình bình hành thì $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{AC}$ .

+ Quy tắc hình hộp: Nếu ABCD.A*'B'C'D'* là hình hộp thì $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{A{A}^{'}}=\overrightarrow{A{C}^{'}}$ .

+ Quy tắc hiệu: $\overrightarrow{OA}-\overrightarrow{OB}=\overrightarrow{BA}$ .

- Tích của một số với một vectơ trong không gian: …

- Tích vô hướng của hai vectơ trong không gian:

Trong mặt phẳng, ta có các định nghĩa sau:

a) Vectơ là một đoạn thẳng có hướng.

Giá của vectơ là đường thẳng đi qua điểm đầu và điểm cuối của vectơ đó.

Độ dài của vectơ là khoảng cách giữa điểm đầu và điểm cuối của vectơ đó.

Hai vectơ được gọi là cùng phương nếu chúng có giá song song hoặc trùng nhau.

Nếu hai vectơ cùng phương thì chúng cùng hướng hoặc ngược hướng. Hai vectơ cùng hướng khi chúng có cùng chiều từ điểm đầu đến điểm cuối.

b) Vectơ-không là vectơ có điểm đầu và điểm cuối trùng nhau, kí hiệu là $\overrightarrow{0}$.

c) Hai vectơ bằng nhau nếu chúng cùng hướng và cùng độ dài.

Vectơ có cùng độ dài và ngược hướng với vectơ $\overrightarrow{a}$được gọi là vectơ đối của vectơ $\overrightarrow{a}$ , kí hiệu là $-\overrightarrow{a}$ . Hai vectơ $\overrightarrow{a}$ và $-\overrightarrow{a}$ được gọi là hai vectơ đối nhau.

a) Do các vectơ $\overrightarrow{B{B}^{'}},\ \overrightarrow{C{C}^{'}},\ \overrightarrow{D{D}^{'}}$ cùng hướng với vectơ và AA*'* = BB*'* = CC*'* = DD*'* (tính chất hình hộp) nên $\overrightarrow{A{A}^{'}}=\overrightarrow{B{B}^{'}}=\overrightarrow{C{C}^{'}}=\overrightarrow{D{D}^{'}}$ .

Vậy ba vectơ $\overrightarrow{B{B}^{'}},\ \overrightarrow{C{C}^{'}},\ \overrightarrow{D{D}^{'}}$ có điểm đầu và điểm cuối là các đỉnh của hình hộp và bằng vectơ $\overrightarrow{A{A}^{'}}$ .

a) Từ điểm A, ta vẽ đường thẳng song song với giá của vectơ $\overrightarrow{a}$ , trên đường thẳng này, ta lấy điểm B sao cho hai vectơ $\overrightarrow{AB}$ và $\overrightarrow{a}$ cùng hướng, đồng thời $|\overrightarrow{a}|=AB$ .

Vậy ta được $\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{a}$ . Tương tự ta vẽ vectơ $\overrightarrow{BC}$ .

b) Ta có $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AC}$ .

Vậy tổng của hai vectơ $\overrightarrow{a}$ và $\overrightarrow{b}$ bằng vectơ $\overrightarrow{AC}$ .

Theo quy tắc ba điểm, ta có $\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}$ .

Do đó, $\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{DB}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{DB}=\overrightarrow{AB}+(\overrightarrow{DB}+\overrightarrow{BC})=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{DC}$ .

Vì ABCD.A*'B'C'D'* là hình hộp nên ABCD và ACC*'A'* là các hình bình hành.

Do ABCD là hình bình hành nên ta có $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{AC}$ .

Do ACC*'A'* là hình bình hành nên ta có $\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{A{A}^{'}}=\overrightarrow{A{C}^{'}}$ .

Từ đó ta suy ra $\overrightarrow{A{C}^{'}}=\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{A{A}^{'}}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{A{A}^{'}}$.

Vậy $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{A{A}^{'}}=\overrightarrow{A{C}^{'}}$ .

Vì ABCD.A*'B'C'D'* là hình hộp nên ta có $\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{{B}^{'}{C}^{'}}$ , $\overrightarrow{CD}=\overrightarrow{{B}^{'}{A}^{'}}$ .

