Giải SGK Toán 12 Bài 4. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số

b) +) y' > 0 $\Leftrightarrow$ 2x – 4 > 0 $\Leftrightarrow$ x > 2. Hàm số đồng biến trên khoảng (2; +∞).

+) y' < 0 $\Leftrightarrow$ 2x – 4 < 0 $\Leftrightarrow$ x < 2. Hàm số nghịch biên trên khoảng (−∞; 2).

Ta có x = 2 là điểm cực tiểu của đồ thị hàm số và y$_{CT}$ = −1.

Hàm số không có cực đại.

c) $\underset{x\rightarrow -\infty }{\lim }y=\underset{x\rightarrow -\infty }{\lim }({x}^{2}-4x+3)=+\infty ,\underset{x\rightarrow +\infty }{\lim }({x}^{2}-4x+3)=+\infty$

Bảng biến thiên

d) Đồ thị hàm số y = x$^{2}$ – 4x + 3

+) Ta có: y = 0 $\Leftrightarrow$ x$^{2}$ – 4x + 3 = 0 $\Leftrightarrow$ x = 1 hoặc x = 3.

Đồ thị giao với Ox tại (1; 0) và (3; 0).

+) Đồ thị hàm số đi qua điểm (2; −1).

Đồ thị nhận đường thẳng x = 2 là trục đối xứng.

a) Thể tích nước có trong bể sau t phút là: V(t) = 200 + 40t (lít).

Khối lượng chất khử trùng có trong bể sau t phút là: M(t) = 20t (gam).

Nồng độ chất khử trùng trong bể sau t phút là: $\frac{20t}{200+40t}$ (gam/lít).

a) y = −x$^{3}$ + 3x + 1

1. Tập xác định của hàm số là ℝ.

2. Sự biến thiên

+) y' = −3x$^{2}$ + 3; y' = 0 Û −3x$^{2}$ + 3 = 0 Û x = 1 hoặc x = −1.

+) Trên khoảng (−1; 1), y' > 0 nên hàm số đồng biến.

Trên các khoảng (−∞; −1) và (1; +∞), y' < 0 nên hàm số nghịch biến trên mỗi khoảng đó.

+) Hàm số đạt cực tiểu tại x = −1, giá trị cực tiểu y$_{CT}$ = −1. Hàm số đạt cực đại tại x = 1, giá trị cực đại y$_{CĐ}$ = 3.

+) Giới hạn tại vô cực: $\underset{x\rightarrow +\infty }{\lim }(-{x}^{3}+3x+1)=\underset{x\rightarrow +\infty }{\lim }-{x}^{3}(1+\frac{3}{{x}^{2}}+\frac{1}{{x}^{3}})=-\infty$;

$\underset{x\rightarrow -\infty }{\lim }(-{x}^{3}+3x+1)=\underset{x\rightarrow -\infty }{\lim }-{x}^{3}(1+\frac{3}{{x}^{2}}+\frac{1}{{x}^{3}})=+\infty$.

+) Bảng biến thiên

3. Đồ thị

+) Giao điểm của đồ thị hàm số với trục tung là (0; 1).

+) Đồ thị hàm số đi qua điểm (−1; −1); (1; 3).

+) Đồ thị có tâm đối xứng là (0; 1).

a) Tổng khối lượng KOH sau khi trộn là: 30.100 + 8.x = 3000 + 8x (mg).

Tổng thể tích dung dịch sau khi trộn là: 30 + x (ml).

Nồng độ KOH trong cốc sau khi trộn là $C(x)=\frac{3000+8x}{30+x}$ (mg/ml).

Ta có $y=R(x)=\frac{8x}{8+x},x>0$.

1. Tập xác định D = (0; +∞).

2. Sự biến thiên

+) Có ${y}^{'}=\frac{8(8+x)-8x}{{(8+x)}^{2}}=\frac{64}{{(8+x)}^{2}}>0,\forall x>0$.

+) Hàm số luôn đồng biến trên (0; +∞).

+) Hàm số không có cực trị.

+) Tiệm cận

$\underset{x\rightarrow +\infty }{\lim }y=\underset{x\rightarrow +\infty }{\lim }\frac{8}{\frac{8}{x}+1}=8$.

Vậy y = 8 là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số (phần bên phải trục Oy).

+) Bảng biến thiên

3. Đồ thị

+) Đồ thị hàm số giao với Ox, Oy tại (0; 0).

+) Đồ thị hàm số đi qua $(1;\frac{8}{9});(2;\frac{8}{5})$

a) Vì ${y}^{'}=\frac{64}{{(8+x)}^{2}}>0,\forall x>0$ nên khi x tăng thì điện trở tương đương của mạch cũng tăng.

b) Vì ${y}^{'}=\frac{64}{{(8+x)}^{2}}>0,\forall x>0$ và $\underset{x\rightarrow +\infty }{\lim }y=8$ nên điện trở tương đương của mạch không bao giờ vượt quá 8 W.