Giải SGK Toán 12 Bài 14. Phương trình mặt phẳng

Sau khi học xong bài này, ta giải quyết bài toán này như sau:

Thời điểm t = 0, vật ở vị trí M$_{1}$(1; 1; 1).

Thời điểm $t = \frac{\pi }{2}$, vật ở vị trí M$_{2}$(−1; 1; 0).

Thời điểm t = π, vật ở vị trí M$_{3}$(−1; −1; −1).

Có $\overrightarrow {{M_1}{M_2}} = \left( { - 2;0; - 1} \right)$ và $\overrightarrow {{M_1}{M_3}} = \left( { - 2; - 2; - 2} \right)$ không cùng phương nên ba điểm M$_{1}$, M$_{2}$, M$_{3}$ không thẳng hàng.

Mặt phẳng (M$_{1}$M$_{2}$M$_{3}$) có $\overrightarrow {{M_1}{M_2}} = \left( { - 2;0; - 1} \right)$ và $\overrightarrow {{M_1}{M_3}} = \left( { - 2; - 2; - 2} \right)$ là cặp vectơ chỉ phương nên có vectơ pháp tuyến

$\overrightarrow n = \left[ {\overrightarrow {{M_1}{M_2}} ,\overrightarrow {{M_1}{M_3}} } \right] = \left( {\left| {\begin{array}{cccccccccccccccccccc}0&{ - 1}\\{ - 2}&{ - 2}\end{array}} \right|;\left| {\begin{array}{cccccccccccccccccccc}{ - 1}&{ - 2}\\{ - 2}&{ - 2}\end{array}} \right|;\left| {\begin{array}{cccccccccccccccccccc}{ - 2}&0\\{ - 2}&{ - 2}\end{array}} \right|} \right) = \left( { - 2; - 2;4} \right)$.

Mặt phẳng (M$_{1}$M$_{2}$M$_{3}$) đi qua M$_{1}$(1; 1; 1) và có vectơ pháp tuyến $\overrightarrow n = \left( { - 2; - 2;4} \right)$ có phương trình là: −2(x – 1) – 2(y – 1) + 4(z – 1) = 0 hay 2x + 2y – 4z = 0.

Ta có 2(cost – sint) + 2(cost + sint) – 4 cost = 0 nên vị trí M(cost – sint; cost + sint; cost) luôn thuộc mặt phẳng (M$_{1}$M$_{2}$M$_{3}$).

Do đó vị trí M(cost – sint; cost + sint; cost) luôn thuộc mặt phẳng 2x + 2y – 4z = 0.

Vì (α) là mặt phẳng trung trực của đoạn thẳng AB nên giá của $\overrightarrow{AB}\perp (α)$.

Do đó $\overrightarrow{AB}=(-4;2;-2)$ là một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (α).

a) Ta có $\overrightarrow n .\overrightarrow u = \left( {bc' - b'c} \right).a + \left( {ca' - c'a} \right).b + \left( {ab' - a'b} \right).c$

= bc'a – b'ca + ca'b – c'ab + ab'c – a'bc

= (bc'a – c'ab) + (ab'c – b'ca) + (ca'b – a'bc)

= 0.

Do đó vectơ $\overrightarrow n$ vuông góc với vectơ $\overrightarrow u$.

Ta có $\overrightarrow n .\overrightarrow v = \left( {bc' - b'c} \right).a' + \left( {ca' - c'a} \right).b' + \left( {ab' - a'b} \right).c'$

= bc'a' – b'ca' + ca'b' – c'ab' + ab'c' – a'bc'

= (bc'a' – c'a'b) + (ab'c' – b'c'a) + (ca'b' – a'b'c)

= 0.

Do đó vectơ $\overrightarrow n$ vuông góc với vectơ $\overrightarrow v$.

Suy ra vectơ $\overrightarrow n$ vuông góc với cả 2 vectơ $\overrightarrow u$ và $\overrightarrow v$.

b) Nếu $\overrightarrow n = \overrightarrow 0$ thì $\left\{ \begin{array}{l}bc' - b'c = 0\\ca' - c'a = 0\\ab' - a'b = 0\end{array} \right.$ (I).

+) Nếu a = b = c = 0 thì (I) luôn đúng khi đó $\overrightarrow u$ và $\overrightarrow v$ cùng phương với nhau.

+) Nếu a ≠ 0; b ≠ 0; c ≠ 0 thì (I) ta suy ra $\left\{ \begin{array}{l}\frac{{b'}}{b} = \frac{{c'}}{c}\\\frac{{a'}}{a} = \frac{{c'}}{c}\\\frac{{a'}}{a} = \frac{{b'}}{b}\end{array} \right.$.

Do đó, a' = ka; b' = kb, c' = kc (k ∈ ℝ).

Suy ra $\overrightarrow v = k\overrightarrow u$. Do đó $\overrightarrow u$ và $\overrightarrow v$ cùng phương với nhau.