Do đó: $\overrightarrow{{B}^{'}B}+\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{CD}=\overrightarrow{{B}^{'}B}+\overrightarrow{{B}^{'}{C}^{'}}+\overrightarrow{{B}^{'}{A}^{'}}=\overrightarrow{{B}^{'}D}$

a)

b) Dựng hình bình hành AMCN, khi đó ta có $\overrightarrow{MN}=\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MC}=\overrightarrow{a}+(-\overrightarrow{b})$ .

Vậy tổng của hai vectơ $\overrightarrow{a}$ và $-\overrightarrow{b}$ bằng vectơ $\overrightarrow{MN}$ .

Ta có $\overrightarrow{B{B}^{'}}-\overrightarrow{{C}^{'}{B}^{'}}-\overrightarrow{{D}^{'}{C}^{'}}=\overrightarrow{B{B}^{'}}+(-\overrightarrow{{C}^{'}{B}^{'}})+(-\overrightarrow{{D}^{'}{C}^{'}})$

$=\overrightarrow{B{B}^{'}}+\overrightarrow{{B}^{'}{C}^{'}}+\overrightarrow{{C}^{'}{D}^{'}}=\overrightarrow{B{C}^{'}}+\overrightarrow{{C}^{'}{D}^{'}}=\overrightarrow{B{D}^{'}}$ .

Định nghĩa:

Cho số thực k ≠ 0 và vectơ $\overrightarrow{a}\ne \overrightarrow{0}$ . Tích của một số k với vectơ $\overrightarrow{a}$ là một vectơ, kí hiệu là $k\overrightarrow{a}$ , được xác định như sua:

Cùng hướng với vectơ $\overrightarrow{a}$ nếu k > 0, ngược hướng với vectơ $\overrightarrow{a}$ nếu k < 0;

Có độ dài bằng |k| ∙$|\overrightarrow{a}|$ .

a) Vì N là trung điểm của BC nên với điểm M, ta có $\overrightarrow{MN}=\frac{1}{2}(\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{MC})$ .

Theo quy tắc ba điểm ta có: $\overrightarrow{MB}=\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{AB},\ \overrightarrow{MC}=\overrightarrow{MD}+\overrightarrow{DC}$ .

Lại có M là trung điểm của AD nên $\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MD}=\overrightarrow{0}$ .

Từ đó ta suy ra $\overrightarrow{MN}=\frac{1}{2}(\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{MC})=\frac{1}{2}[(\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{AB})+(\overrightarrow{MD}+\overrightarrow{DC})]$

$=\frac{1}{2}[(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{DC})+(\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MD})]=\frac{1}{2}(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{DC})$ .

Vậy $\overrightarrow{MN}=\frac{1}{2}(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{DC})$ .

a)

b) Định nghĩa góc giữa hai vectơ $\overrightarrow{OA},\ \overrightarrow{OB}$ trong mặt phẳng (P): Góc giữa hai vectơ $\overrightarrow{OA},\ \overrightarrow{OB}$ là góc giữa hai tia OA, OB và được kí hiệu là $(\overrightarrow{OA},\ \overrightarrow{OB})$ .

Vì M, N lần lượt là trung điểm các cạnh AB, AC nên MN là đường trung bình của tam giác ABC, do đó MN // BC và MN = $\frac{1}{2}$ BC. Suy ra $\overrightarrow{MN}=\frac{1}{2}\overrightarrow{BC}$ .

Gọi I là trung điểm của BC. Ta có $\overrightarrow{BI}=\frac{1}{2}\overrightarrow{BC}$ .

Từ đó suy ra $\overrightarrow{MN}=\overrightarrow{BI}$ . Do đó, $(\overrightarrow{MN},\ \overrightarrow{BD})=(\overrightarrow{BI},\ \overrightarrow{BD})=\widehat{IBD}$.

Vì ABCD là tứ diện đều nên tam giác BCD đều, suy ra $\widehat{IBD}=\widehat{CBD}=60^{\circ}$ .

Vậy $(\overrightarrow{MN},\ \overrightarrow{BD})=60^{\circ}$ .

Ta có: $\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{{A}^{'}{C}^{'}}$ . Do đó, $(\overrightarrow{AC},\ \overrightarrow{{A}^{'}{D}^{'}})=(\overrightarrow{{A}^{'}{C}^{'}},\ \overrightarrow{{A}^{'}{D}^{'}})=\widehat{{C}^{'}{A}^{'}{D}^{'}}$ .

