Giải SGK Toán 12 Bài 9. Khoảng biến thiên và khoảng tứ phân vị

Sau khi học xong bài này, ta giải quyết bài toán này như sau:

Năm 2021

+) Khoảng biến thiên: R$_{1}$ = 40 – 30 = 10.

+) Ta có cỡ mẫu là n = 30.

Gọi x$_{1}$; x$_{2}$; …; x$_{30}$ là nhiệt độ cao nhất trong ngày của 30 ngày tháng Sáu năm 2021 được sắp xếp theo thứ tự tăng dần.

Ta có tứ phân vị thứ nhất của mẫu số liệu là x$_{8}$ thuộc nhóm [32; 34). Do đó nhóm chứa tứ phân vị thứ nhất là [32; 34).

Ta có ${Q}_{1}=32+\frac{\frac{30}{4}-2}{8}.(34-32)=33{,}375$ .

Tứ phân vị thứ ba của mẫu số liệu là x$_{23}$ thuộc nhóm [38; 40). Do đó nhóm chứa tứ phân vị thứ ba là [38; 40).

Ta có ${Q}_{3}=38+\frac{\frac{3.30}{4}-21}{9}.(40-38)\approx 38{,}333$ .

Do đó khoảng tứ phân vị D$_{1Q}$ = 38,333 – 33,375 = 4,958.

Năm 2022

+) Khoảng biến thiên R$_{2}$ = 40 – 28 = 12.

Ta có cỡ mẫu là n = 30.

Giả sử y$_{1}$, y$_{2}$, …, y$_{30}$ là nhiệt độ cao nhất trong ngày của 30 ngày tháng Sáu năm 2022 được sắp xếp theo thứ tự tăng dần.

Ta có tứ phân vị thứ nhất của mẫu số liệu gốc là y$_{8}$ thuộc nhóm [32; 34) nên nhóm chứa tứ phân vị thứ nhất là [32; 34).

Ta có ${Q}_{1}=32+\frac{\frac{30}{4}-5}{4}.(34-32)=33{,}25$ .

Tứ phân vị thứ ba của mẫu số liệu gốc là y$_{23}$ thuộc nhóm [36; 38) nên nhóm chứa tứ phân vị thứ ba là [36; 38).

Ta có ${Q}_{3}=36+\frac{\frac{3.30}{4}-20}{8}.(38-36)=36{,}625$ .

Khoảng tứ phân vị: D$_{2Q}$ = 36,625 – 33,25 = 3,375.

Theo khoảng biến thiên: Vì R$_{2}$ > R$_{1}$ nên nhiệt độ cao nhất trong ngày vào tháng 6 năm 2022 biến đổi nhiều hơn nhiệt độ cao nhất trong ngày vào tháng 6 năm 2021.

Theo khoảng tứ phân vị: Vì D$_{1Q}$ > D$_{2Q}$ nên nhiệt độ cao nhất trong ngày vào tháng 6 năm 2021 biến đổi nhiều hơn nhiệt độ cao nhất trong ngày vào tháng 6 năm 2022.

a) Có thể tính chính xác khoảng biến thiên cho mẫu số liệu gốc bằng cách xác định giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của mẫu số liệu. Tuy nhiên, vì không có dữ liệu cụ thể cho từng ngày, cho nên chúng ta không thể biết chính xác giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của mẫu số liệu. Do đó không thể tính chính xác khoảng biến thiên.

b) Với các khoảng nhiệt độ đã cho, giá trị nhỏ nhất của x$_{i}$ sẽ nằm trong khoảng từ 30 đến 32 độ có thể là 30°C, giá trị lớn nhất của x$_{i}$ sẽ nằm trong khoảng từ 38 đến 40 độ có thể là 39,9°C.

c) Một giá trị xấp xỉ cho khoảng biến thiên của mẫu số liệu gốc là

R = 39,9°C – 30°C = 9,9°C.

Khoảng biến thiên của mẫu số liệu ghép nhóm trong Bảng 3.1 là R = a$_{k + 1}$ – a$_{1}$.

Giá trị nhỏ nhất của mẫu số liệu gốc giả sử là a$_{1}$' > a$_{1.}$

Giá trị lớn nhất của mẫu số liệu gốc giả sử là a$_{k+1}$' < a$_{k+1}$.