Vậy $\overrightarrow n = \overrightarrow 0$ khi và chỉ khi $\overrightarrow u$ và $\overrightarrow v$ cùng phương.

a) Vectơ $\left[ {\overrightarrow u ,\overrightarrow v } \right]$ có khác vectơ-không và giá của nó có vuông góc với cả hai giá của $\overrightarrow u ,\overrightarrow v$.

b) Hai vectơ $\overrightarrow u ,\overrightarrow v$ không cùng phương và có giá nằm trong hoặc song song với mặt phẳng (P) mà $\left[ {\overrightarrow u ,\overrightarrow v } \right]$ có giá vuông góc với cả hai giá của $\overrightarrow u ,\overrightarrow v$ nên giá của vectơ $\left[ {\overrightarrow u ,\overrightarrow v } \right]$ vuông góc với mặt phẳng (P). Suy ra mặt phẳng (P) nhận vectơ $\left[ {\overrightarrow u ,\overrightarrow v } \right]$ làm một vectơ pháp tuyến.

Ta có $\overrightarrow {AB} = \left( { - 3;3; - 1} \right)$ và $\overrightarrow {AC} = \left( { - 3;5;1} \right)$ là các vectơ chỉ phương của mặt phẳng (ABC) nên mặt phẳng (ABC) nhận vectơ $\left[ {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AC} } \right]$ làm vectơ pháp tuyến.

Ta có $\left[ {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AC} } \right] = \left( {\left| {\begin{array}{cccccccccccccccccccc}3&{ - 1}\\5&1\end{array}} \right|;\left| {\begin{array}{cccccccccccccccccccc}{ - 1}&{ - 3}\\1&{ - 3}\end{array}} \right|;\left| {\begin{array}{cccccccccccccccccccc}{ - 3}&3\\{ - 3}&5\end{array}} \right|} \right) = \left( {8;6; - 6} \right)$.

a) Ta có $\overrightarrow M = \left[ {\overrightarrow {OP} ,\overrightarrow F } \right]$$= \left( {\left| {\begin{array}{cccccccccccccccccccc}y&z\\b&c\end{array}} \right|;\left| {\begin{array}{cccccccccccccccccccc}z&x\\c&a\end{array}} \right|;\left| {\begin{array}{cccccccccccccccccccc}x&y\\a&b\end{array}} \right|} \right)$$= \left( {yc - bz;za - cx;bx - ay} \right)$.

b) Vì $\overrightarrow {OP'} = 2\overrightarrow {OP}$ nên $2\overrightarrow {OP} = \left( {2x;2y;2z} \right)$.

Khi đó $\overrightarrow {M'} = \left[ {\overrightarrow {OP'} ,\overrightarrow F } \right]$$= \left( {\left| {\begin{array}{cccccccccccccccccccc}{2y}&{2z}\\b&c\end{array}} \right|;\left| {\begin{array}{cccccccccccccccccccc}{2z}&{2x}\\c&a\end{array}} \right|;\left| {\begin{array}{cccccccccccccccccccc}{2x}&{2y}\\a&b\end{array}} \right|} \right)$

$= \left( {2yc - b2z;2za - 2cx;2bx - 2ay} \right)$.

Suy ra $\overrightarrow {M'} = 2\overrightarrow M$.

Vậy giữ nguyên lực tác động $\overrightarrow F$ trong khi thay vị trí đặt lực từ P sang P' sao cho $\overrightarrow {OP'} = 2\overrightarrow {OP}$ thì moment lực sẽ tăng lên gấp đôi.

Kết luận: Từ kết quả trên, ta có thể rút ra rằng để đỡ tốn sức khi dùng mỏ lết vặn ốc, ta nên tăng khoảng cách từ điểm tác dụng lực đến trục quay (điểm O).

a) Ta có $\overrightarrow {{M_0}M} = \left( {x - {x_0};y - {y_0};z - {z_0}} \right)$

$\overrightarrow n = \left( {A;B;C} \right)$ là một vectơ pháp tuyến của (α) nên $\overrightarrow n \bot \overrightarrow {{M_0}M}$.

Suy ra $\overrightarrow n .\overrightarrow {{M_0}M} = \overrightarrow 0$ Û A(x – x$_{0}$) + B(y – y$_{0}$) + C(z – z$_{0}$) = 0.

Vậy một điểm M(x; y; z) thuộc (α) khi và chỉ khi hai vectơ $\overrightarrow n$ và $\overrightarrow {{M_0}M}$ vuông góc với nhau.

b) Từ câu a, ta có A(x – x$_{0}$) + B(y – y$_{0}$) + C(z – z$_{0}$) = 0

Û Ax + By + Cz = Ax$_{0}$ + By$_{0}$ + Cz$_{0}$

Û Ax + By + Cz = D (trong đó D = Ax$_{0}$ + By$_{0}$ + Cz$_{0}$).

Vậy điểm M(x; y; z) thuộc (α) khi và chỉ khi tọa độ của nó thỏa mãn hệ thức Ax + By + Cz = D trong đó $\overrightarrow n = \left( {A;B;C} \right)$ và D = Ax$_{0}$ + By$_{0}$ + Cz$_{0}$.

Trong các phương trình trên, chỉ có phương trình $\frac{x}{2} - y + \frac{z}{3} + 5 = 0$ có dạng Ax + By + Cz + D = 0 ($A = \frac{1}{2};B = - 1;C = \frac{1}{3}$).

