Giải SGK Toán 12 Cánh diều Bài 1. Tính đơn điệu của hàm số có đáp án

Ta có y = – x$^{3}$ + 300x$^{2}$ với x ∈ [0; 300].

y*'* = – 3x$^{2}$ + 600x;

y*'* = 0 ⇔ x = 0 hoặc x = 200.

Bảng xét dấu của y*'* trên đoạn [0; 300] như sau:

Kết hợp với đồ thị ở Hình 1, ta thấy lợi nhuận theo số sản phẩm sản xuất ra tăng thì đạo hàm y*'* mang dấu dương, lợi nhuận theo số sản phẩm sản xuất ra giảm thì đạo hàm y*'* mang dấu âm.

a) Cho K là một khoảng, đoạn hoặc nửa khoảng. Giả sử y = f(x) là hàm số xác định trên K. Ta nói

+ Hàm số y = f(x) được gọi là hàm số đồng biến trên K nếu với mọi x$_{1}$, x$_{2}$ thuộc K và x$_{1}$ < x$_{2}$ thì f(x$_{1}$) < f(x$_{2}$).

+ Hàm số y = f(x) được gọi là hàm số nghịch biến trên K nếu với mọi x$_{1}$, x$_{2}$ thuộc K và x$_{1}$ < x$_{2}$ thì f(x$_{1}$) > f(x$_{2}$).

Lưu ý: Nếu một hàm số đồng biến trên K thì trên đó đồ thị của nó đi lên từ trái qua phải; nếu một hàm số nghịch biến trên K thì trên đó đồ thị của nó đi xuống từ trái qua phải.

b)

Quan sát Hình 2 ta thấy

+ Trên khoảng (– ∞; 0), đồ thị hàm số y = f(x) = x$^{2}$ đi xuống từ trái qua phải nên hàm số này nghịch biến trên khoảng (– ∞; 0).

+ Trên khoảng (0; + ∞), đồ thị hàm số y = f(x) = x$^{2}$ đi lên từ trái qua phải nên hàm số này đồng biến trên khoảng (0; + ∞).

Ta có 2x > 0 với mọi x ∈ (0; + ∞) và 2x < 0 với mọi x ∈ (– ∞; 0).

Do đó, f*'(x) > 0 với mọi x ∈ (0; + ∞) và f'*(x) < 0 với mọi x ∈ (– ∞; 0).

Mối liên hệ:

+ Trên khoảng (– ∞; 0), hàm số f(x) nghịch biến và f*'*(x) < 0.

+ Trên khoảng (0; + ∞), hàm số f(x) đồng biến và f*'*(x) > 0.

Với x = 0, ta có f(0) = 0$^{2}$ = 0 và f*'*(0) = 2 ∙ 0 = 0.

Bảng biến thiên:

Hướng dẫn giải

Hàm số đã cho có tập xác định là ℝ.

Ta có y*'* = 4x$^{2}$ – 4x + 1;

y*'* = 0 ⇔ 4x$^{2}$ – 4x + 1 = 0 ⇔ (2x – 1)$^{2}$ = 0 ⇔ x = $\frac{1}{2}$ .

Ta có bảng xét dấu của y*'* như sau:

Vậy hàm số đồng biến trên mỗi khoảng

Hàm số đã cho có tập xác định là ℝ.

Ta có y*'* = 4x$^{3}$ + 4x;

y*'* = 0 ⇔ 4x$^{3}$ + 4x = 0 ⇔ x(x$^{2}$ + 1) = 0 ⇔ x = 0 (do x$^{2}$ + 1 > 0 với mọi x).

Bảng biến thiên của hàm số như sau:

Vậy hàm số đồng biến trên khoảng (0; + ∞) và nghịch biến trên khoảng (– ∞; 0).

a)

Hàm số đã cho có tập xác định là ℝ.

Ta có f*'*(x) = 3x$^{2}$;

f*'*(x) = 0 ⇔ 3x$^{2}$ = 0 ⇔ x = 0.