Khoảng biến thiên của mẫu số liệu gốc là:

R' = a$_{k+1}$' – a$_{1}$' < a$_{k+1}$ – a$_{1}$ = R.

a) Khoảng biến thiên R cho mẫu số liệu ghép nhóm là R = 45 – 25 = 20.

b) Nếu biết học sinh hoàn thành bài kiểm tra sớm nhất mất 27 phút và muộn nhất mất 43 phút thì khoảng biến thiên của mẫu số liệu gốc là 43 – 27 = 16.

b) Ta có cỡ mẫu là n = 30.

Giả sử y$_{1}$, y$_{2}$, …, y$_{30}$ là nhiệt độ cao nhất trong ngày của 30 ngày tháng Sáu năm 2022 được sắp xếp theo thứ tự tăng dần.

Ta có tứ phân vị thứ nhất của mẫu số liệu gốc là y$_{8}$ thuộc nhóm [32; 34) nên nhóm chứa tứ phân vị thứ nhất là [32; 34).

Ta có ${Q}_{1}=32+\frac{\frac{30}{4}-5}{4}.(34-32)=33{,}25$ .

Tứ phân vị thứ ba của mẫu số liệu gốc là y$_{23}$ thuộc nhóm [36; 38) nên nhóm chứa tứ phân vị thứ ba là [36; 38).

Ta có ${Q}_{3}=36+\frac{\frac{3.30}{4}-20}{8}.(38-36)=36{,}625$ .

c) D$_{Q}$ = 36,625 – 33,25 = 3,375.

Ta có bảng mẫu số liệu ghép nhóm được viết lại như sau

Có cỡ mẫu n = 8 + 17 + 25 + 20 + 10 = 80.

Giả sử x$_{1}$; x$_{2}$; …; x$_{80}$ là thời gian đàm thoại của 80 cuộc gọi được sắp xếp theo thứ tự tăng dần.

Ta có tứ phân vị thứ nhất của mẫu số liệu là $\frac{{x}_{20}+{x}_{21}}{2}$ .

Mà x$_{20}$; x$_{21}$ đều thuộc nhóm [1; 2) nên nhóm chứa tứ phân vị thứ nhất là [1; 2).

Ta có ${Q}_{1}=1+\frac{\frac{80}{4}-8}{17}(2-1)\approx 1{,}7$ .

Tứ phân vị thứ ba của mẫu số liệu là $\frac{{x}_{60}+{x}_{61}}{2}$ .

Mà x$_{60}$; x$_{61}$thuộc nhóm [3; 4) nên nhóm chứa tứ phân vị thứ ba là [3; 4).

Ta có ${Q}_{3}=3+\frac{\frac{80.3}{4}-50}{20}(4-3)=3{,}5$ .

Khoảng tứ phân vị của mẫu số liệu ghép nhóm là: D$_{Q}$ = 3,5 – 1,7 = 1,8.

Năm 2021

+) Khoảng biến thiên: R$_{1}$ = 40 – 30 = 10.

+) Ta có cỡ mẫu là n = 30.

Gọi x$_{1}$; x$_{2}$; …; x$_{30}$ là nhiệt độ của 30 ngày tháng Sáu năm 2021 được sắp xếp theo thứ tự tăng dần.

Ta có tứ phân vị thứ nhất của mẫu số liệu là x$_{8}$ thuộc nhóm [32; 34). Do đó nhóm chứa tứ phân vị thứ nhất là [32; 34).

Ta có ${Q}_{1}=32+\frac{\frac{30}{4}-2}{8}.(34-32)=33{,}375$ .

Tứ phân vị thứ ba của mẫu số liệu là x$_{23}$ thuộc nhóm [38; 40). Do đó nhóm chứa tứ phân vị thứ ba là [38; 40).

Ta có ${Q}_{3}=38+\frac{\frac{3.30}{4}-21}{9}.(40-38)=38{,}333$ .

Do đó khoảng tứ phân vị D$_{1Q}$ = 38,333 – 33,375 = 4,958.

Năm 2022

+) Khoảng biến thiên R$_{2}$ = 40 – 28 = 12.

Ta có cỡ mẫu là n = 30.

Giả sử y$_{1}$, y$_{2}$, …, y$_{30}$ là nhiệt độ cao nhất trong ngày của 30 ngày tháng Sáu năm 2022 được sắp xếp theo thứ tự tăng dần.

