Giải SGK Toán 11 KNTT Bài tập cuối chương II có đáp án

Lời giải:

Đáp án đúng là: C

+) Mỗi dãy số tăng đều bị chặn dưới bởi số hạng đầu u$_{1}$ vì u$_{1}$ < u$_{2}$ < u$_{3}$ < ...., do đó đáp án A đúng.

+) Mỗi dãy số giảm đều bị chặn trên bởi số hạng đầu u$_{1}$ vì u$_{1}$ > u$_{2}$ > u$_{3}$ > ...., do đó đáp án B đúng.

+) Một dãy số bị chặn không nhất thiết phải là dãy số tăng hoặc giảm. Chẳng hạn ta xét dãy số (u$_{n}$) có số hạng tổng quát u$_{n}$ = ${\left( { - 1} \right)^{n - 1}}\sin \frac{1}{n}$.

Ta có nhận xét rằng dãy số này đan dấu nên nó không tăng, không giảm.

Mặt khác ta có: $\left| {{u_n}} \right| = \left| {{{\left( { - 1} \right)}^{n - 1}}\sin \frac{1}{n}} \right| = \left| {\sin \frac{1}{n}} \right| \le 1$, suy ra dãy số (u$_{n}$) bị chặn.

Vậy đáp án C sai.

+) Đáp án D đúng do dãy số (u$_{n}$) không đổi thì mọi số hạng luôn bằng nhau và luôn tồn tại m, M để m ≤ u$_{n}$ ≤ M với mọi n ∈ ℕ$^{*}$.

Lời giải:

Đáp án đúng là: D

Xét từng đáp án, ta thấy:

+) Đáp án A, dãy số có số hạng tổng quát là ${u_n} = {\left( {\frac{1}{2}} \right)^n}$ có số hạng đầu ${u_1} = {\left( {\frac{1}{2}} \right)^1} = \frac{1}{2}$, không thỏa mãn.

+) Đáp án B, dãy số có số hạng tổng quát là ${u_n} = \frac{{{{\left( { - 1} \right)}^n}}}{{{2^{n - 1}}}}$ có số hạng đầu ${u_1} = \frac{{{{\left( { - 1} \right)}^1}}}{{{2^{1 - 1}}}} = - 1$, không thỏa mãn.

+) Đáp án C, dãy số có số hạng tổng quát là ${u_n} = \frac{1}{{2n}}$ có số hạng đầu ${u_1} = \frac{1}{{2.1}} = \frac{1}{2}$, không thỏa mãn.

+) Đáp án D, dãy số có số hạng tổng quát là ${u_n} = {\left( {\frac{1}{2}} \right)^{n - 1}}$ có số hạng đầu ${u_1} = {\left( {\frac{1}{2}} \right)^{1 - 1}} = 1$, thỏa mãn.

Lời giải:

Đáp án đúng là: A

Ta có: u$_{n}$ – u$_{n – 1}$ = (3n + 6) – [3(n – 1) + 6] = 3n + 6 – (3n – 3 + 6) = 3, với mọi n ≥ 2.

Do đó, (u$_{n}$) là cấp số cộng có công sai d = 3.

Lời giải:

Đáp án đúng là: B

Nhận xét thấy dãy số cho bởi công thức truy hồi u$_{1}$ = – 1, u$_{n + 1}$ = 2u$_{n}$ có $\frac{{{u_{n + 1}}}}{{{u_n}}} = 2$ với mọi n ≥ 1. Do đó, dãy số này là một cấp số nhân với số hạng đầu u$_{1}$ = – 1 và công bội q = 2.

Lời giải:

Đáp án đúng là: C

Ta có: u$_{n}$ – u$_{n – 1}$ = (2n – 1) – [2(n – 1) – 1] = 2n – 1 – (2n – 2 – 1) = 2, với mọi n ≥ 2.

Do đó, dãy số (u$_{n}$) là một cấp số cộng có u$_{1}$ = 2 . 1 – 1 = 1 và công sai d = 2.

