Giải SGK Toán 12 Bài tập cuối chương I

Đáp án đúng là: B

Nếu f'(x) > 0 với mọi x thuộc (a; b) thì hàm số y = f(x) đồng biến trên (a; b).

Đáp án đúng là: A

Xét hàm số y = −x$^{3}$ + 3x$^{2}$ – 9x.

Có y' = −3x$^{2}$ +6x – 9 =−3(x$^{2}$ – 2x + 3) = −3(x −1)$^{2}$ – 6 < 0 với mọi x thuộc ℝ.

Do đó hàm số y = −x$^{3}$ + 3x$^{2}$ – 9x nghịch biến trên ℝ.

Đáp án đúng là: D

Xét hàm số $y=\frac{2x-1}{x+1}$

Có ${y}^{'}=\frac{2(x+1)-(2x-1)}{{(x+1)}^{2}}=\frac{3}{{(x+1)}^{2}}>0,\forall x\ne -1$.

Do đó hàm số $y=\frac{2x-1}{x+1}$ không có cực trị.

Đáp án đúng là: C

Tập xác định là D = (0; +∞).

Có y' = 2xlnx + x = x(2lnx + 1).

Có y' = 0 $\Leftrightarrow 2\ln x+1=0\Leftrightarrow x=\frac{1}{\sqrt{e}}$ (do x > 0).

Bảng biến thiên

Dựa vào bảng biến thiên ta có giá trị cực tiểu của hàm số là $-\frac{1}{2e}$.

Đáp án đúng là: B

Có y' = 2(x – 2)e$^{x}$ + (x – 2)$^{2}$e$^{x}$ = x(x – 2)e$^{x}$.

Có y' = 0 Û x(x – 2) = 0 Û x = 0 (loại) hoặc x = 2 (thỏa mãn).

Có y(1) = e; y(2) = 0; y(3) = e$^{3}$.

Vậy giá trị lớn nhất của hàm số là e$^{3}$ khi x = 3.

Đáp án đúng là: B

Vì $\underset{x\rightarrow -\infty }{\lim }f(x)=2$ và $\underset{x\rightarrow +\infty }{\lim }f(x)=2$ nên đường thẳng y = 2 là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số.

$\underset{x\rightarrow {2}^{+}}{\lim }f(x)=1;\underset{x\rightarrow {2}^{-}}{\lim }f(x)=1$ nên đồ thị hàm số không có tiệm cận đứng.

Đáp án đúng là: D

Có $y=\frac{{x}^{2}+2x-2}{x+2}=x-\frac{2}{x+2}$.

$\underset{x\rightarrow +\infty }{\lim }(y-x)=\underset{x\rightarrow +\infty }{\lim }\frac{-2}{x+2}=0$; $\underset{x\rightarrow -\infty }{\lim }(y-x)=\underset{x\rightarrow -\infty }{\lim }\frac{-2}{x+2}=0$.

Do đó y = x là tiệm cận xiên của đồ thị hàm số.

Đáp án đúng là: D

Vì $\underset{x\rightarrow {1}^{-}}{\lim }f(x)=-1;\underset{x\rightarrow {1}^{+}}{\lim }f(x)=7$ nên x = 1 không là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số đã cho.

Đáp án đúng là: B

Dựa vào đồ thị ta thấy y = 2 là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số.

Xét hàm số $y=\frac{2x+1}{x+1}$

Có $\underset{x\rightarrow +\infty }{\lim }y=\underset{x\rightarrow +\infty }{\lim }\frac{2x+1}{x+1}=\underset{x\rightarrow +\infty }{\lim }\frac{2+\frac{1}{x}}{1+\frac{1}{x}}=2;\underset{x\rightarrow -\infty }{\lim }y=\underset{x\rightarrow -\infty }{\lim }\frac{2x+1}{x+1}=\underset{x\rightarrow -\infty }{\lim }\frac{2+\frac{1}{x}}{1+\frac{1}{x}}=2$.

