Giải SGK Toán 12 Bài tập cuối chương V

Đáp án đúng là: D

Mặt phẳng (P): x – 2y – 3z + 1 = 0 có một vectơ pháp tuyến là (1; −2; −3).

Đáp án đúng là: D

Mặt phẳng (P) đi qua điểm I(1; −1; 2) và nhận vectơ $\overrightarrow n = \left( {2;1; - 1} \right)$ làm một vectơ pháp tuyến có phương trình là: 2(x – 1) + (y + 1) – (z – 2) = 0 hay 2x + y – z + 1 = 0.

Đáp án đúng là: B

Đường thẳng $d:\frac{x-1}{2}=\frac{y+2}{1}=\frac{z-3}{-2}$ có một vectơ chỉ phương là (2; 1; −2).

Đáp án đúng là: C

Đường thẳng $\left\{ \begin{array}{l}x = 1 + 2t\\y = - 2 + t\\z = 3 - t\end{array} \right.$ có một vectơ chỉ phương là (2; 1; −1).

Đáp án đúng là: C

Đường thẳng d đi qua I(2; −1; 1) và nhận vectơ $\overrightarrow u = \left( {1;2; - 3} \right)$ làm một vectơ chỉ phương có phương trình là: $\frac{{x - 2}}{1} = \frac{{y + 1}}{2} = \frac{{z - 1}}{{ - 3}}$.

Đáp án đúng là: D

Có $\overrightarrow {AB} = \left( {3;1;2} \right)$.

Phương trình đường thẳng đi qua điểm A(−1; 0; −1), nhận $\overrightarrow {AB} = \left( {3;1;2} \right)$ làm một vectơ chỉ phương có phương trình là: $\left\{ \begin{array}{l}x = - 1 + 3t\\y = t\\z = - 1 + 2t\end{array} \right.$.

Đáp án đúng là: A

Mặt phẳng (P): x – 2y + z – 3 = 0 có một vectơ pháp tuyến $\overrightarrow n = \left( {1; - 2;1} \right)$.

Vì d ^ (P) nên d nhận vectơ pháp tuyến của (P) làm vectơ chỉ phương.

Do đó đường thẳng d đi qua I(2; 1; −3) và có vectơ chỉ phương $\overrightarrow n = \left( {1; - 2;1} \right)$ có phương trình là: $\frac{{x - 2}}{1} = \frac{{y - 1}}{{ - 2}} = \frac{{z + 3}}{1}$.

Đáp án đúng là: C

Mặt cầu (S): (x + 1)$^{2}$ + y$^{2}$ + (z – 3)$^{2}$ = 4 có tâm I(−1; 0; 3) và R = 2.

Đáp án đúng là: A

Mặt cầu (S): x$^{2}$ + y$^{2}$ + z$^{2}$ – 2x + 4y + 2z – 3 = 0 có tâm I(1; −2; −1) và $R = \sqrt {{1^2} + {{\left( { - 2} \right)}^2} + {{\left( { - 1} \right)}^2} + 3} = 3$.

Ta có $\overrightarrow {AB} = \left( { - 1;1;3} \right),\overrightarrow {AC} = \left( { - 2; - 2;4} \right)$, $\left[ {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AC} } \right] = \left( {10; - 2;4} \right)$

a) Mặt phẳng (ABC) nhận $\overrightarrow n = \frac{1}{2}\left[ {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AC} } \right] = \left( {5; - 1;2} \right)$ làm một vectơ pháp tuyến và đi qua điểm A(1; 0; −1) có phương trình là:

5(x – 1) – y + 2(z + 1) = 0 hay 5x – y + 2z – 3 = 0.

b) Đường thẳng AC đi qua điểm A(1; 0; −1) và nhận $\overrightarrow u = - \frac{1}{2}\overrightarrow {AC} = \left( {1;1; - 2} \right)$ làm một vectơ chỉ phương có phương trình là: $x = \left\{ \begin{array}{l}x = 1 + t\\y = t\\z = - 1 - 2t\end{array} \right.$.

c) Gọi I là trung điểm của AC. Khi đó I(0; −1; 1).

Bán kính mặt cầu $R = \frac{{AC}}{2} = \frac{{\sqrt {{{\left( { - 2} \right)}^2} + {{\left( { - 2} \right)}^2} + {4^2}} }}{2} = \sqrt 6$.

Phương trình mặt cầu đường kính AC là: x$^{2}$ + (y + 1)$^{2}$ + (z – 1)$^{2}$ = 6.

Đường thẳng d đi qua A(1; −2; 4) và có một vectơ chỉ phương $\overrightarrow u = \left( {1;1; - 2} \right)$.