Tổng 100 số hạng đầu tiên của cấp số cộng này là

S$_{100}$ = $\frac{{100}}{2}\left[ {2{u_1} + \left( {100 - 1} \right)d} \right]$ = 50(2 . 1 + 99 . 2) = 10 000.

Lời giải:

Vì đồng hồ đánh chuông báo giờ đúng và số tiếng chuông bằng số giờ nên ta có:

- Lúc 1 giờ đồng hồ đánh 1 tiếng chuông.

- Lúc 2 giờ đồng hồ đánh 2 tiếng chuông.

...

- Lúc 12 giờ trưa đồng hồ đánh 12 tiếng chuông.

Do đó, từ 0 giờ đến 12 giờ trưa, đồng hồ đánh số tiếng chuông là

1 + 2 + 3 + ... + 11 + 12 (tiếng chuông)

Đây là tổng 12 số hạng của cấp số cộng có số hạng đầu u$_{1}$= 1, công sai d = 1.

Vậy tổng số tiếng chuông đồng hồ trong khoảng thời gian từ 0 đến 12 giờ trưa là

S$_{12}$ = $\frac{{12}}{2}\left[ {2{u_1} + \left( {12 - 1} \right)d} \right]$ = 6 . (2 . 1 + 11 . 1) = 78 (tiếng chuông).

Lời giải:

Vì ban đầu có một tế bào và mỗi lần một tế bào phân chia thành hai tế bào nên ta có cấp số nhân với u$_{1}$ = 1, q = 2.

Vì cứ 20 phút lại phân đôi một lần nên sau 24 giờ sẽ có 24 . 60 : 20 = 72 lần phân chia tế bào và u$_{73}$ là số tế bào nhận đươc sau 24 giờ.

Vậy số tế bào nhận được sau 24 giờ phân chia là

u$_{73}$ = u$_{1}$ . q$^{73 – 1}$ = 1 . 2$^{73 – 1}$= 2$^{72}$ (tế bào).

Lời giải:

a) Giả sử (u$_{n}$) là cấp số cộng với công sai d. Khi đó với k ≥ 2, ta có:

u$_{k – 1}$ = u$_{k}$ – d và u$_{k + 1}$ = u$_{k}$ + d.

Suy ra u$_{k – 1}$ + u$_{k + 1}$ = (u$_{k}$ – d) + (u$_{k}$ + d) = 2u$_{k}$ hay ${u_k} = \frac{{{u_{k - 1}} + {u_{k + 1}}}}{2}$ (đpcm).

b) Giả sử cấp số nhân có công bội là q. Khi đó với k ≥ 2, ta có:

u$_{k – 1}$ = u$_{1}$ . q$^{k – 1 – 1}$= u$_{1}$ . q$^{k – 2}$;

u$_{k + 1}$ = u$_{1}$ . q$^{k + 1 – 1}$ = u$_{1}$ . q$^{k}$.

Suy ra u$_{k – 1}$ . u$_{k + 1}$ = (u$_{1}$ . q$^{k – 2}$) . (u$_{1}$ . q$^{k}$) = $u_1^2.{q^{k - 2 + k}} = u_1^2.{q^{2k - 2}}$ = (u$_{1}$ . q$^{k – 1}$)$^{2}$ = $u_k^2$ (đpcm).

Lời giải:

Giả sử 3 số cần tìm là x, y, z với x < y < z.

Ta có: x + y + z = 21 ⇒ x + z = 21 – y.

Theo Bài 2.29a, vì x, y, z lập thành một cấp số cộng nên y = $\frac{{x + z}}{2}$.

Do đó, $y = \frac{{21 - y}}{2}$. Từ đó suy ra y = 7.

Gọi d là công sai của cấp số cộng thì x = y – d = 7 – d và z = y + d = 7 + d.

Sau khi thêm các số 2; 3; 9 vào ba số x, y, z ta được ba số là x + 2, y + 3, z + 9 hay 9 – d, 10, 16 + d và theo đề bài thì 3 số này lập thành một cấp số nhân.