Vì ABCD.A*'B'C'D'* là hình lập phương nên A*'B'C'D'* là hình vuông.

Suy ra $\widehat{{C}^{'}{A}^{'}{D}^{'}}=45^{\circ}$ .

Vậy $(\overrightarrow{AC},\ \overrightarrow{{A}^{'}{D}^{'}})=45^{\circ}$ .

Ta có: $\overrightarrow{{A}^{'}B}=\overrightarrow{{D}^{'}C}$ . Do đó, $(\overrightarrow{{A}^{'}B},\ \overrightarrow{{D}^{'}{C}^{'}})=(\overrightarrow{{D}^{'}C},\ \overrightarrow{{D}^{'}{C}^{'}})=\widehat{C{D}^{'}{C}^{'}}$ .

Vì ABCD.A*'B'C'D'* là hình lập phương nên CDD*'C'* là hình vuông.

Suy ra $\widehat{C{D}^{'}{C}^{'}}=45^{\circ}$ . Vậy $(\overrightarrow{{A}^{'}B},\ \overrightarrow{{D}^{'}{C}^{'}})=45^{\circ}$ .

Ta có $|\overrightarrow{{A}^{'}B}|={A}^{'}B=\sqrt{A{{A}^{'}}^{2}+A{B}^{2}}=\sqrt{{a}^{2}+{a}^{2}}=a\sqrt{2}$ , $|\overrightarrow{{D}^{'}{C}^{'}}|={D}^{'}{C}^{'}=a$ .

Do đó, $\overrightarrow{{A}^{'}B}\cdot \overrightarrow{{D}^{'}{C}^{'}}=|\overrightarrow{{A}^{'}B}|\cdot |\overrightarrow{{D}^{'}{C}^{'}}|\cdot \cos (\overrightarrow{{A}^{'}B},\overrightarrow{{D}^{'}{C}^{'}})=a\sqrt{2}\cdot a\cdot \cos 45^{\circ}={a}^{2}$ .

Ta có: $\overrightarrow{{D}^{'}A}=\overrightarrow{{C}^{'}B}$ . Do đó, $(\overrightarrow{{D}^{'}A},\ \overrightarrow{BC})=(\overrightarrow{{C}^{'}B},\ \overrightarrow{BC})=\widehat{CB{C}^{'}}\$ .

Vì ABCD.A*'B'C'D'* là hình lập phương nên CBB*'C'* là hình vuông.

Suy ra $\widehat{CB{C}^{'}}=45^{\circ}$ . Vậy$(\overrightarrow{{D}^{'}A},\ \overrightarrow{BC})=45^{\circ}$ .

Ta có $|\overrightarrow{{D}^{'}A}|={D}^{'}A=\sqrt{D{{D}^{'}}^{2}+D{A}^{2}}=\sqrt{{a}^{2}+{a}^{2}}=a\sqrt{2}$ , $|\overrightarrow{BC}|=BC=a$ .

Do đó, $\overrightarrow{{D}^{'}A}\cdot \overrightarrow{BC}=|\overrightarrow{{D}^{'}A}|\cdot |\overrightarrow{BC}|\cdot \cos (\overrightarrow{{D}^{'}A},\overrightarrow{BC})=a\sqrt{2}\cdot a\cdot \cos 45^{\circ}={a}^{2}$ .

Đáp án đúng là: A

Theo quy tắc hình hộp, ta có $\overrightarrow{u}=\overrightarrow{{A}^{'}A}+\overrightarrow{{A}^{'}{B}^{'}}+\overrightarrow{{A}^{'}{D}^{'}}=\overrightarrow{{A}^{'}C}$ .

Vì G là trọng tâm của tam giác AB*'D'* nên với điểm A*'*, ta luôn có:

$\overrightarrow{{A}^{'}G}=\frac{1}{3}(\overrightarrow{{A}^{'}A}+\overrightarrow{{A}^{'}{B}^{'}}+\overrightarrow{{A}^{'}{D}^{'}})$.

Vì ABCD.A*'B'C'D'* là hình hộp nên (quy tắc hình hộp).