Do đó y = 2 là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số $y=\frac{2x+1}{x+1}$

a) y = x$^{3}$ – 3x$^{2}$ + 3x – 1

Tập xác định của hàm số là ℝ.

Có y' = 3x$^{2}$ – 6x + 3; y' = 0 Û 3x$^{2}$ – 6x + 3 = 0 Û x = 1.

Bảng biến thiên

Hàm số đồng biến trên các khoảng (−∞; 1) và (1; +∞).

Hàm số không có cực trị.

b) y = x$^{4}$ – 2x$^{2}$ – 1

Tập xác định: D = ℝ.

Có y' = 4x$^{3}$ – 4x; y' = 0 Û 4x$^{3}$ – 4x = 0 Û x = 0 hoặc x = 1 hoặc x = −1.

Bảng biến thiên

Hàm số đồng biến trên các khoảng (−1; 0) và (1; +∞).

Hàm số nghịch biến trên các khoảng (−∞; −1) và (0; 1).

Hàm số đạt cực đại tại x = 0 và y$_{CĐ}$ = −1.

Hàm số đạt cực tiểu tại x = −1; x = 1 và y$_{CT}$ = −2.

c) $y=\frac{2x-1}{3x+1}$

Tập xác định: $D=ℝ\backslash \{\frac{-1}{3}\}$.

Có ${y}^{'}=\frac{2(3x+1)-3(2x-1)}{{(3x+1)}^{2}}=\frac{5}{{(3x+1)}^{2}}>0,\forall x\ne -\frac{1}{3}$.

Hàm số đồng biến trên các khoảng $(-\infty ;-\frac{1}{3})$ và $(-\frac{1}{3};+\infty )$.

Hàm số không có cực trị.

d) $y=\frac{{x}^{2}+2x+2}{x+1}$

Tập xác định: D = ℝ\{−1}.

Có ${y}^{'}=\frac{(2x+2)(x+1)-({x}^{2}+2x+2)}{{(x+1)}^{2}}=\frac{{x}^{2}+2x}{{(x+1)}^{2}}$;

Có y' = 0 Û x$^{2}$ + 2x = 0 Û x = 0 hoặc x = −2.

Bảng biến thiên

Hàm số đồng biến trên các khoảng (−∞; −2) và (0; +∞).

Hàm số nghịch biến trên các khoảng (−2; −1) và (−1; 0).

Hàm số đạt cực đại tại x = −2 và y$_{CĐ}$ = −2.

Hàm số đạt cực tiểu tại x = 0 và y$_{CT}$ = 2.

a) $y=\frac{2x+1}{3x-2}$ trên nửa khoảng [2; +∞)

Có ${y}^{'}=\frac{2(3x-2)-3(2x+1)}{{(3x-2)}^{2}}=\frac{-7}{{(3x-2)}^{2}}<0,\forall x\in [2;+\infty )$

Do đó $\underset{[2;+\infty )}{\max }y=y(2)=\frac{5}{4}$ và hàm số không có giá trị nhỏ nhất trên nửa khoảng [2; +∞).

a) y = −x$^{3}$ + 6x$^{2}$ – 9x + 12

1. Tập xác định: D = ℝ.

2. Sự biến thiên

+) Có y' = −3x$^{2}$ + 12x – 9; y' = 0 Û −3x$^{2}$ + 12x – 9 = 0 Û x = 1 hoặc x = 3.

+) Trên khoảng (1; 3), y' > 0 nên hàm số đồng biến

Trên các khoảng (−∞; 1) và (3; +∞), y' < 0 nên hàm số nghịch biến.

+) Hàm số đạt cực tiểu tại x = 1 và y$_{CT}$ = 8; Hàm số đạt cực đại tại x = 3 và y$_{CĐ}$ = 12.