Áp dụng Bài 2.29b, ta có: (9 – d)(16 + d) = 10$^{2}$

⇔ 144 – 7d – d$^{2}$ = 100

⇔ d$^{2}$ + 7d – 44 = 0

Giải phương trình bậc hai trên ta được d = – 11 hoặc d = 4.

+) Với d = – 11, ta có cấp số cộng gồm 3 số 18, 7, – 4.

+) Với d = 4, ta có cấp số cộng gồm 3 số 3, 7, 11.

Vậy có hai bộ ba số cần tìm là (18, 7, – 4) và (3, 7, 11).

Lời giải:

a) Đổi 16 cm = 0,16 m.

Gọi u$_{i}$ là độ cao từ bậc thang thứ i (của cầu thang) so với mặt sân.

Vì mỗi bậc thang cao 0,16 m, mặt bằng sàn cao hơn mặt sân 0,5 m nên bậc thang đầu tiên sẽ cao hơn so với mặt sân là 0,16 + 0,5 = 0,66 (m) hay u$_{1}$ = 0,66.

Từ các bậc sau thì: bậc sau cao hơn bậc liền trước nó 0,16 m, nên độ cao so với mặt sân của hai bậc thang liên tiếp cũng hơn kém nhau 0,16 m.

Hay u$_{n + 1}$ = u$_{n}$ + 0,16; 1 ≤ n ≤ 25.

Do đó, độ cao từ các bậc thang so với mặt sân, từ bậc 1 đến bậc 25 tạo thành một cấp số cộng với u$_{1}$ = 0,66 và công sai d = 0,16.

Vậy công thức tính độ cao của bậc cầu thang thứ n so với mặt sân là

u$_{n}$ = u$_{1}$ + (n – 1)d = 0,66 + (n – 1). 0,16 = 0,5 + 0,16n (m).

b) Vì mặt sàn tầng hai có cùng độ cao với bậc thứ 25 (bậc cao nhất) của cầu thang.

Nên độ cao mặt sàn tầng hai so với mặt sân cũng là độ cao từ bậc thứ 25 so với mặt sân.

Vậy độ cao của sàn tầng hai so với mặt sân ứng với n = 25 là

u$_{25}$ = 0,5 + 0,16 . 25 = 4,5 (m).

Lời giải:

+ Chia lần 1: Hình vuông màu vàng lớn có cạnh bằng 1 đơn vị thì có diện tích bằng 1 (đvdt). Chia hình vuông này thành 9 hình vuông nhỏ hơn và hình vuông ở chính giữa được tô màu xanh, thì hình vuông màu xanh đầu tiên này có diện tích bằng $\frac{1}{9}$ (đvdt).

+ Chia lần 2: 8 hình vuông màu vàng còn lại, mỗi hình vuông này lại được chia thành 9 hình vuông con và tiếp tục tô xanh hình vuông chính giữa, khi đó mỗi hình vuông xanh nhỏ hơn có diện tích S$_{1}$ = $\frac{1}{9} \cdot \frac{1}{9} = \frac{1}{{{9^2}}}$, 8 hình vuông xanh nhỏ hơn có diện tích bằng 8S$_{1}$.

Cứ tiếp tục như vậy, mỗi lần chia ta sẽ tạo thành 8 hình vuông xanh nhỏ hơn tiếp đối với mỗi ô vuông vàng nhỏ.

Do đó, quá trình này được tiếp tục lặp lại năm lần, thì trừ lần đầu tiên, 4 lần sau, mỗi lần chia diện tích ô vuông xanh tạo thành lập thành một cấp số nhân có u$_{1}$ = $8.\frac{1}{{{9^2}}}$ và công bội $q = 8.\frac{1}{9}$.

Vậy tổng diện tích các hình vuông được tô màu xanh là

S = $\frac{1}{9} + \frac{{8.\frac{1}{{{9^2}}}\left( {1 - {{\left( {\frac{8}{9}} \right)}^4}} \right)}}{{1 - \frac{8}{9}}} = \frac{{26\,\,281}}{{59\,\,049}}$ (đvdt).