$\overrightarrow{{A}^{'}A}+\overrightarrow{{A}^{'}{B}^{'}}+\overrightarrow{{A}^{'}{D}^{'}}=\overrightarrow{{A}^{'}C}$

Từ đó suy ra $\overrightarrow{{A}^{'}G}=\frac{1}{3}\overrightarrow{{A}^{'}C}$. Vậy $\overrightarrow{{A}^{'}C}=3\overrightarrow{{A}^{'}G}$ .

Gọi A$_{1}$, B$_{1}$, C$_{1}$, D$_{1}$ lần lượt là các điểm sao cho .

Vì EA, EB, EC, ED có độ dài bằng nhau và cùng tạo với mặt phẳng (ABCD) một góc bằng 60° nên EA$_{1}$, EB$_{1}$, EC$_{1}$, ED$_{1}$ bằng nhau và cùng tạo với mặt phẳng (A$_{1}$B$_{1}$C$_{1}$D$_{1}$) một góc bằng 60°.

Vì ABCD là hình chữ nhật nên A$_{1}$B$_{1}$C$_{1}$D$_{1}$ cũng là hình chữ nhật.

Gọi O là tâm của hình chữ nhật A$_{1}$B$_{1}$C$_{1}$D$_{1}$.

Ta suy ra EO ⊥ (A$_{1}$B$_{1}$C$_{1}$D$_{1}$).

Do đó, góc giữa đường thẳng EA$_{1}$ và mặt phẳng (A$_{1}$B$_{1}$C$_{1}$D$_{1}$) bằng góc EA$_{1}$O.

Suy ra $\widehat{E{A}_{1}O}=60^{\circ}$ .

Ta có $|\overrightarrow{{F}_{1}}|=|\overrightarrow{{F}_{2}}|=|\overrightarrow{{F}_{3}}|=|\overrightarrow{{F}_{4}}|=4700(N)$ nên EA$_{1}$ = EB$_{1}$ = EC$_{1}$ = ED$_{1}$ = 4 700.

Tam giác EOA$_{1}$ vuông tại O nên EO = EA$_{1}$ sin$\widehat{E{A}_{1}O}$ = 4 700 sin 60° = 2 350 $\sqrt{3}$.

Theo quy tắc ba điểm, ta có $\overrightarrow{E{A}_{1}}=\overrightarrow{EO}+\overrightarrow{O{A}_{1}},\ \overrightarrow{E{B}_{1}}=\overrightarrow{EO}+\overrightarrow{O{B}_{1}}$ ,$\overrightarrow{E{C}_{1}}=\overrightarrow{EO}+\overrightarrow{O{C}_{1}}$ , $\overrightarrow{E{D}_{1}}=\overrightarrow{EO}+\overrightarrow{O{D}_{1}}$ .

Vì O là trung điểm của A$_{1}$C$_{1}$ và B$_{1}$D$_{1}$ nên $\overrightarrow{O{A}_{1}}+\overrightarrow{O{C}_{1}}=\overrightarrow{0},\ \overrightarrow{O{B}_{1}}+\overrightarrow{O{D}_{1}}=\overrightarrow{0}$ .

Từ đó suy ra $\overrightarrow{E{A}_{1}}+\overrightarrow{E{B}_{1}}+\overrightarrow{E{C}_{1}}+\overrightarrow{E{D}_{1}}=4\overrightarrow{EO}$$\overrightarrow{{F}_{1}}+\overrightarrow{{F}_{2}}+\overrightarrow{{F}_{3}}+\overrightarrow{{F}_{4}}=4\overrightarrow{EO}$ .

Do đó, .

Vì chiếc khung sắt chứa xe ô tô ở vị trí cân bằng nên $\overrightarrow{{F}_{1}}+\overrightarrow{{F}_{2}}+\overrightarrow{{F}_{3}}+\overrightarrow{{F}_{4}}=\overrightarrow{P}$ , ở đó là trọng lực tác dụng lên khung sắt chứa xe ô tô.

Suy ra trọng lượng của khung sắt chứa chiếc xe ô tô là

$|\overrightarrow{P}|=4|\overrightarrow{EO}|=4\cdot 2\ 350\sqrt{3}=9\ 400\sqrt{3}$ (N).

Vì trọng lượng của khung sắt là 3 000 N nên trọng lượng của chiếc xe ô tô là

$9400\sqrt{3}-3000\approx 13\ 281$ (N).