Vì vậy trong các phương trình trên, chỉ có phương trình $\frac{x}{2} - y + \frac{z}{3} + 5 = 0$ là phương trình mặt phẳng.

a) Do −2 + 2 = 0 nên điểm A(−2; 1; 0) thuộc (α).

b) Mặt phẳng (α) nhận $\overrightarrow{n}=(1;0;0)$ làm một vectơ pháp tuyến.

Mặt phẳng (α) đi qua điểm M(1; 2; −4) và vuông góc với trục Oz nhận vectơ $\overrightarrow{k}=(0;0;1)$ làm vectơ pháp tuyến.

Do đó phương trình mặt phẳng (α) là: z + 4 = 0.

a) Mặt phẳng (α) nhận

$\overrightarrow n = \left[ {\overrightarrow u ,\overrightarrow v } \right] = \left( {\left| {\begin{array}{cccccccccccccccccccc}b&c\\{b'}&{c'}\end{array}} \right|;\left| {\begin{array}{cccccccccccccccccccc}c&a\\{c'}&{a'}\end{array}} \right|;\left| {\begin{array}{cccccccccccccccccccc}a&b\\{a'}&{b'}\end{array}} \right|} \right) = \left( {bc' - b'c;ca' - c'a;ab' - a'b} \right)$ làm một vectơ pháp tuyến.

b) Mặt phẳng (α) đi qua điểm M(x$_{0}$; y$_{0}$; z$_{0}$) và nhận vectơ $\overrightarrow n$ làm vectơ pháp tuyến có dạng: (bc' – b'c)(x – x$_{0}$) + (ca' – c'a)(y – y$_{0}$) + (ab' – a'b)(z – z$_{0}$) = 0.

Vì mặt phẳng (α) song song với trục Oy và đường thẳng BC nên nhận $\overrightarrow j = \left( {0;1;0} \right)$ và $\overrightarrow {BC} = \left( { - 2;2; - 1} \right)$ làm cặp vectơ chỉ phương nên có vectơ pháp tuyến là:

$\overrightarrow n = \left[ {\overrightarrow j ,\overrightarrow {BC} } \right] = \left( {\left| {\begin{array}{cccccccccccccccccccc}1&0\\2&{ - 1}\end{array}} \right|;\left| {\begin{array}{cccccccccccccccccccc}0&0\\{ - 1}&{ - 2}\end{array}} \right|;\left| {\begin{array}{cccccccccccccccccccc}0&1\\{ - 2}&2\end{array}} \right|} \right)$ $= \left( { - 1;0;2} \right)$.

Phương trình mặt phẳng (α) đi qua điểm A(1; −2; −1) và nhận $\overrightarrow n = \left( { - 1;0;2} \right)$ làm một vectơ pháp tuyến có dạng: $- \left( {x - 1} \right) + 2\left( {z + 1} \right) = 0$ hay x – 2z – 3 = 0.

a) Mặt phẳng (ABC) nhận $\overrightarrow {AB} = \left( { - 2;1;1} \right)$ và $\overrightarrow {AC} = \left( {1; - 3; - 1} \right)$ làm cặp vectơ chỉ phương.

b) Mặt phẳng (ABC) nhận $\overrightarrow n = \left[ {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AC} } \right] = \left( {\left| {\begin{array}{cccccccccccccccccccc}1&1\\{ - 3}&{ - 1}\end{array}} \right|;\left| {\begin{array}{cccccccccccccccccccc}1&{ - 2}\\{ - 1}&1\end{array}} \right|;\left| {\begin{array}{cccccccccccccccccccc}{ - 2}&1\\1&{ - 3}\end{array}} \right|} \right) = \left( {2; - 1;5} \right)$.

Phương trình mặt phẳng (ABC) qua A(1; 2; 3) và nhận $\overrightarrow n = \left( {2; - 1;5} \right)$ làm một vectơ pháp tuyến có dạng: 2(x – 1) – (y – 2) + 5(z – 3) = 0 hay 2x – y + 5z – 15 = 0.

Mặt phẳng (α) nhận $\overrightarrow {AB} = \left( { - a;b;0} \right)$ và $\overrightarrow {AC} = \left( { - a;0;c} \right)$ làm một cặp vectơ chỉ phương. Do đó mặt phẳng (α) nhận $\overrightarrow n = \left[ {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AC} } \right] = \left( {\left| {\begin{array}{cccccccccccccccccccc}b&0\\0&c\end{array}} \right|;\left| {\begin{array}{cccccccccccccccccccc}0&{ - a}\\c&{ - a}\end{array}} \right|;\left| {\begin{array}{cccccccccccccccccccc}{ - a}&b\\{ - a}&0\end{array}} \right|} \right) = \left( {bc;ca;ba} \right)$làm một vectơ pháp tuyến.

Khi đó phương trình mặt phẳng (α) đi qua điểm A(a; 0; 0) và nhận $\overrightarrow n = \left( {bc;ca;ba} \right)$làm vectơ pháp tuyến có dạng: bc(x – a) + cay + baz = 0 Û bcx + cay + baz = abc

$\Leftrightarrow \frac{{bcx}}{{abc}} + \frac{{cay}}{{abc}} + \frac{{baz}}{{abc}} = 1$$\Leftrightarrow \frac{x}{a} + \frac{y}{b} + \frac{z}{c} = 1$.

a) Thời điểm t = 0, vật ở vị trí M$_{1}$(1; 1; 1).

