Giải SGK Toán 12 Bài 13. Ứng dụng hình học của tích phân

a)

Gọi A(−2; 0), C(−1; 0), D(1; 0) và B, E lần lượt là giao điểm của đường thẳng x = −2, x = 1 với đường thẳng y = x + 1.

Do đó B(−2; −1), E(1; 2).

Khi đó S = S$_{∆ABC}$ + S$_{∆CDE}$ = $\frac{1}{2}AB.AC + \frac{1}{2}CD.DE$$= \frac{1}{2}.1.1 + \frac{1}{2}.2.2 = \frac{5}{2}$.

b) $\int\limits_{ - 2}^1 {\left| {f\left( x \right)} \right|} dx$$= \int\limits_{ - 2}^1 {\left| {x + 1} \right|} dx$$= \int\limits_{ - 2}^{ - 1} {\left| {x + 1} \right|} dx + \int\limits_{ - 1}^1 {\left| {x + 1} \right|} dx$$= - \int\limits_{ - 2}^{ - 1} {\left( {x + 1} \right)} dx + \int\limits_{ - 1}^1 {\left( {x + 1} \right)} dx$

$= - \left. {\left( {\frac{{{x^2}}}{2} + x} \right)} \right|_{ - 2}^{ - 1} + \left. {\left( {\frac{{{x^2}}}{2} + x} \right)} \right|_{ - 1}^1$$= \frac{1}{2} + \frac{3}{2} + \frac{1}{2} = \frac{5}{2}$.

Vậy $S = \int\limits_{ - 2}^1 {\left| {f\left( x \right)} \right|} dx$.

Diện tích hình phẳng cần tính là:

$\int\limits_0^3 {\left| {{x^2} - 4} \right|} dx$$= \int\limits_0^2 {\left| {{x^2} - 4} \right|} dx + \int\limits_2^3 {\left| {{x^2} - 4} \right|} dx$$= \int\limits_0^2 {\left( {4 - {x^2}} \right)} dx + \int\limits_2^3 {\left( {{x^2} - 4} \right)} dx$

$= \left. {\left( {4x - \frac{{{x^3}}}{3}} \right)} \right|_0^2 + \left. {\left( {\frac{{{x^3}}}{3} - 4x} \right)} \right|_2^3$$= \frac{{16}}{3} - 3 + \frac{{16}}{3} = \frac{{23}}{3}$.

a) Ta có ${S_1} = \int\limits_1^3 {\left| { - {x^2} + 4x} \right|dx}$$= \int\limits_1^3 {\left( { - {x^2} + 4x} \right)dx}$$= \left. {\left( { - \frac{{{x^3}}}{3} + 2{x^2}} \right)} \right|_1^3$$= 9 - \frac{5}{3} = \frac{{22}}{3}$.

${S_2} = \int\limits_1^3 {\left| x \right|} dx$$= \int\limits_1^3 x dx$$= \left. {\frac{{{x^2}}}{2}} \right|_1^3 = \frac{9}{2} - \frac{1}{2} = 4$.

Do đó S = S$_{1}$ – S$_{2}$ = $\frac{{22}}{3} - 4 = \frac{{10}}{3}$.

b) $\int\limits_1^3 {\left| {f\left( x \right) - g\left( x \right)} \right|} dx$$= \int\limits_1^3 {\left| { - {x^2} + 4x - x} \right|} dx$$= \int\limits_1^3 {\left| { - {x^2} + 3x} \right|} dx$$= \int\limits_1^3 {\left( { - {x^2} + 3x} \right)} dx$

$= \left. {\left( { - \frac{{{x^3}}}{3} + 3.\frac{{{x^2}}}{2}} \right)} \right|_1^3$$= \frac{9}{2} - \frac{7}{6} = \frac{{10}}{3}$.

Vậy $S = \int\limits_1^3 {\left| {f\left( x \right) - g\left( x \right)} \right|} dx$.

Diện tích hình phẳng cần tính là:

$S = \int\limits_1^4 {\left| {\sqrt x - x + 2} \right|dx}$$= \int\limits_1^4 {\left( {\sqrt x - x + 2} \right)dx}$$= \left. {\left( {\frac{2}{3}{x^{\frac{3}{2}}} - \frac{{{x^2}}}{2} + 2x} \right)} \right|_1^4$$= \frac{{16}}{3} - \frac{{13}}{6} = \frac{{19}}{6}$.

Hoành độ điểm cân bằng là nghiệm của phương trình:

−0,36x + 9 = 0,14x + 2 Û x = 14.

Tọa độ điểm cân bằng là (14; 3,96).