Có $\overrightarrow {OA} = \left( {1; - 2;4} \right)$, $\left[ {\overrightarrow {OA} ,\overrightarrow u } \right] = \left( {0;6;3} \right)$.

Mặt phẳng (P) đi qua gốc tọa độ và nhận $\overrightarrow n = \frac{1}{3}\left[ {\overrightarrow {OA} ,\overrightarrow u } \right] = \left( {0;2;1} \right)$ làm một vectơ pháp tuyến có phương trình là: 2y + z = 0.

a) $d\left( {A,\left( P \right)} \right) = \frac{{\left| {1 - 2.\left( { - 1} \right) + 2.2} \right|}}{{\sqrt {1 + {{\left( { - 2} \right)}^2} + {2^2}} }} = \frac{7}{3}$.

b) Mặt phẳng (P): x – 2y + 2z – 1 = 0 có một vectơ pháp tuyến là $\overrightarrow n = \left( {1; - 2;2} \right)$.

Vì (Q) // (P) nên mặt phẳng (Q) nhận $\overrightarrow n = \left( {1; - 2;2} \right)$ làm một vectơ pháp tuyến.

Phương trình mặt phẳng (Q) là: x – 1 – 2(y + 1) + 2(z – 2) = 0 hay x – 2y + 2z – 7 = 0.

c) Ta có $\overrightarrow {AB} = \left( { - 2;2; - 2} \right)$,

Mặt phẳng (P): x – 2y + 2z – 1 = 0 có một vectơ pháp tuyến là $\overrightarrow n = \left( {1; - 2;2} \right)$.

Có $\left[ {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow n } \right] = \left( {0;2;2} \right)$.

Mặt phẳng (R) đi qua A(1; −1; 2) và nhận $\overrightarrow {{n_R}} = \frac{1}{2}\left[ {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow n } \right] = \left( {0;1;1} \right)$ làm một vectơ pháp tuyến có phương trình là: y + 1 + z – 2 = 0 hay y + z – 1 = 0.

a) Đường thẳng d đi qua điểm M(0; 1; 0) và có một vectơ chỉ phương $\overrightarrow {{u_1}} = \left( {1;2;2} \right)$.

Đường thẳng d' đi qua điển N(−1; −2; 3) và có một vectơ chỉ phương $\overrightarrow {{u_2}} = \left( {2;2; - 1} \right)$.

Có $\overrightarrow {MN} = \left( { - 1; - 3;3} \right)$, $\left[ {\overrightarrow {{u_1}} ,\overrightarrow {{u_2}} } \right] = \left( { - 6;5; - 2} \right) \ne \overrightarrow 0$.

Có $\overrightarrow {MN} .\left[ {\overrightarrow {{u_1}} ,\overrightarrow {{u_2}} } \right] = 6 - 15 - 6 = - 15 \ne 0$.

Suy ra d và d' chéo nhau.

b) Vì D // d nên đường thẳng D nhận $\overrightarrow {{u_1}} = \left( {1;2;2} \right)$ làm một vectơ chỉ phương.

Đường thẳng D đi qua A(1; 0; 2) và nhận $\overrightarrow {{u_1}} = \left( {1;2;2} \right)$ làm một vectơ chỉ phương có phương trình là $\left\{ \begin{array}{l}x = 1 + t\\y = 2t\\z = 2 + 2t\end{array} \right.$.

c) Có $\overrightarrow {AM} = \left( { - 1;1; - 2} \right)$, $\left[ {\overrightarrow {AM} ,\overrightarrow {{u_1}} } \right] = \left( {6;0; - 3} \right)$.

Mặt phẳng (P) đi qua A(1; 0; 2) và nhận $\overrightarrow n = \frac{1}{3}\left[ {\overrightarrow {AM} ,\overrightarrow {{u_1}} } \right] = \left( {2;0; - 1} \right)$ làm một vectơ pháp tuyến có phương trình là: 2(x – 1) – (z – 2) = 0 hay 2x – z = 0.

d) Mặt phẳng (Oxz) có phương trình là: y = 0.

Tọa độ giao điểm của đường thẳng d với mặt phẳng (Oxz) là nghiệm của hệ:

$\left\{ \begin{array}{l}\frac{x}{1} = \frac{{y - 1}}{2} = \frac{z}{2}\\y = 0\end{array} \right.$$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = - \frac{1}{2}\\y = 0\\z = - 1\end{array} \right.$.

Vậy giao điểm cần tìm có tọa độ là $\left( { - \frac{1}{2};0; - 1} \right)$.