Thời điểm $t = \frac{\pi }{2}$, vật ở vị trí M$_{2}$(−1; 1; 0).

Thời điểm t = π, vật ở vị trí M$_{3}$(−1; −1; −1).

b) Có $\overrightarrow {{M_1}{M_2}} = \left( { - 2;0; - 1} \right)$ và $\overrightarrow {{M_1}{M_3}} = \left( { - 2; - 2; - 2} \right)$ không cùng phương nên ba điểm M$_{1}$, M$_{2}$, M$_{3}$ không thẳng hàng.

Mặt phẳng (M$_{1}$M$_{2}$M$_{3}$) có $\overrightarrow {{M_1}{M_2}} = \left( { - 2;0; - 1} \right)$ và $\overrightarrow {{M_1}{M_3}} = \left( { - 2; - 2; - 2} \right)$ là cặp vectơ chỉ phương nên có vectơ pháp tuyến

$\overrightarrow n = \left[ {\overrightarrow {{M_1}{M_2}} ,\overrightarrow {{M_1}{M_3}} } \right] = \left( {\left| {\begin{array}{cccccccccccccccccccc}0&{ - 1}\\{ - 2}&{ - 2}\end{array}} \right|;\left| {\begin{array}{cccccccccccccccccccc}{ - 1}&{ - 2}\\{ - 2}&{ - 2}\end{array}} \right|;\left| {\begin{array}{cccccccccccccccccccc}{ - 2}&0\\{ - 2}&{ - 2}\end{array}} \right|} \right) = \left( { - 2; - 2;4} \right)$.

Mặt phẳng (M$_{1}$M$_{2}$M$_{3}$) đi qua M$_{1}$(1; 1; 1) và có vectơ pháp tuyến $\overrightarrow n = \left( { - 2; - 2;4} \right)$ có phương trình là: −2(x – 1) – 2(y – 1) + 4(z – 1) = 0 hay 2x + 2y – 4z = 0.

c) Ta có 2(cost – sint) + 2(cost + sint) – 4 cost = 0 nên vị trí M(cost – sint; cost + sint; cost) luôn thuộc mặt phẳng (M$_{1}$M$_{2}$M$_{3}$).

Do đó vị trí M(cost – sint; cost + sint; cost) luôn thuộc mặt phẳng 2x + 2y – 4z = 0.

a) Vì $\overrightarrow n ,\overrightarrow {n'}$ lần lượt là vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (α) và (β) nên giá của $\overrightarrow n ,\overrightarrow {n'}$ lần lượt vuông góc với mặt phẳng (α) và (β).

Do đó góc giữa hai mặt phẳng (α), (β) bằng góc giữa hai giá của $\overrightarrow n ,\overrightarrow {n'}$.

b) Hai mặt phẳng (α) và (β) vuông góc với nhau khi và chỉ khi hai vectơ pháp tuyến tương ứng $\overrightarrow n ,\overrightarrow {n'}$ vuông góc với nhau.

Hai mặt phẳng (α), (β) có vectơ pháp tuyến tương ứng là $\overrightarrow n = \left( {3;1; - 1} \right)$, $\overrightarrow {n'} = \left( {9;3; - 3} \right)$.

Ta có $\overrightarrow n .\overrightarrow {n'} = 3.9 + 3.1 + \left( { - 1} \right).\left( { - 3} \right) = 33 \ne 0$.

Do đó hai mặt phẳng (α), (β) không vuông góc với nhau.

a) Ta có $\overrightarrow {AB} = \left( {0;3;0} \right),\overrightarrow {BC} = \left( { - 2;2\sqrt 2 - 3;0} \right)$

Sàn nhà nằm trong mặt phẳng Oxy có một vectơ pháp tuyến là $\overrightarrow k = \left( {0;0;1} \right)$.

Suy ra mặt phẳng Oxy: z = 0.

Mặt phẳng bức tường (P) chứa 2 điểm O, A chính là mặt phẳng Oxz: y = 0.

Mặt phẳng bức tường (Q) chứa 2 điểm O, C chính là mặt phẳng Oyz: x = 0.

Mặt phẳng bức tường (α) chứa 2 điểm A, B có vectơ pháp tuyến là $\overrightarrow n = \left[ {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow k } \right] = \left( {3;0;0} \right)$ có phương trình là: 3(x – 2) = 0 hay x – 2 = 0.

Mặt phẳng bức tường (β) chứa 2 điểm B, C có vectơ pháp tuyến

$\overrightarrow {n'} = \left[ {\overrightarrow {BC} ,\overrightarrow k } \right] = \left( {\left| {\begin{array}{cccccccccccccccccccc}{2\sqrt 2 - 3}&0\\0&1\end{array}} \right|;\left| {\begin{array}{cccccccccccccccccccc}0&{ - 2}\\1&0\end{array}} \right|;\left| {\begin{array}{cccccccccccccccccccc}{ - 2}&{2\sqrt 2 }\\0&0\end{array}} \right|} \right) = \left( {2\sqrt 2 - 3;2;0} \right)$ có phương trình là:

$\left( {2\sqrt 2 - 3} \right)x + 2\left( {y - 2\sqrt 2 } \right) = 0$ hay $\left( {2\sqrt 2 - 3} \right)x + 2y - 4\sqrt 2 = 0$.

b) Có bức tường (P) vuông góc với bức tường (Q).

