Giải SGK Toán 12 Bài 8. Biểu thức tọa độ của các phép toán vectơ

Sau khi học xong bài này, ta giải quyết bài toán này như sau:

Vì A'(240; 450; 0) nên khoảng cách từ A' đến các trục Ox, Oy lần lượt là 450 cm và 240 cm.

Suy ra A'A = 450 cm và A'O' = 240 cm.

Từ giả thiết ta có =$\overrightarrow{{A}^{'}{B}^{'}}=(-120;0;300)$.

Do đó ${A}^{'}{B}^{'}=|\overrightarrow{{A}^{'}{B}^{'}}|=\sqrt{{(-120)}^{2}+0+{300}^{2}}=60\sqrt{29}\approx 323$ cm.

Vì O'O = A'A = 450 cm và O' nằm trên trục Oy nên O' (0; 450; 0).

Do đó $\overrightarrow{{O}^{'}{B}^{'}}=(120;0;300)$ và ${O}^{'}{B}^{'}=|\overrightarrow{{O}^{'}{B}^{'}}|=\sqrt{{120}^{2}+0+{300}^{2}}=60\sqrt{29}\approx 323$ cm.

Vậy mỗi căn nhà gỗ có chiều dài là 450 cm, chiều rộng là 240 cm và mỗi cạnh bên của mặt tiền có độ dài là 323 cm.

Vì G là trọng tâm tam giác ABC nên:

$\{\begin{matrix}{x}_{C}=3{x}_{G}-{x}_{A}-{x}_{B} \\ {y}_{C}=3{y}_{G}-{y}_{A}-{y}_{B} \\ {z}_{C}=3{z}_{G}-{z}_{A}-{z}_{B}\end{matrix}\Rightarrow \{\begin{matrix}{x}_{C}=3.3-2-9 \\ {y}_{C}=3.0-9-4 \\ {z}_{C}=3.4+1-5\end{matrix}\Rightarrow \{\begin{matrix}{x}_{C}=-2 \\ {y}_{C}=-13 \\ {z}_{C}=8\end{matrix}$.

Vậy C(−2; −13; 8).

Theo Ví dụ 7, tọa độ của khinh khí cầu thứ nhất là A(2; 1; 0,5).

Tọa độ của khinh khí cầu thứ hai là (−1; −1,5; 0,8).

Khi đó ta có $OA=|\overrightarrow{OA}|=\sqrt{4+1+0{,}25}=\frac{\sqrt{21}}{2};OB=|\overrightarrow{OB}|=\sqrt{1+1,{5}^{2}+0,{8}^{2}}=\frac{\sqrt{389}}{10}$; .

Vì $\frac{\sqrt{21}}{2}>\frac{\sqrt{389}}{10}$ nên OA > OB.

Do đó khinh khí cầu thứ hai ở gần điểm xuất phát hơn.

a) $\overrightarrow{MN}=(4+4;-4-3;2-3)=(8;-7;-1),\overrightarrow{MP}=(3+4;6-3;-1-3)=(7;3;-4)$.

Hai vectơ $\overrightarrow{MN}$ và $\overrightarrow{MP}$ không cùng phương nên ba điểm M, N, P không thẳng hàng.

Giả sử căn phòng hình hộp chữ nhật được mô phỏng như hình vẽ.

Khi đó ta có B' (6; 8; 3) và O'(0; 0; 3).

Gọi I là điểm chính giữa trần nhà của phòng học.

Vì O'A'B'C' là hình chữ nhật nên I là trung điểm của O'B'.

Do đó $\{\begin{matrix}{x}_{I}=\frac{6+0}{2} \\ {y}_{I}=\frac{8+0}{2} \\ {z}_{I}=\frac{3+3}{2}\end{matrix}\Leftrightarrow \{\begin{matrix}{x}_{I}=3 \\ {y}_{I}=4 \\ {z}_{I}=3\end{matrix}$.

Vậy tọa độ điểm treo đèn là (3; 4; 3).

Để xác định xem ra đa có thể phát hiện được tàu thám hiểm hay không, ta cần xác định khoảng cách giữa ra đa và tàu thám hiểm.

Theo đề ta có tọa độ của ra đa là (0; 0; 0), tọa độ của tàu thám hiểm là (25; 15; −10).

Khi đó khoảng cách giữa ra đa và tàu thám hiểm là:

$d=\sqrt{{(25-0)}^{2}+{(15-0)}^{2}+{(-10-0)}^{2}}=5\sqrt{38}\approx 30{,}82$.

Vì phạm vi theo dõi của ra đa là 30 km mà khoảng khoảng cách giữa ra đa và tàu thám hiểm là 30,82 km nên ra đa không phát hiện được tàu thám hiểm.