Ta có tứ phân vị thứ nhất của mẫu số liệu gốc là y$_{8}$ thuộc nhóm [32; 34) nên nhóm chứa tứ phân vị thứ nhất là [32; 34).

Ta có ${Q}_{1}=32+\frac{\frac{30}{4}-5}{4}.(34-32)=33{,}25$ .

Tứ phân vị thứ ba của mẫu số liệu gốc là y$_{23}$ thuộc nhóm [36; 38) nên nhóm chứa tứ phân vị thứ ba là [36; 38).

Ta có ${Q}_{3}=36+\frac{\frac{3.30}{4}-20}{8}.(38-36)=36{,}625$ .

Khoảng tứ phân vị: D$_{2Q}$ = 36,625 – 33,25 = 3,375.

Theo khoảng biến thiên: Vì R$_{2}$ > R$_{1}$ nên nhiệt độ cao nhất trong ngày vào tháng 6 năm 2022 biến đổi nhiều hơn nhiệt độ cao nhất trong ngày vào tháng 6 năm 2021.

Theo khoảng tứ phân vị: Vì D$_{1Q}$ > D$_{2Q}$ nên nhiệt độ cao nhất trong ngày vào tháng 6 năm 2021 biến đổi nhiều hơn nhiệt độ cao nhất trong ngày vào tháng 6 năm 2022.

a) Bảng số liệu ghép nhóm:

b) Mẫu số liệu gốc

Khoảng biến thiên: R$_{1}$ = 101 – 42 = 59.

Sắp xếp mẫu số liệu gốc theo thứ tự tăng dần:

42; 47; 50; 55; 55; 57; 59; 60; 61; 63; 63; 67; 67; 68; 73; 75; 78; 79; 79; 101.

Vì n = 20 nên tứ phân vị thứ nhất là trung vị của nhóm 42; 47; 50; 55; 55; 57; 59; 60; 61; 63.

Do đó ${Q}_{1}=\frac{55+57}{2}=56$ .

Tứ phân vị thứ ba là trung vị của nhóm 63; 67; 67; 68; 73; 75; 78; 79; 79; 101.

Do đó ${Q}_{3}=\frac{73+75}{2}=74$ .

Do đó D$_{1Q}$ = 74 – 56 = 18.

Mẫu số liệu ghép nhóm

Khoảng biến thiên là: R$_{2}$ = 110 – 40 = 70.

Cỡ mẫu là n = 20.

Gọi x$_{1}$; x$_{2}$; …; x$_{20}$ là số thẻ vàng của mỗi câu lạc bộ trong giải ngoại hạng Anh mùa giải 2021 – 2022 và được sắp xếp theo thứ tự tăng dần.

Tứ phân vị thứ nhất của mẫu số liệu là $\frac{{x}_{5}+{x}_{6}}{2}$ .

Mà x$_{5}$; x$_{6}$ thuộc nhóm [50; 60) nên nhóm chứa tứ phân vị thứ nhất là [50; 60).

Ta có ${Q}_{1}=50+\frac{\frac{20}{4}-2}{5}.(60-50)=56$.

Tứ phân vị thứ ba của mẫu số liệu là $\frac{{x}_{15}+{x}_{16}}{2}$.

Mà x$_{15}$; x$_{16}$ thuộc nhóm [70; 80) nên nhóm chứa tứ phân vị thứ ba là [70; 80).

Ta có ${Q}_{3}=70+\frac{\frac{20.3}{4}-14}{5}.(80-70)=72$ .

Do đó D$_{2Q}$ = 72 – 56 = 16.

Giá trị chính xác là R$_{1}$ và D$_{1Q}$; giá trị xấp xỉ là R$_{2}$ và D$_{2Q}$.

Chọn giá trị đại diện cho mẫu số liệu ta có:

Mức thu nhập trung bình của người lao động nhà máy A là:

$\frac{6{,}5.20+9{,}5.35+12{,}5.45+15{,}5.35+18{,}5.20}{(20+35+45+35+20)}=12{,}5$ (triệu đồng).

Mức thu nhập trung bình của người lao động nhà máy B là:

$\frac{6{,}5.17+9{,}5.23+12{,}5.30+15{,}5.23+18{,}5.17}{(17+23+30+23+17)}=12{,}5$ (triệu đồng).

Nhà máy A

Cỡ mẫu n = 20 + 35 + 45 + 35 + 20 = 155.