Bức tường (P) vuông góc với bức tường (α).

Hai mặt phẳng (α) và (β) song song hoặc trùng nhau khi và chỉ khi các vectơ pháp tuyến $\overrightarrow n ,\overrightarrow {n'}$ cùng phương. Tức là $\overrightarrow n = k\overrightarrow {n'}$.

Nếu D = kD' thì ta có mặt phẳng (α) và (β) trùng nhau.

Nếu D ≠ kD' thì ta có mặt phẳng (α) và (β) song song.

Vậy suy ra:

$\left( \alpha \right)//\left( \beta \right) \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\overrightarrow n = k\overrightarrow {n'} \\D \ne kD'\end{array} \right.$.

$\left( \alpha \right) \equiv \left( \beta \right) \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\overrightarrow n = k\overrightarrow {n'} \\D = kD'\end{array} \right.$.

a) Ta có $\overrightarrow {{n_\alpha }} = \left( {5;2; - 4} \right),\overrightarrow {{n_\beta }} = \left( {10;4; - 2} \right)$ không cùng phương nên (α) và (β) không song song với nhau.

b) Ta có 5.1 + 2.(−3) – 4.5 + 6 = −15 ≠ 0. Do đó điểm M(1; −3; 5) không thuộc mặt phẳng (α).

Ta có 10.1 + 4.(−3) – 2.5 +12 = 0. Do đó điểm M(1; −3; 5) thuộc mặt phẳng (β).

c) Vì (P) // (α) nên mặt phẳng (P) nhận $\overrightarrow {{n_\alpha }} = \left( {5;2; - 4} \right)$ làm một vectơ pháp tuyến.

Mặt phẳng (P) đi qua M(1; −3; 5), có vectơ pháp tuyến $\overrightarrow {{n_\alpha }} = \left( {5;2; - 4} \right)$ có phương trình là: 5(x – 1) + 2(y + 3) – 4(z – 5) = 0 hay 5x + 2y – 4z + 21 = 0.

a) Giả sử một thí sinh có số điểm Toán, Văn, Tiếng Anh lần lượt là x; y; z.

Tổng điểm của thí sinh này là: x + y + z = 27.

Điều này có nghĩa là điểm (x; y; z) thỏa mãn phương trình:

x + y + z = 27 hay x + y + z – 27 = 0.

Do đó tất cả các điểm (x; y; z) biểu diễn tương ứng với các thí sinh có tổng số điểm ba môn thi bằng 27 (nếu có) cùng thuộc mặt phẳng có phương trình x + y + z – 27 = 0.

b) Giả sử S là tổng điểm thi của một thí sinh. Khi đó phương trình biểu diễn các điểm có tổng số điểm thi bằng S là: x + y + z = S hay x + y + z – S = 0.

Các mặt phẳng có phương trình dạng: x + y + z – S = 0 với S là tổng số điểm thi của các thí sinh là các mặt phẳng song song với nhau vì chúng có cùng vectơ pháp tuyến là (1; 1; 1).

Do đó, tất cả các điểm (x; y; z) biểu diễn kết quả của các thí sinh có tổng số điểm thi bằng nhau cùng thuộc một mặt phẳng trong số các mặt phẳng song song này.

a) Vì N là hình chiếu vuông góc của M trên (P) nên $MN \bot (P)$.

Do đó $\overrightarrow {MN}$ sẽ cùng phương với vectơ pháp tuyến $\overrightarrow n$.

Vậy tồn tại một số k sao cho $\overrightarrow {MN} = k\overrightarrow n$.

Giả sử N(x$_{1}$; y$_{1}$; z$_{1}$). Suy ra $\overrightarrow {MN} = \left( {{x_1} - {x_0};{y_1} - {y_0};{z_1} - {z_0}} \right)$.

Vì $\overrightarrow {MN} = k\overrightarrow n$ nên $\left\{ \begin{array}{l}{x_1} - {x_0} = kA\\{y_1} - {y_0} = kB\\{z_1} - {z_0} = kC\end{array} \right.$$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x_1} = {x_0} + kA\\{y_1} = {y_0} + kB\\{z_1} = {z_0} + kC\end{array} \right.$.

b) Thay tọa độ điểm N vào (P), ta được

A(x$_{0}$ + kA) + B(y$_{0}$ + kB) + C(z$_{0}$ + kC) + D = 0

Û k(A$^{2}$ + B$^{2}$ + C$^{2}$) + Ax$_{0}$ + By$_{0}$ + Cz$_{0}$ + D = 0

$\Leftrightarrow k = \frac{{ - A{x_0} - B{y_0} - C{z_0} - D}}{{{A^2} + {B^2} + {C^2}}}$.

c) Ta có $\left| {\overrightarrow {MN} } \right| = \left| k \right|\left| {\overrightarrow n } \right|$ $\Leftrightarrow \left| {\overrightarrow {MN} } \right| = \left| k \right|\sqrt {{A^2} + {B^2} + {C^2}}$

Mà $k = \frac{{ - A{x_0} - B{y_0} - C{z_0} - D}}{{{A^2} + {B^2} + {C^2}}}$ nên $MN = \left| {\frac{{ - A{x_0} - B{y_0} - C{z_0} - D}}{{{A^2} + {B^2} + {C^2}}}} \right|\sqrt {{A^2} + {B^2} + {C^2}}$

$\Leftrightarrow MN = \frac{{\left| {A{x_0} + B{y_0} + C{z_0} + D} \right|}}{{\sqrt {{A^2} + {B^2} + {C^2}} }}$.

