Giải SGK Toán 12 Bài 6. Vectơ trong không gian

Sau khi học xong bài này, ta thấy rằng:

Trong không gian, vectơ vẫn là công cụ để biểu diễn các đại lượng có hướng như vận tốc, lực hay các đại lượng khác. Các phép toán trong không gian tương tự như trong mặt phẳng nhưng có một số khác biết như:

- Biểu diễn vectơ: Trong không gian mỗi vectơ được biểu diễn bởi một cặp ba giá trị (x; y; z).

- Các phép toán vectơ: cơ bản vẫn giống trong mặt phẳng.

a) Hướng bay của khinh khí cầu

b) Hướng đi của thuyền trên sông

b) Vì ABCD.A'B'C'D' là hình lập phương nên AD = DC = DD'.

Xét ∆ADC vuông tại D, có $AC=\sqrt{A{D}^{2}+D{C}^{2}}=AD\sqrt{2}$

Xét ∆ADD' vuông tại D, có $A{D}^{'}=\sqrt{A{D}^{2}+D{{D}^{'}}^{2}}=AD\sqrt{2}$ .

Do đó AC = AD' hay $|\overrightarrow{AC}|=|\overrightarrow{A{D}^{'}}|$ .

Vậy hai vectơ $\overrightarrow{AC},\overrightarrow{A{D}^{'}}$ có cùng độ dài.

a) Do ABCD.A'B'C'D' là hình hộp nên ABCD và CDD'C' là các hình bình hành nên AB = CD = D'C'.

Do đó $|\overrightarrow{AB}|=|\overrightarrow{{D}^{'}{C}^{'}}|$

b) Vì ABCD và CDD'C' là các hình bình hành nên AB // DC và DC // D'C'.

Do đó AB // D'C' .

Vậy hai vectơ $\overrightarrow{AB}$ và $\overrightarrow{{D}^{'}{C}^{'}}$ có giá song song.

Gọi vectơ biểu diễn độ dịch chuyển của thang máy từ tầng 15 lên tầng 22 là .

Gọi vectơ biểu diễn độ dịch chuyển của thang máy từ tầng 22 lên tầng 29 là .

Vì hai vectơ $\overrightarrow{a},\overrightarrow{b}$ đều dịch chuyển từ tầng thấp nên tầng cao nên hai vectơ này cùng hướng.

Và $|\overrightarrow{a}|=|\overrightarrow{b}|=7$.

Do đó ta có $\overrightarrow{a}=\overrightarrow{b}$.

Vậy các vectơ biểu diễn độ dịch chuyển của thang máy trong hai lần di chuyển bằng nhau.

a) Vì $\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{a}$ và $\overrightarrow{{A}^{'}{B}^{'}}=\overrightarrow{a}$ nên $\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{{A}^{'}{B}^{'}}$.

Do đó ABB'A' là hình bình hành.

Suy ra AA' // BB' và AA' = BB'. Do đó $\overrightarrow{A{A}^{'}}=\overrightarrow{B{B}^{'}}$.

Vì $\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{b}$ và $\overrightarrow{{B}^{'}{C}^{'}}=\overrightarrow{b}$ nên $\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{{B}^{'}{C}^{'}}$.

Do đó BCC'B' là hình bình hành.

Suy ra BB' // CC' và BB' = CC'. Do đó $\overrightarrow{B{B}^{'}}=\overrightarrow{C{C}^{'}}$.

b) Vì $\overrightarrow{A{A}^{'}}=\overrightarrow{B{B}^{'}}$ và $\overrightarrow{B{B}^{'}}=\overrightarrow{C{C}^{'}}$ nên $\overrightarrow{A{A}^{'}}=\overrightarrow{C{C}^{'}}$.

Do đó ACC'A' là hình bình hành.

Do đó $\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{{A}^{'}{C}^{'}}$.

Ta có $\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{DB}$.

Do đó $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{CD}=\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{DB}+\overrightarrow{CD}=\overrightarrow{AD}+(\overrightarrow{CD}+\overrightarrow{DB})=\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{CB}$.

a) Vì ABCD là hình bình hành nên theo quy tắc hình bình hành ta có:

$\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{AC}$

b) Có $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{A{A}^{'}}=\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{A{A}^{'}}$.

Vì ABCD.A'B'C'D' là hình hộp nên AA' // CC' và AA' = CC'.

Do đó ACC'A' là hình bình hành.

Theo quy tắc hình bình hành, ta có $\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{A{A}^{'}}=\overrightarrow{A{C}^{'}}$.

Vậy $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{A{A}^{'}}=\overrightarrow{A{C}^{'}}.$

Góc giữa hai vectơ cùng hướng là 0°.

Góc giữa hai vectơ ngược hướng là 180°.

Công thức xác định tích vô hướng của hai vectơ trong mặt phẳng:

Tích vô hướng của hai vectơ $\overrightarrow{u},\overrightarrow{v}$ là một số, kí hiệu là $\overrightarrow{u}\cdot \overrightarrow{v}=|\overrightarrow{u}|\cdot |\overrightarrow{v}|\cdot \cos (\overrightarrow{u},\overrightarrow{v})$.

Giả sử khối rubik (đồng chất) hình tứ diện đều được mô phỏng như hình vẽ.

G là trọng tâm DBCD, I là trọng tâm của tứ diện

Vì ABCD là hình tứ diện đều nên AG ^ (BCD) và AG = 8 cm.

Vì $\overrightarrow{AI}=3\overrightarrow{IG}$ nên 3 điểm A, I, G thẳng hàng và $IG=\frac{1}{4}AG$.

Do đó IG ^ (BCD). Khi đó $d(I,(BCD))=IG=\frac{1}{4}AG=2$ cm.