Ta có bảng xét dấu của f*'*(x) như sau:

Vậy hàm số đồng biến trên các khoảng (– ∞; 0) và (0; + ∞).

b) Ta có f*'*(x) = 3x$^{2}$ ≥ 0 với mọi x ∈ ℝ.

c) Phương trình f*'*(x) = 0 có 1 nghiệm.

Hàm số đã cho có tập xác định là ℝ.

Ta có y*'* = $\frac{x}{\sqrt{{x}^{2}+1}}$ ;

y*'* = 0 ⇔ $\frac{x}{\sqrt{{x}^{2}+1}}$ = 0 ⇔ x = 0.

Ta có bảng xét dấu của y*'* như sau:

Ta có với x ∈ (– ∞; 0], thì y*'* ≤ 0, với x ∈ [0; + ∞), thì y*'* ≥ 0.

Vậy hàm số $y=\sqrt{{x}^{2}+1}$ nghịch biến trên nửa khoảng (– ∞; 0] và đồng biến trên nửa khoảng [0; + ∞).

Hàm số đã cho có tập xác định là ℝ\{– 2}.

Ta có

với x ≠ – 2.

y*'* > 0 với mọi x ≠ – 2 (do (x + 2)$^{2}$ > 0 với mọi x ≠ – 2).

Bảng biến thiên của hàm số như sau:

Vậy hàm số đồng biến trên mỗi khoảng (– ∞; – 2), (– 2; + ∞).

a) Dựa vào đồ thị Hình 3, ta thấy

f(– 2) = – 1

f(x) > – 1 với x ∈ (– 3; – 1) và x ≠ – 2

Do đó, f(x) > f(– 2) với mọi x ∈ (– 3; – 1) và x ≠ – 2.

b) Dựa vào đồ thị Hình 3, ta thấy

f(0) = 3

f(x) < 3 với x ∈ (– 1; 1) và x ≠ 0

Do đó, f(x) < f(0) với mọi x ∈ (– 1; 1) và x ≠ 0.

a) Xét khoảng (a; b) chứa điểm x$_{0}$. Quan sát bảng biến thiên của hàm số f(x) ta thấy f(x) < f(x$_{0}$) với mọi x ∈ (a; b) và x ≠ x$_{0}$. Vậy x = x$_{0}$ là điểm cực đại của hàm số f(x).

b) Xét khoảng (a; b) chứa điểm x$_{1}$. Quan sát bảng biến thiên của hàm số h(x) ta thấy h(x) > h(x$_{1}$) với mọi x ∈ (a; b) và x ≠ x$_{1}$. Vậy x = x$_{1}$ là là điểm cực tiểu của hàm số h(x).

a)

Hàm số đã cho có tập xác định là ℝ.

Ta có y*'* = 4x$^{3}$ – 32;

y*'* = 0 ⇔ 4x$^{3}$ – 32 = 0 ⇔ x$^{3}$ – 8 = 0 ⇔ x = 2.

Bảng biến thiên của hàm số như sau:

Vậy hàm số đạt cực tiểu tại x = 2.

b)

Hàm số đã cho có tập xác định là ℝ \ {1}.

Ta có

với x ≠ 1;

y*'* < 0 với mọi x ≠ 1.

Bảng biến thiên của hàm số như sau:

Vậy hàm số không có cực trị.

Đáp án đúng là: D

Quan sát bảng biến thiên ta thấy f*'*(x) > 0 với mọi x ∈ (– ∞; – 1) ∪ (0; 1).

Vậy hàm số đã cho đồng biến trên mỗi khoảng (– ∞; – 1), (0; 1).

Đáp án đúng là: C

Quan sát bảng biến thiên ta thấy hàm số đạt cực tiểu tại điểm x = 3 và giá trị cực tiểu của hàm số bằng – 4.

a)

Hàm số đã cho có tập xác định là ℝ.

Ta có y*'* = – 3x$^{2}$ + 4x;

y*'* = 0 ⇔ – 3x$^{2}$ + 4x = 0 ⇔ x(3x – 4) = 0 ⇔ x = 0 hoặc x = $\frac{4}{3}$ .