Do đó khoảng cách từ điểm M đến mặt phẳng (P) là $d = \frac{{\left| {A{x_0} + B{y_0} + C{z_0} + D} \right|}}{{\sqrt {{A^2} + {B^2} + {C^2}} }}$.

a) Ta có $\overrightarrow {{n_P}} = \left( {1;3;1} \right),\overrightarrow {{n_Q}} = \left( {1;3;1} \right)$.

Vì $\overrightarrow {{n_P}} = \overrightarrow {{n_Q}}$ và 2 ≠ 5. Do đó (P) và (Q) song song với nhau.

b) Lấy điểm M(0; 0; −2) ∈ (P).

Khi đó khoảng cách từ M đến mặt phẳng (Q) là:

$d\left( {M,\left( Q \right)} \right) = \frac{{\left| { - 2 + 5} \right|}}{{\sqrt {1 + {3^2} + 1} }} = \frac{3}{{\sqrt {11} }}$.

Do đó $d\left( {M,\left( Q \right)} \right) = d\left( {\left( P \right),\left( Q \right)} \right) = \frac{3}{{\sqrt {11} }}$.

Chọn các điểm như hình vẽ.

Gọi A là hình chiếu của C trên mặt phẳng (P).

Vì CBD là tam giác cân nên CA là đường cao, phân giác, trung tuyến của BD.

Ta có $CA = d\left( {C,\left( P \right)} \right) = \frac{{\left| {1 + 2.2 + 2.4 + 3} \right|}}{{\sqrt {1 + {2^2} + {2^2}} }} = \frac{{16}}{3}$.

Vì tam giác CAB vuông tại A, có $\widehat {ACB} = \frac{{115^\circ }}{2} = 57{,}5^\circ$.

Suy ra R = AB = CA.tan57,5° ≈ 8,4.

Vậy vùng quan sát được trên mặt phẳng (P) của camera là hình tròn có bán kính bằng 8,4.

Gọi mặt phẳng cần tìm là mặt phẳng (P).

Vì mặt phẳng (P) vuông góc với trục Ox nên nhận $\overrightarrow i = \left( {1;0;0} \right)$ làm một vectơ pháp tuyến.

Mặt phẳng (P) đi qua điểm M(1; 2; −1) và nhận $\overrightarrow i = \left( {1;0;0} \right)$ làm một vectơ pháp tuyến có phương trình là: x – 1 = 0.

a) Ta có $\overrightarrow {AD} = \left( {1;0; - 2} \right),\overrightarrow {AA'} = \left( { - 1;2; - 1} \right),\overrightarrow {AB} = \left( { - 1;3;1} \right)$.

Vì ABCD là hình bình hành nên $\overrightarrow {AD} = \overrightarrow {BC}$$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x_C} = 1\\{y_C} - 2 = 0\\{z_C} - 4 = - 2\end{array} \right.$$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x_C} = 1\\{y_C} = 2\\{z_C} = 2\end{array} \right.$.

Vậy C(1; 2; 2).

Vì ABB'A' là hình bình hành nên $\overrightarrow {AA'} = \overrightarrow {BB'}$$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x_{B'}} = - 1\\{y_{B'}} - 2 = 2\\{z_{C'}} - 4 = - 1\end{array} \right.$$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x_{B'}} = - 1\\{y_{B'}} = 4\\{z_{C'}} = 3\end{array} \right.$.

Vậy B'(−1; 4; 3).

Vì ADD'A' là hình bình hành nên $\overrightarrow {AD} = \overrightarrow {A'D'}$$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x_{D'}} = 1\\{y_{D'}} - 1 = 0\\{z_{D'}} - 2 = - 2\end{array} \right.$$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x_{D'}} = 1\\{y_{D'}} = 1\\{z_{D'}} = 0\end{array} \right.$.

Vậy D'(1; 1; 0).

b) Ta có: $\overrightarrow {CB'} = \left( { - 2;2;1} \right),\overrightarrow {CD'} = \left( {0; - 1; - 2} \right)$.

Vì mặt phẳng (CB'D') có cặp vectơ chỉ phương là $\overrightarrow {CB'} ,\overrightarrow {CD'}$ nên có một vectơ pháp tuyến là:

$\overrightarrow n = \left[ {\overrightarrow {CB'} ,\overrightarrow {CD'} } \right] = \left( {\left| {\begin{array}{cccccccccccccccccccc}2&1\\{ - 1}&{ - 2}\end{array}} \right|;\left| {\begin{array}{cccccccccccccccccccc}1&{ - 2}\\{ - 2}&0\end{array}} \right|;\left| {\begin{array}{cccccccccccccccccccc}{ - 2}&2\\0&{ - 1}\end{array}} \right|} \right)$ = (−3; −4; 2).