Gọi x$_{1}$; x$_{2}$; …; x$_{155}$ là mức thu nhập của 155 công nhân lao động của nhà máy A và được sắp xếp theo thứ tự tăng dần

Tứ phân vị thứ nhất của mẫu số liệu là x$_{39}$ thuộc nhóm [8; 11) nên nhóm chứa tứ phân vị thứ nhất là [8; 11).

Ta có ${Q}_{1}=8+\frac{\frac{155}{4}-20}{35}.(11-8)\approx 9{,}6$ .

Tứ phân vị thứ ba của mẫu số liệu là x$_{117}$ thuộc nhóm [14; 17) nên nhóm chứa tứ phân vị thứ ba là [14; 17).

Ta có ${Q}_{3}=14+\frac{\frac{155.3}{4}-100}{35}.(17-14)\approx 15{,}4$ .

Khoảng tứ phân vị: R$_{AQ}$ = 15,4 – 9,6 = 5,8.

Nhà máy B

Cỡ mẫu n = 17 + 23 + 30 + 23 + 17 = 110.

Gọi y$_{1}$; y$_{2}$; …; y$_{110}$ là mức thu nhập của 110 công nhân lao động của nhà máy B và được sắp xếp theo thứ tự tăng dần.

Tứ phân vị thứ nhất của mẫu số liệu là y$_{28}$ thuộc nhóm [8; 11) nên nhóm chứa tứ phân vị thứ nhất là [8; 11).

Ta có ${Q}_{1}=8+\frac{\frac{110}{4}-17}{23}.(11-8)\approx 9{,}4$ .

Tứ phân vị thứ ba của mẫu số liệu là y$_{83}$ thuộc nhóm [14; 17) nên nhóm chứa tứ phân vị thứ ba là [14; 17).

Ta có ${Q}_{3}=14+\frac{\frac{3.110}{4}-70}{23}.(17-14)\approx 15{,}6$ .

Khoảng tứ phân vị .

Vì R$_{BQ}$ > R$_{AQ}$ nên mức thu nhập của người lao động ở nhà máy B biến động nhiều hơn.

Lớp 12A

+) Khoảng biến thiên: R$_{1}$ = 175 – 145 = 30.

+) Cỡ mẫu n = 1 + 0 + 15 + 12 + 10 + 5 = 43.

Gọi x$_{1}$; x$_{2}$; …; x$_{43}$ là chiều cao của 43 học sinh lớp 12A được sắp xếp theo thứ tự tăng dần.

Tứ phân vị thứ nhất của mẫu số liệu là x$_{11}$ thuộc nhóm [155; 160) nên nhóm chứa tứ phân vị thứ nhất là [155; 160).

Ta có ${Q}_{1}=155+\frac{\frac{43}{4}-1}{15}.(160-155)=158{,}25$ .

Tứ phân vị thứ ba của mẫu số liệu là x$_{33}$ thuộc nhóm [165; 170) nên nhóm chứa tứ phân vị thứ ba là [165; 170).

Ta có ${Q}_{3}=165+\frac{\frac{43.3}{4}-28}{10}.(170-165)=167{,}125$ .

Khoảng tứ phân vị là D$_{1Q}$ = 167,125 – 158,25 = 8,875.

Lớp 12B

+) Khoảng biến thiên: R$_{2}$ = 175 – 155 = 20.

+) Cỡ mẫu n = 17 + 10 + 9 + 6 = 42.

Gọi y$_{1}$; y$_{2}$; …; y$_{42}$ là chiều cao của 42 học sinh lớp 12B và được sắp xếp theo thứ tự tăng dần.

Tứ phân vị thứ nhất của mẫu số liệu là y$_{11}$ thuộc nhóm [155; 160) nên nhóm chứa tứ phân vị thứ nhất là [155; 160).

Ta có ${Q}_{1}=155+\frac{\frac{42}{4}-0}{17}.(160-155)\approx 158{,}1$ .

Tứ phân vị thứ ba của mẫu số liệu là y$_{32}$ thuộc nhóm [165; 170) nên nhóm chứa tứ phân vị thứ ba là [165; 170).

Ta có ${Q}_{2}=165+\frac{\frac{42.3}{4}-27}{9}.(170-165)=167{,}5$ .

Khoảng tứ phân vị là: R$_{2Q}$ = 167,5 – 158,1 = 9,4.