Bảng biến thiên của hàm số như sau:

Vậy hàm số đồng biến trên khoảng $(0,\frac{4}{3})$ và nghịch biến trên mỗi khoảng (– ∞; 0) và $(\frac{4}{3},+\infty )$ .

b) y = x$^{4}$ + 2x$^{2}$ + 5

Hàm số đã cho có tập xác định là ℝ.

Ta có y*'* = 4x$^{2}$ + 4x;

y*'* = 0 ⇔ 4x$^{2}$ + 4x = 0 ⇔ x(x + 1) = 0 ⇔ x = – 1 hoặc x = 0.

Bảng biến thiên của hàm số như sau:

Vậy hàm số đồng biến trên mỗi khoảng (– ∞; – 1), (0; + ∞) và nghịch biến trên khoảng (– 1; 0).

c)

Hàm số đã cho có tập xác định là ℝ\{2}.

Ta có ${y}^{'}={(\frac{3x+1}{2-x})}^{'}=\frac{3(2-x)+(3x+1)}{{(2-x)}^{2}}=\frac{7}{{(2-x)}^{2}}$ với x ≠ 2;

y*'* > 0 với mọi x ≠ 2.

Bảng biến thiên của hàm số như sau:

Vậy hàm số đồng biến trên mỗi khoảng (– ∞; 2) và (2; + ∞).

d) $y=\frac{{x}^{2}-2x}{x+1}$

Hàm số đã cho có tập xác định là ℝ\{– 1}.

Ta có ${y}^{'}={(\frac{{x}^{2}-2x}{x+1})}^{'}=\frac{(2x-2)(x+1)-({x}^{2}-2x)}{{(x+1)}^{2}}=\frac{{x}^{2}+2x-2}{{(x+1)}^{2}}$ với x ≠ – 1;

y*'* = 0 ⇔ x$^{2}$ + 2x – 2 = 0 ⇔ x = $-1-\sqrt{3}$ hoặc x = $-1+\sqrt{3}$ .

Bảng biến thiên của hàm số như sau:

Vậy hàm số đồng biến trên mỗi khoảng $(-\infty ;\ -1-\sqrt{3})$ và $(-1+\sqrt{3};\ +\infty )$ ; nghịch biến trên mỗi khoảng $(-1-\sqrt{3};\ -1)$ và $(-1;\ -1+\sqrt{3})$ .

a)

Hàm số đã cho có tập xác định là ℝ.

Ta có y*'* = 6x$^{2}$ + 6x – 36;

y*'* = 0 ⇔ 6x$^{2}$ + 6x – 36 = 0 ⇔ x = – 3 hoặc x = 2.

Bảng biến thiên của hàm số như sau:

Vậy hàm số đạt cực tiểu tại x = 2 và đạt cực đại tại x = – 3.

b) y = – x$^{4}$ – 2x$^{2}$ + 9

Hàm số đã cho có tập xác định là ℝ.

Ta có y*'* = – 4x$^{3}$ – 4x;

y*'* = 0 ⇔ – 4x$^{3}$ – 4x = 0 ⇔ x$^{3}$ + x = 0 ⇔ x = 0.

Bảng biến thiên của hàm số như sau:

Vậy hàm số đã cho đạt cực tiểu tại x = 0.

c) $y=x-\frac{1}{x}$

Hàm số đã cho có tập xác định là ℝ\{0}.

Ta có y*'* = $1+\frac{1}{{x}^{2}}$ với x ≠ 0;

y*'* > 0 với mọi x ≠ 0.

Bảng biến thiên của hàm số như sau:

Vậy hàm số không có cực trị.

Hình 6a:

– Khoảng đồng biến, nghịch biến:

Quan sát hình vẽ ta thấy:

+ Trên các khoảng (– ∞; – 1), (0; 1), (2; + ∞), đồ thị hàm số y = f(x) đi lên từ trái qua phải, do đó hàm số y = f(x) đồng biến trên mỗi khoảng (– ∞; – 1), (0; 1), (2; + ∞).