Mặt phẳng (CB'D') đi qua điểm C(1; 2; 2) và nhận $\overrightarrow n = \left( { - 3; - 4;2} \right)$ là một vectơ pháp tuyến có phương trình là:

−3(x – 1) −4(y – 2) + 2(z −2) = 0 Û 3x + 4y – 2z – 7 = 0.

Ta có $\overrightarrow {{n_Q}} = \left( {3;2; - 1} \right),\overrightarrow {{n_R}} = \left( {1;1; - 1} \right)$.

Vì (P) ^ (Q) và (P) ^ (R) nên $\overrightarrow {{n_P}} = \left[ {\overrightarrow {{n_Q}} ,\overrightarrow {{n_R}} } \right] = \left( { - 1;2;1} \right)$.

Mặt phẳng (P) đi qua điểm M(1; −1; 5) và nhận $\overrightarrow {{n_P}} = \left( { - 1;2;1} \right)$ làm một vectơ pháp tuyến có phương trình là:

−(x – 1) + 2(y + 1) + (z – 5) = 0 Û x – 2y – z + 2 = 0.

Gọi mặt phẳng cần tìm là mặt phẳng (P).

Ta có $\overrightarrow i = \left( {1;0;0} \right)$ và $\overrightarrow {{n_Q}} = \left( {1;2; - 3} \right)$.

Vì (P) // Ox và (P) ^ (Q) nên $\overrightarrow {{n_P}} = \left[ {\overrightarrow i ,\overrightarrow {{n_Q}} } \right] = \left( {0;3;2} \right)$.

Mặt phẳng đi qua M(2; 3; −1) và nhận $\overrightarrow {{n_P}} = \left( {0;3;2} \right)$ làm một vectơ pháp tuyến có phương trình là: 3(y – 3) + 2(z + 1) = 0 Û 3y + 2z – 7 = 0.

Ta có O(0; 0; 0).

Ta có $d\left( {O,\left( P \right)} \right) = \frac{{\left| 1 \right|}}{{\sqrt {{2^2} + {2^2} + {{\left( { - 1} \right)}^2}} }} = \frac{1}{3}$.

Vì $\overrightarrow {{n_P}} = \overrightarrow {{n_Q}} = \left( {1;1;1} \right)$ và 2 ≠ 6 nên (P) // (Q).

Lấy M(0; 0; −2) ∈ (P).

Khi đó $d\left( {M,\left( Q \right)} \right) = d\left( {\left( P \right),\left( Q \right)} \right) = \frac{{\left| { - 2 + 6} \right|}}{{\sqrt {1 + 1 + 1} }} = \frac{4}{{\sqrt 3 }}$.

a) Ta có $\overrightarrow {{n_P}} = \left( {1;3; - 1} \right),\overrightarrow {{n_Q}} = \left( {1; - 1; - 2} \right)$.

Vì $\overrightarrow {{n_P}} .\overrightarrow {{n_Q}} = 1.1 + 3.\left( { - 1} \right) + \left( { - 1} \right).\left( { - 2} \right) = 0$.

Do đó hai mặt phẳng (P) và (Q) vuông góc với nhau.

b) Vì M Î Ox nên M(a; 0; 0).

Vì d(M, (P)) = d(M, (Q)) nên $\frac{{\left| a \right|}}{{\sqrt {1 + 9 + 1} }} = \frac{{\left| {a + 1} \right|}}{{\sqrt {1 + 1 + 4} }}$$\Leftrightarrow \sqrt 6 \left| a \right| = \sqrt {11} \left| {a + 1} \right|$

$\Leftrightarrow 6{a^2} = 11{a^2} + 22a + 11$$\Leftrightarrow 5{a^2} + 22a + 11 = 0$$\Leftrightarrow a = \frac{{ - 11 - \sqrt {66} }}{5}$ hoặc $a = \frac{{ - 11 + \sqrt {66} }}{5}$.

Vậy có hai điểm M thỏa mãn yêu cầu là:

${M_1}\left( {\frac{{ - 11 - \sqrt {66} }}{5};0;0} \right),{M_2}\left( {\frac{{ - 11 + \sqrt {66} }}{5};0;0} \right)$.

Giả sử mái nhà của ngôi nhà được minh họa như hình vẽ trên.

Ta gắn hệ trục tọa độ như hình vẽ.

Gọi các cạnh đáy của hình chóp có độ dài là a, các cạnh bên có độ dài là b.

Vì ABCD là hình vuông cạnh a nên $OA = OB = OC = OD = \frac{{AC}}{2} = \frac{{a\sqrt 2 }}{2}$.

Vì SO là đường cao của tam giác SOC nên $SO = \sqrt {S{C^2} - O{C^2}} = \sqrt {{b^2} - \frac{{{a^2}}}{2}} = \sqrt {\frac{{2{b^2} - {a^2}}}{2}} .$

Khi đó, ta có: O(0; 0; 0), $A\left( { - \frac{{a\sqrt 2 }}{2};0;0} \right),C\left( {\frac{{a\sqrt 2 }}{2};0;0} \right),B\left( {0; - \frac{{a\sqrt 2 }}{2};0} \right),D\left( {0;\frac{{a\sqrt 2 }}{2};0} \right)$ và $S\left( {0;0;\sqrt {\frac{{2{b^2} - {a^2}}}{2}} } \right)$.