Thặng dư tiêu dùng là:

${S_1} = \int\limits_0^{14} {\left| { - 0{,}36x + 9 - 3{,}96} \right|} dx$$= \int\limits_0^{14} {\left| { - 0{,}36x + 5{,}04} \right|} dx$$= \int\limits_0^{14} {\left( { - 0{,}36x + 5{,}04} \right)} dx$

$= \left. {\left( { - 0{,}18{x^2} + 5{,}04x} \right)} \right|_0^{14} = 35{,}28$.

Thặng dư sản xuất là:

${S_2} = \int\limits_0^{14} {\left| {3{,}96 - 0{,}14x - 2} \right|} dx$$= \int\limits_0^{14} {\left| {1{,}96 - 0{,}14x} \right|} dx$$= \int\limits_0^{14} {\left( {1{,}96 - 0{,}14x} \right)} dx$

$= \left. {\left( {1{,}96x - 0{,}07{x^2}} \right)} \right|_0^{14}$$= 13{,}72$.

a) Độ dài chiều cao hình trụ là: h = b – a.

Thể tích của hình trụ là: V = πR$^{2}$h = πR$^{2}$(b – a).

b) Diện tích mặt cắt S(x) khi cắt hình trụ bởi mặt phẳng vuông góc với trục Ox là

S(x) = πR$^{2}$.

Ta có $\int\limits_a^b {S\left( x \right)} dx$$= \int\limits_a^b {\pi {R^2}} dx$$= \left. {\left( {\pi {R^2}x} \right)} \right|_a^b$$= \pi {R^2}\left( {b - a} \right)$.

Vậy $V = \int\limits_a^b {S\left( x \right)} dx$.

Chọn hệ trục tọa độ Oxyz như hình vẽ.

Gọi a, b lần lượt là khoảng cách từ O đến đáy nhỏ và đáy lớn của hình chóp. Khi đó chiều cao của hình chóp cụt là h = b – a.

Thiết diện của khối chóp cụt khi cắt bởi mặt phẳng vuông góc với trục Ox tại điểm có hoành độ là x (a ≤ x ≤ b) là một đa giác đều đồng dạng với đáy lớn của hình chóp cụt theo tỉ số đồng dạng là $\frac{x}{b}$.

Khi đó $\frac{{S\left( x \right)}}{{{S_1}}} = \frac{{{x^2}}}{{{b^2}}} \Rightarrow S\left( x \right) = \frac{{{x^2}}}{{{b^2}}}.{S_1}$.

Do đó thể tích khối chóp cụt đều là:

$V = \int\limits_a^b {S\left( x \right)} dx = \int\limits_a^b {\frac{{{x^2}}}{{{b^2}}}{S_1}} dx = \left. {\frac{{{S_1}}}{{{b^2}}}.\frac{{{x^3}}}{3}} \right|_a^b$$= \frac{{{S_1}}}{{3{b^2}}}\left( {{b^3} - {a^3}} \right)$

$= \frac{{b - a}}{{3{b^2}}}.\left( {{S_1}{b^2} + {S_1}ab + {S_1}{a^2}} \right)$$= \frac{h}{3}.\left[ {{S_1} + {S_1}\frac{a}{b} + {S_1}{{\left( {\frac{a}{b}} \right)}^2}} \right]$.

Vì $\frac{{{S_0}}}{{{S_1}}} = {\left( {\frac{a}{b}} \right)^2} \Rightarrow {S_0} = {S_1}.{\left( {\frac{a}{b}} \right)^2}$; ${S_0}{S_1} = S_1^2.{\left( {\frac{a}{b}} \right)^2}$$\Rightarrow \sqrt {{S_0}{S_1}} = {S_1}.\frac{a}{b}$.

Do đó $V = \frac{h}{3}.\left[ {{S_1} + \sqrt {{S_1}.{S_0}} + {S_0}} \right]$.

Khối chóp đều được coi là khối chóp cụt đều khi S$_{0}$ = 0.

Do đó thể tích khối chóp đều là: $V = \frac{1}{3}.S.h$.

a) Ta có chiều cao của khối nón là h = 4, bán kính đáy của khối nón là R = 2.

Do đó thể tích của khối nón là$V = \frac{1}{3}\pi {R^2}h = \frac{1}{3}\pi {.2^2}.4 = \frac{{16\pi }}{3}$.

b)

Khi cắt khối nón bởi mặt phẳng vuông góc với trục hoành tại điểm có hoành độ bằng x (0 ≤ x ≤ 4) thì mặt cắt thu được là một hình tròn có bán kính là $f\left( x \right) = \frac{1}{2}x$.

Khi đó diện tích mặt cắt là $S\left( x \right) = \pi {f^2}\left( x \right) = \frac{\pi }{4}{x^2}$.