+ Trên các khoảng (– 1; 0), (1; 2), đồ thị hàm số y = f(x) đi xuống từ trái qua phải, do đó hàm số y = f(x) nghịch biến trên mỗi khoảng (– 1; 0) và (1; 2).

– Điểm cực trị:

+ Xét khoảng (– ∞; 0) chứa điểm x = – 1. Quan sát đồ thị hàm số y = f(x) ở Hình 6a, ta thấy f(x) < f(– 1) với mọi x ∈ (– ∞; 0) và x ≠ – 1. Do đó, x = – 1 là một điểm cực đại của hàm số y = f(x).

Tương tự, ta thấy f(x) < f(1) với mọi x ∈ (0; 2) và x ≠ 1. Do đó, x = 1 là một điểm cực đại của hàm số y = f(x).

+ Xét khoảng (– 1; 1) chứa điểm x = 0. Quan sát đồ thị hàm số ta thấy f(x) > f(0) với mọi x ∈ (– 1; 1) và x ≠ 0. Do đó, x = 0 là một điểm cực tiểu của hàm số y = f(x).

Tương tự, ta thấy f(x) > f(2) với mọi x ∈ (1; + ∞) và x ≠ 2. Vậy x = 2 là một điểm cực tiểu của hàm số y = f(x).

Hình 6b:

– Khoảng đồng biến, nghịch biến:

Quan sát hình vẽ ta thấy:

+ Trên các khoảng (– 2; 0), (1; + ∞), đồ thị hàm số y = g(x) đi lên từ trái qua phải nên hàm số này đồng biến trên mỗi khoảng (– 2; 0) và (1; + ∞).

+ Trên các khoảng (– ∞; – 2), (0; 1), đồ thị hàm số y = g(x) đi xuống từ trái qua phải nên hàm số này nghịch biến trên mỗi khoảng (– ∞; – 2) và (0; 1).

– Điểm cực trị:

+ Xét khoảng (– ∞; 0) chứa điểm x = – 2. Quan sát đồ thị hàm số y = g(x) ở Hình 6b ta thấy g(x) > g(– 2) với mọi x ∈ (– ∞; 0) và x ≠ – 2. Vậy x = – 2 là một điểm cực tiểu của hàm số y = g(x).

Tương tự, ta thấy g(x) > g(1) với mọi x ∈ (0; + ∞) và x ≠ 1. Do đó, x = 1 là một điểm cực tiểu của hàm số y = g(x).

+ Xét khoảng (– 2; 1) chứa điểm x = 0. Quan sát đồ thị hàm số y = g(x) ở Hình 6b ta thấy g(x) < g(0) với mọi x ∈ (– 2; 1) và x ≠ 0. Do đó, x = 0 là điểm cực đại của hàm số y = g(x).

Ta có V(T) = 999,87 – 0,06426T + 0,0085043T$^{2}$ – 0,0000679T$^{3}$với T ∈ [0; 30].

V*'*(T) = – 0,06426 + 0,0170086T – 0,0002037T$^{2}$

V*'*(T) = 0 ⇔ T ≈ 4 hoặc T ≈ 79,5. Vì T ∈ [0; 30] nên T ≈ 4.

Ta có bảng biến thiên của hàm số như sau:

Vậy thể tích V(T) giảm trong khoảng nhiệt độ (0 ℃; 4 ℃).

Xét hàm số vận tốc của tàu con thoi v(t) = 0,001302t$^{3}$ – 0,09029t$^{2}$ + 23 với t ∈ [0; 126].

Gia tốc của tàu con thoi là a(t) = v*'*(t) = 0,003906t$^{2}$ – 0,18058t.

Ta có a*'*(t) = 0,007812t – 0,18058

a*'*(t) = 0 ⇔ t ≈ 23.

Bảng biến thiên của hàm số a(t) như sau:

Vậy gia tốc của tàu con thoi sẽ tăng trong khoảng thời gian (23 s; 126 s) tính từ thời điểm cất cánh cho đến khi tên lửa đẩy được phóng đi.