+) Giới hạn tại vô cực:

$\underset{x\rightarrow -\infty }{\lim }(-{x}^{3}+6{x}^{2}-9x+12)=+\infty ;\underset{x\rightarrow +\infty }{\lim }(-{x}^{3}+6{x}^{2}-9x+12)=-\infty$

+) Bảng biến thiên

3. Đồ thị

+) Giao điểm của đồ thị với trục Oy là (0; 12).

+) Đồ thị hàm số đi qua điểm (1; 8); (3; 12).

+) Đồ thị hàm số có tâm đối xứng I(2; 10).

b) $\underset{p\rightarrow +\infty }{\lim }g(p)=\underset{p\rightarrow +\infty }{\lim }\frac{pf}{p-f}=\underset{p\rightarrow +\infty }{\lim }\frac{f}{1-\frac{f}{p}}=f;\underset{p\rightarrow {f}^{+}}{\lim }g(p)=\underset{p\rightarrow {f}^{+}}{\lim }\frac{pf}{p-f}=+\infty$.

Ý nghĩa $\underset{p\rightarrow +\infty }{\lim }g(p)=f$ là khoảng cách từ vật đến thấu kính tiến ra vô cùng thì khoảng cách từ ảnh đến thấu kính xấp xỉ tiêu cự.

$\underset{p\rightarrow {f}^{+}}{\lim }g(p)=+\infty$ nghĩa là khoảng cách từ vật đến thấu kính tiến gần về tiêu cự f thì khoảng cách từ ảnh đến thấu kính càng lớn.

c) Ta có ${q}^{'}=\frac{f(p-f)-pf}{{(p-f)}^{2}}=\frac{-{f}^{2}}{{(p-f)}^{2}}<0,\forall p\in (f;+\infty )$.

Do đó hàm số q = g(p) nghịch biến trên khoảng (f; +∞).

a) Dân số của quốc gia này vào các năm 2030 (t = 7) là:

N(7) = 100e$^{0{,}012.7}$ = 108,763 triệu người.

Dân số của quốc gia này vào các năm 2035 (t = 12) là:

N(12) = 100e$^{0{,}012.12}$ = 115,488 triệu người.

b) Ta có N'(t) = 100.0,012.e$^{0{,}012t}$ = 1,2. e$^{0{,}012t}$ > 0 với mọi t ∈ [0; 50].

Do đó hàm số N(t) luôn đồng biến trên đoạn [0; 50].

c) Theo đề có: 1,2. e$^{0{,}012t}$ = 1,6 $\Leftrightarrow {e}^{0{,}012t}=\frac{4}{3}\Leftrightarrow t=\frac{\ln \frac{4}{3}}{0{,}012}\approx 23{,}97$ năm.

Vậy vào năm 2046 tốc độ tăng dân số của quốc gia đó là 1,6 triệu người/năm.

Gọi khoảng cách BM là x (km), (0 ≤ x ≤ 10).

Khi đó khoảng cách AM là 10 – x (km).

Khoảng cách CM là $\sqrt{16+{x}^{2}}$(km).

Khi đó chi phí lắp đặt dây điện là: $f(x)=30(10-x)+50\sqrt{16+{x}^{2}}$ (triệu đồng).

Bài toán trở thành tìm x để f(x) đạt giá trị nhỏ nhất.

Có ${f}^{'}(x)=-30+\frac{50x}{\sqrt{16+{x}^{2}}}$.

Có ${f}^{'}(x)=0$

$\Leftrightarrow -30+\frac{50x}{\sqrt{16+{x}^{2}}}=0$

$\Leftrightarrow -30\sqrt{16+{x}^{2}}+50x=0$

$\Leftrightarrow 3\sqrt{16+{x}^{2}}=5x$

$\Leftrightarrow \{\begin{matrix}x\ge 0 \\ 9(16+{x}^{2})=25{x}^{2}\end{matrix}$

Ta có f(0) = 500; f(3) = 460; f(10) = $100\sqrt{29}$.

Do đó chi phí nhỏ nhất để lắp dây điện là 460 triệu đồng khi M cách B một đoạn 3 km trên đoạn AB.