Ta có $\pi \int\limits_0^4 {{f^2}\left( x \right)} dx$$= \pi \int\limits_0^4 {\frac{{{x^2}}}{4}} dx$$= \frac{\pi }{4}\int\limits_0^4 {{x^2}} dx$$= \left. {\left( {\frac{\pi }{4}.\frac{{{x^3}}}{3}} \right)} \right|_0^4 = \frac{{16\pi }}{3}$.

Vậy $V = \pi \int\limits_0^4 {{f^2}\left( x \right)} dx$.

a) Chọn hệ trục như hình vẽ.

Khi đó ta có C(0; r), B(h; R). Suy ra $\overrightarrow {BC} = \left( {h;R - r} \right)$.

Phương trình đường thẳng BC qua C và nhận $\overrightarrow n = \left( {r - R;h} \right)$ có dạng:

(r – R)x + h(y − r) = 0 hay $y = \frac{{hr + \left( {R - r} \right)x}}{h}$.

Thể tích cần tính là:

$V = \pi {\int\limits_0^h {\left[ {\frac{{hr + \left( {R - r} \right)x}}{h}} \right]} ^2}dx$$= \pi \int\limits_0^h {\left[ {{r^2} + 2r.\frac{{R - r}}{h}x + {{\left( {\frac{{R - r}}{h}x} \right)}^2}} \right]} dx$

$= \pi \left. {\left( {{r^2}x + r.\frac{{R - r}}{h}.{x^2} + {{\left( {\frac{{R - r}}{h}} \right)}^2}.\frac{{{x^3}}}{3}} \right)} \right|_0^h$$= \pi \left[ {{r^2}h + \left( {Rr - {r^2}} \right).h + \frac{{{{\left( {R - r} \right)}^2}.h}}{3}} \right]$

$= \pi \left( {{r^2}h + Rrh - {r^2}h + \frac{1}{3}{R^2}h - \frac{2}{3}Rrh + \frac{1}{3}{r^2}h} \right)$$= \pi \left( {\frac{1}{3}{R^2}h + \frac{1}{3}Rrh + \frac{1}{3}{r^2}h} \right)$

$= \frac{1}{3}\pi h\left( {{R^2} + Rr + {r^2}} \right)$.

b) Khi r = 0 thì khối nón cụt trở thành khối nón có chiều cao h, bán kính đáy là R.

Do đó $V = \frac{1}{3}\pi {R^2}h$.

Diện tích cần tính là: $S = \int\limits_0^4 {\left| {5x - {x^2} - x} \right|} dx$$= \int\limits_0^4 {\left| {4x - {x^2}} \right|} dx$$= \int\limits_0^4 {\left( {4x - {x^2}} \right)} dx$

$= \left. {\left( {2{x^2} - \frac{{{x^3}}}{3}} \right)} \right|_0^4$$= \frac{{32}}{3}$.

a)

Diện tích cần tính là:

$S = \int\limits_{ - 1}^1 {\left| {{e^x} - {x^2} + 1} \right|dx}$$= \int\limits_{ - 1}^1 {\left( {{e^x} - {x^2} + 1} \right)dx}$$= \left. {\left( {{e^x} - \frac{{{x^3}}}{3} + x} \right)} \right|_{ - 1}^1$$= e + \frac{2}{3} - {e^{ - 1}} + \frac{2}{3}$$= \frac{{{e^2} - 1}}{e} + \frac{4}{3}$.

b) Diện tích cần tính là:

$S = \int\limits_{\frac{\pi }{2}}^\pi {\left| {\sin x - x} \right|} dx$$= \int\limits_{\frac{\pi }{2}}^\pi {\left( {x - \sin x} \right)} dx$$= \left. {\left( {\frac{{{x^2}}}{2} + \cos x} \right)} \right|_{\frac{\pi }{2}}^\pi$$= \frac{{{\pi ^2}}}{2} - 1 - \frac{{{\pi ^2}}}{8} = \frac{{3{\pi ^2}}}{8} - 1$.

c)

Diện tích cần tính là:

$S = \int\limits_{ - \sqrt 3 }^{\sqrt 3 } {\left| {9 - {x^2} - 2{x^2}} \right|} dx$$= \int\limits_{ - \sqrt 3 }^{\sqrt 3 } {\left| {9 - 3{x^2}} \right|} dx$$= \int\limits_{ - \sqrt 3 }^{\sqrt 3 } {\left( {9 - 3{x^2}} \right)} dx$

$= \left. {\left( {9x - {x^3}} \right)} \right|_{ - \sqrt 3 }^{\sqrt 3 }$$= 9\sqrt 3 - 3\sqrt 3 + 9\sqrt 3 - 3\sqrt 3$$= 12\sqrt 3$.

d)

Diện tích cần tính là:

$S = \int\limits_0^1 {\left| {\sqrt x - {x^2}} \right|dx}$$= \int\limits_0^1 {\left( {\sqrt x - {x^2}} \right)dx}$$= \left. {\left( {\frac{2}{3}{x^{\frac{3}{2}}} - \frac{{{x^3}}}{3}} \right)} \right|_0^1$$= \frac{1}{3}$.