Đường thẳng d đi qua điểm A(1; −1; 0) và có một vectơ chỉ phương là $\overrightarrow u = \left( {2;1; - 1} \right)$.

Mặt phẳng (P) có một vectơ pháp tuyến là $\overrightarrow n = \left( {1; - 2; - 2} \right)$.

Có $\left[ {\overrightarrow u ,\overrightarrow n } \right] = \left( { - 4;3; - 5} \right)$.

Mặt phẳng (Q) đi qua điểm A(1; −1; 0) và nhận $\left[ {\overrightarrow u ,\overrightarrow n } \right] = \left( { - 4;3; - 5} \right)$ làm một vectơ pháp tuyến có phương trình là: −4(x – 1) + 3(y + 1) −5z = 0 hay 4x – 3y + 5z – 7 = 0.

Đường thẳng d đi qua A(−1; 1; 0) và có một vectơ chỉ phương là $\overrightarrow {{u_1}} = \left( {1;2; - 1} \right)$.

Đường thẳng d' có một vectơ chỉ phương là $\overrightarrow {{u_2}} = \left( {1;1;2} \right)$.

Có $\left[ {\overrightarrow {{u_1}} ,\overrightarrow {{u_2}} } \right] = \left( {5; - 3; - 1} \right)$.

Mặt phẳng (P) đi qua A(−1; 1; 0) và nhận $\left[ {\overrightarrow {{u_1}} ,\overrightarrow {{u_2}} } \right] = \left( {5; - 3; - 1} \right)$ làm một vectơ pháp tuyến có phương trình là: 5(x + 1) – 3(y – 1) – z = 0 hay 5x – 3y – z + 8 = 0.

Mặt phẳng (P) có một vectơ pháp tuyến là $\overrightarrow {{n_P}} = \left( {1; - 1; - 1} \right)$.

Mặt phẳng (Q) có một vectơ pháp tuyến là $\overrightarrow {{n_Q}} = \left( {2;1; - 1} \right)$.

Có $\left[ {\overrightarrow {{n_P}} ,\overrightarrow {{n_Q}} } \right] = \left( {2; - 1;3} \right)$.

Mặt phẳng (R) đi qua A(−1; 2; 0) và nhận $\left[ {\overrightarrow {{n_P}} ,\overrightarrow {{n_Q}} } \right] = \left( {2; - 1;3} \right)$ làm một vectơ pháp tuyến có phương trình là 2(x + 1) – (y – 2) + 3z = 0 hay 2x – y + 3z + 4 = 0.

a) Đường thẳng d đi qua A(−2; −3; 3) và có một vectơ chỉ phương là $\overrightarrow {{u_1}} = \left( {1;2; - 2} \right)$.

Đường thẳng d' đi qua B(1; −2; 0) và có một vectơ chỉ phương $\overrightarrow {{u_2}} = \left( { - 1;1;2} \right)$.

Có $\overrightarrow {AB} = \left( {3;1; - 3} \right)$, $\left[ {\overrightarrow {{u_1}} ,\overrightarrow {{u_2}} } \right] = \left( {6;0;3} \right)$.

Có $\overrightarrow {AB} .\left[ {\overrightarrow {{u_1}} ,\overrightarrow {{u_2}} } \right] = 6.3 + 1.0 + \left( { - 3} \right).3 = 9 \ne 0$.

Do đó d và d' chéo nhau.

b) Ta có $\cos (d,d') = \left| {\cos \left( {\overrightarrow {{u_1}} ,\overrightarrow {{u_2}} } \right)} \right| = \frac{{\left| {1.\left( { - 1} \right) + 2.1 + \left( { - 2} \right).2} \right|}}{{\sqrt {1 + {2^2} + {{\left( { - 2} \right)}^2}} .\sqrt {{{\left( { - 1} \right)}^2} + {1^2} + {2^2}} }} = \frac{3}{{\sqrt {54} }} = \frac{1}{{\sqrt 6 }}$.

Suy ra (d, d') ≈ 65,9°.

Đường thẳng d có một vectơ chỉ phương là $\overrightarrow u = \left( {2; - 2;1} \right)$.

Mặt phẳng (P) có một vectơ pháp tuyến là $\overrightarrow n = \left( {1;1; - 2} \right)$.

Có $\sin \left( {d,\left( P \right)} \right) = \frac{{\left| {2.1 + \left( { - 2} \right).1 + 1.\left( { - 2} \right)} \right|}}{{\sqrt {{2^2} + {{\left( { - 2} \right)}^2} + {1^2}} .\sqrt {{1^2} + {1^2} + {{\left( { - 2} \right)}^2}} }} = \frac{2}{{3\sqrt 6 }}$.