Ta có $\overrightarrow {SC} = \left( {\frac{{a\sqrt 2 }}{2};0; - \sqrt {\frac{{2{b^2} - {a^2}}}{2}} } \right)$, $\overrightarrow {DC} = \left( {\frac{{a\sqrt 2 }}{2}; - \frac{{a\sqrt 2 }}{2};0} \right)$, $\overrightarrow {BC} = \left( {\frac{{a\sqrt 2 }}{2};\frac{{a\sqrt 2 }}{2};0} \right)$.

Có $\left[ {\overrightarrow {SC} ,\frac{{\sqrt 2 }}{a}\overrightarrow {DC} } \right] = \left( {\left| {\begin{array}{cccccccccccccccccccc}0&{ - \sqrt {\frac{{2{b^2} - {a^2}}}{2}} }\\{ - 1}&0\end{array}} \right|;\left| {\begin{array}{cccccccccccccccccccc}{ - \sqrt {\frac{{2{b^2} - {a^2}}}{2}} }&{\frac{{a\sqrt 2 }}{2}}\\0&1\end{array}} \right|;\left| {\begin{array}{cccccccccccccccccccc}{\frac{{a\sqrt 2 }}{2}}&0\\1&{ - 1}\end{array}} \right|} \right)$

$= \left( { - \sqrt {\frac{{2{b^2} - {a^2}}}{2}} ; - \sqrt {\frac{{2{b^2} - {a^2}}}{2}} ; - \frac{{a\sqrt 2 }}{2}} \right)$.

$\left[ {\overrightarrow {SC} ,\frac{{\sqrt 2 }}{a}\overrightarrow {BC} } \right] = \left( {\left| {\begin{array}{cccccccccccccccccccc}0&{ - \sqrt {\frac{{2{b^2} - {a^2}}}{2}} }\\1&0\end{array}} \right|;\left| {\begin{array}{cccccccccccccccccccc}{ - \sqrt {\frac{{2{b^2} - {a^2}}}{2}} }&{\frac{{a\sqrt 2 }}{2}}\\0&1\end{array}} \right|;\left| {\begin{array}{cccccccccccccccccccc}{\frac{{a\sqrt 2 }}{2}}&0\\1&1\end{array}} \right|} \right)$

$= \left( {\sqrt {\frac{{2{b^2} - {a^2}}}{2}} ; - \sqrt {\frac{{2{b^2} - {a^2}}}{2}} ;\frac{{a\sqrt 2 }}{2}} \right)$.

Ta có mặt phẳng (SCD) nhận $\overrightarrow {{n_1}} = \left[ {\overrightarrow {SC} ,\frac{{\sqrt 2 }}{a}\overrightarrow {DC} } \right]$ làm một vectơ pháp tuyến.

Mặt phẳng (SCB) nhận $\overrightarrow {{n_2}} = \left[ {\overrightarrow {SC} ,\frac{{\sqrt 2 }}{a}\overrightarrow {BC} } \right]$ làm một vectơ pháp tuyến.

Vì $\overrightarrow {{n_1}} .\overrightarrow {{n_2}} = - \left( {\frac{{2{b^2} - {a^2}}}{2}} \right) + \left( {\frac{{2{b^2} - {a^2}}}{2}} \right) - \frac{{{a^2}}}{2} = - \frac{{{a^2}}}{2} \ne 0$.

Do đó hai mặt phẳng (SCD) và (SCB) không vuông góc với nhau.

Do đó ý tưởng trên không thực hiện được.

Vì mặt phẳng Oxy vuông góc với Oz nên mặt phẳng Oxy nhận $\overrightarrow k = \left( {0;0;1} \right)$ làm một vectơ pháp tuyến.

Vì mặt phẳng Oxy đi qua điểm O(0; 0; 0) và có vectơ pháp tuyến $\overrightarrow k = \left( {0;0;1} \right)$ nên có phương trình là: z – 0 = 0 hay z = 0.

Mặt phẳng z – 1 = 0 có $\overrightarrow {{n_1}} = \left( {0;0;1} \right)$.

Vì $\overrightarrow {{n_1}} = \overrightarrow k$ và 0 ≠ −1 nên mặt phẳng chứa sàn nhà song song với trần tầng 1.

Vì các thanh gỗ AB và PQ luôn có phương nằm ngang và vectơ lực $\overrightarrow F$ có giá song song với AB nên giá của vectơ $\overrightarrow {OP}$ và $\overrightarrow F$ có phương nằm ngang.

Mặt khác $\overrightarrow M = \left[ {\overrightarrow {OP} ,\overrightarrow F } \right]$ nên moment lực $\overrightarrow M$ vuông góc với hai vectơ $\overrightarrow {OP}$ và $\overrightarrow F$.

Do đó giá của vectơ moment lực $\overrightarrow M$ có phương thẳng đứng.