Giải SGK Toán 12 Bài 18. Xác suất có điều kiện

+ Trước khi người quản trò mở ô cửa số 3 thì xác suất để ô cửa số 1 hay ô cửa số 2 có ô tô là như nhau (bằng $\frac{1}{3}$).

+ Nếu như quản trò mở ô cửa số 3 – ô cửa có con lừa thì lúc này xác suất có ô tô ở cửa số 1 và cửa số 2 không còn bằng nhau nữa.

Bài học này sẽ cung cấp cho HS các kiến thức để tính được xác suất có ô tô ở cửa số 1 và cửa số 2, từ đó cung cấp cho người chơi lời khuyên.

Cách 1: Bằng định nghĩa

Nếu B không xảy ra tức là Bình lấy được viên bi đen. Khi đó trong hộp còn lại 29 viên bi với 20 viên bi trắng và 9 viên bi đen. Vậy $P(A|\overline{B})=\frac{20}{29}$.

Cách 2: Bằng công thức

Nếu B không xảy ra tức là Bình lấy được viên bi đen.

Bình có 10 cách chọn bi đen. An có 29 cách chọn từ 29 viên còn lại trong hộp.

Vì A và B là hai biến cố độc lập nên các cặp biến cố $\overline{A}$ và B; A và $\overline{A}$ cũng độc lập.

Theo định nghĩa $P(\overline{A}|B)$ là xác suất của $\overline{B}$ (tức là xác suất không xuất hiện của A) biết rằng biến cố B đã xảy ra. Vì $\overline{A}$, B độc lập nên việc xảy ra B không ảnh hưởng tới xác suất không xuất hiện của A.

Do đó $P(\overline{A}|B)=P(\overline{A})$.

Tương tự $P(A|\overline{B})$ là xác suất của A biết rằng biến cố B không xảy ra. Vì A, $\overline{B}$ độc lập nên việc không xảy ra B không ảnh hưởng tới xác suất xuất hiện của A. Do đó $P(A|\overline{B})=P(A)$.

Không gian mẫu W là tập hợp 4 000 bệnh nhân.

a) Gọi A là biến cố: “Bệnh nhân đó uống thuốc M” và B là biến cố: “Bệnh nhân đó khỏi bệnh”.

Ta cần tính P(A | B).

Ta có B là tập hợp con của không gian mẫu gồm các bệnh nhân khỏi bệnh.

Ta có n(B) = 1 600 + 1 200 = 2 800 và $P(B)=\frac{n(B)}{n(Ω)}.$

AB là biến cố: “Bệnh nhân đó uống thuốc M và khỏi bệnh”. AB là tập hợp con của không gian mẫu gồm các bệnh nhân uống thuốc M và khỏi bệnh.

Theo công thức: Với hai biến cố A và B bất kì, với P(B) > 0. Khi đó ta có $P(A|B)=\frac{P(AB)}{P(B)}.$

Suy ra P(AB) = P(B) ∙ P(A | B).

a) Gọi C là biến cố: “Bạn Sơn lấy được bút bi xanh”;

D là biến cố: “Bạn Tùng lấy được bút bi đen”.

Ta cần tính P(CD).

Vì n(C) = 7 nên P(C) = $\frac{7}{12}$.

Nếu C xảy ra tức là bạn Sơn lấy được bút bi xanh thì trong hộp còn lại 11 bút bi với 6 bút bi xanh và 5 bút bi đen. Do đó, P(D | C) = $\frac{5}{11}$.

Theo công thức nhân xác suất: P(CD) = P(C) ∙ P(D | C) = $\frac{7}{12}\cdot \frac{5}{11}=\frac{35}{132}.$

b) Tương tự như câu a), ta tính được:

Xác suất để hai chiếc bút bi lấy ra có cùng màu đen là: P(ĐĐ) = $\frac{5}{12}\cdot \frac{4}{11}=\frac{20}{132}$;

Xác suất để hai chiếc bút bi lấy ra có cùng màu xanh là: P(XX) = $\frac{7}{12}\cdot \frac{6}{11}=\frac{42}{132}$.

Xác suất để hai chiếc bút bi lấy ra có cùng màu là: $\frac{20}{132}+\frac{42}{132}=\frac{62}{132}=\frac{31}{66}$.

Gọi A là biến cố: “Người đó rút được thẻ số 10”;

B là biến cố: “Người đó rút được thẻ mang số chẵn”.

Ta có AB = {10}; B = {2; 4; 6; 8; 10; 12; 14; 16; 18; 20}.

Do đó, $P(AB)=\frac{1}{20}$ ; $P(B)=\frac{10}{20}$.

Vậy $P(A|B)=\frac{P(AB)}{P(B)}=\frac{1}{10}$.

Áp dụng công thức nhân xác suất, ta có: P(AB) = P(A) ∙ P(B | A) = 0,2 ∙ 0,8 = 0,16.

Khi đó, ta có: $P(A|B)=\frac{P(AB)}{P(B)}=\frac{0{,}16}{0{,}51}\approx 0{,}3137$.

Gọi A là biến cố: “tổng số chấm xuất hiện trên hai con xúc xắc đó không nhỏ hơn 10”;

B là biến cố: “ít nhất một con xúc xắc xuất hiện mặt 5 chấm”.

Cần tính $P(A|B).$

Ta có AB = {(5; 5); (5; 6); (6; 5)}; n(AB) = 3 $\Rightarrow P(AB)=\frac{3}{36}$.

$\overline{B}$ = {(a; b) | a, b ∈ {1; 2; 3; 4; 6}} ⇒ n($\overline{B}$) = 5 ∙ 5 = 25.

$\Rightarrow P(\overline{B})=\frac{25}{36}\Rightarrow P(B)=1-P(\overline{B})=1-\frac{25}{36}=\frac{11}{36}$.

Vậy $P(A|B)=\frac{P(AB)}{P(B)}=\frac{3}{11}$.

a) Gọi A là biến cố: “Thí nghiệm thứ nhất thành công” và B là biến cố: “Thí nghiệm thứ hai thành công”. Khi đó biến cố “Cả hai thí nghiệm đều thành công” là AB.

Theo công thức nhân xác suất ta có P(AB) = P(A) ∙ P(B | A).

Theo bài ra ta có P(A) = 0,7; P(B | A) = 0,9.

Thay vào ta được P(AB) = 0,7 ∙ 0,9 = 0,63.