Suy ra (d, (P)) ≈ 15,8°.

Mặt phẳng (P) có một vectơ pháp tuyến là $\overrightarrow n = \left( {1;1;1} \right)$.

Mặt phẳng Oxy: z = 0 có một vectơ pháp tuyến là $\overrightarrow k = \left( {0;0;1} \right)$.

Có $\cos \left( {\left( P \right),\left( {Oxy} \right)} \right) = \frac{{\left| {1.0 + 1.0 + 1.1} \right|}}{{\sqrt {{1^2} + {1^2} + {1^2}} .\sqrt {{1^2}} }} = \frac{1}{{\sqrt 3 }}$.

Suy ra ((P), (Oxy)) ≈ 54,7°.

Gọi 3 điểm ở trên mặt nước lần lượt là A, B, C và ba điểm tương ứng ở đáy bể là A', B', C' sao cho AA' = 4 m, BB' = 4,4 m, CC' = 4,8 m.

Chọn hệ trục tọa độ như hình vẽ, O là trung điểm của AC.

Ta có A(0; 1; 0), $B\left( {\sqrt 3 ;0;0} \right)$, C(0; −1; 0), $A'(0;1;4)$, $B'\left( {\sqrt 3 ;0;4{,}4} \right)$, C'(0; −1; 4,8).

Ta có $\overrightarrow {A'B'} = \left( {\sqrt 3 ; - 1;0{,}4} \right)$, $\overrightarrow {A'C'} = \left( {0; - 2;0{,}8} \right)$.

Có $\left[ {\overrightarrow {A'B'} ,\overrightarrow {A'C'} } \right] = \left( {\left| {\begin{array}{cccccccccccccccccccc}{ - 1}&{0{,}4}\\{ - 2}&{0{,}8}\end{array}} \right|,\left| {\begin{array}{cccccccccccccccccccc}{0{,}4}&{\sqrt 3 }\\{0{,}8}&0\end{array}} \right|,\left| {\begin{array}{cccccccccccccccccccc}{\sqrt 3 }&{ - 1}\\0&{ - 2}\end{array}} \right|} \right)$ $= \left( {0; - 0{,}8\sqrt 3 ; - 2\sqrt 3 } \right)$.

Mặt phẳng đáy bể là mặt phẳng (A'B'C') có một vectơ pháp tuyến là $\overrightarrow n = \left( {0; - 0{,}8\sqrt 3 ; - 2\sqrt 3 } \right)$.

Mặt phẳng nằm ngang (mặt nước) chính là mặt phẳng Oxy: z = 0 có một vectơ pháp tuyến là $\overrightarrow k = \left( {0;0;1} \right)$.

Do đó $\cos \left( {\left( {A'B'C'} \right),\left( {Oxy} \right)} \right) = \frac{{\left| {0.0 - 0{,}8\sqrt 3 .0 - 2\sqrt 3 .1} \right|}}{{\sqrt {{0^2} + {{\left( { - 0{,}8\sqrt 3 } \right)}^2} + {{\left( { - 2\sqrt 3 } \right)}^2}} .\sqrt 1 }} = \frac{{2\sqrt 3 }}{{\frac{{2\sqrt {87} }}{5}}} = \frac{{5\sqrt {29} }}{{29}}$.

Suy ra ((A'B'C'), (Oxy)) ≈ 21,8°.

Vậy đáy bể nghiêng so với mặt phẳng nằm ngang một góc khoảng 21,8°.

Mặt phẳng Oxy: z = 0 có một vectơ pháp tuyến là $\overrightarrow k = \left( {0;0;1} \right)$.

Đường thẳng AB có một vectơ chỉ phương là $\overrightarrow {AB} = \left( {4;4; - 1} \right)$.

Ta có $\sin \left( {AB,\left( {Oxy} \right)} \right) = \frac{{\left| { - 1} \right|}}{{\sqrt {{4^2} + {4^2} + {{\left( { - 1} \right)}^2}} .\sqrt 1 }} = \frac{1}{{\sqrt {33} }}$.

Suy ra (AB, (Oxy)) ≈ 10°.

Vậy góc tạo bởi đường ống thoát nước và mặt sàn khoảng 10°.

Mặt cầu (S) có tâm O(0; 0; 0) và R = 1.

Ta có A Î (S) nên OA = 1.

Có $OB = \sqrt {{1^2} + {1^2} + {{\left( { - 1} \right)}^2}} = \sqrt 3$.

Xét tam giác BOA vuông tại O có: $AB = \sqrt {O{B^2} - O{A^2}} = \sqrt {3 - 1} = \sqrt 2$.

Vậy khoảng cách AB là $\sqrt 2$.