Sự bất bình đẳng thu nhập của Hoa Kỳ vào năm 2005 là:

$S = \int\limits_0^{100} {\left| {{{\left( {0{,}00061{x^2} + 0{,}0218x + 1723} \right)}^2} - x} \right|dx}$

$= \int\limits_0^{100} {\left| {\left( {{{0{,}00061}^2}{x^4} + {{4{,}7524.10}^{ - 4}}{x^2} + {{1723}^2} + {{2{,}6596.10}^{ - 5}}{x^3} + 2{,}10206{x^2} + 75{,}1228x} \right) - x} \right|dx}$

$= \int\limits_0^{100} {\left| {\left( {{{0{,}00061}^2}{x^4} + {{2{,}6596.10}^{ - 5}}{x^3} + 2{,}10253524{x^2} + 74{,}1228x + {{1723}^2}} \right)} \right|dx}$

$= \int\limits_0^{100} {\left( {{{0{,}00061}^2}{x^4} + {{2{,}6596.10}^{ - 5}}{x^3} + 2{,}10253524{x^2} + 74{,}1228x + {{1723}^2}} \right)dx}$

$$= \left. {\left( {{{7{,}442.10}^{ - 8}}.{x^5} + {{6{,}649.10}^{ - 6}}.{x^4} + 0{,}70084508.{x^3} + 37{,}0614.{x^2} + {{1723}^2}.x} \right)} \right|_0^{100}$$

$$= {7{,}442.10^{ - 8}}{.100^5} + {6{,}649.10^{ - 6}}{.100^4} + {0{,}70084508.100^3} + {37{,}0614.100^2} + {1723^2}.100$$

= 297945768,2.

Thể tích cần tìm là:

$V = \pi \int\limits_0^2 {{{\left( {2x - {x^2}} \right)}^2}dx}$$= \pi \int\limits_0^2 {\left( {4{x^2} - 4{x^3} + {x^4}} \right)dx}$$= \pi \left. {\left( {\frac{4}{3}{x^3} - {x^4} + \frac{{{x^5}}}{5}} \right)} \right|_0^2$$= \frac{{16\pi }}{{15}}$.

Thể tích cần tìm là:

$V = \pi \int\limits_{R - h}^R {\left( {{R^2} - {x^2}} \right)dx}$$= \pi \left. {\left( {{R^2}x - \frac{{{x^3}}}{3}} \right)} \right|_{R - h}^R$

$= \pi \left( {{R^3} - \frac{{{R^3}}}{3} - {R^2}\left( {R - h} \right) + \frac{{{{\left( {R - h} \right)}^3}}}{3}} \right)$$= \pi \left( {{R^3} - \frac{{{R^3}}}{3} - {R^3} + {R^2}h + \frac{{{R^3}}}{3} - {R^2}h + R{h^2} - \frac{{{h^3}}}{3}} \right)$

$= \pi \left( {R{h^2} - \frac{{{h^3}}}{3}} \right)$$= \pi {h^2}\left( {R - \frac{h}{3}} \right)$.

a) Xét tam giác OAB vuông tại A, có AB = OA.tanα = a.tanα.

Khi quay miền tam giác OAB xung quanh trục Ox ta được khối nón có bán kính đáy r = AB = a.tanα và chiều cao h = OA = a.

Do đó $V = \frac{1}{3}\pi {r^2}h = \frac{1}{3}\pi {a^3}{\tan ^2}\alpha$.

b) Có $V' = \frac{1}{3}\pi {a^3}.2\tan \alpha .\frac{1}{{{{\cos }^2}\alpha }}$.

Vì $0 < \alpha \le \frac{\pi }{4}$ Þ 0 < tanα ≤ 1 nên V' > 0. Do đó V là hàm số đồng biến trên $\left( {0;\frac{\pi }{4}} \right)$.

Do đó $\mathop {\max }\limits_{\left( {0;\frac{\pi }{4}} \right]} V = V\left( {\frac{\pi }{4}} \right) = \frac{1}{3}\pi {a^3}$.

Vậy $\alpha = \frac{\pi }{4}$ thì thể tích khối nón là lớn nhất.