Giải SGK Toán 11 KNTT Bài 5. Dãy số có đáp án

Lời giải:

Sau bài học này ta sẽ giải quyết được bài toán trên như sau:

Ta có: n = 2030 – 2020 = 10.

Vậy số dân của thành phố đó vào năm 2030 sẽ là

P$_{10}$ = 500 . (1 + 0,02)$^{10}$ ≈ 609 (nghìn người).

Lời giải:

Năm số chính phương đầu theo thứ tự tăng dần là: 0; 1; 4; 9; 16.

Số chính phương thứ nhất là u$_{1}$ = 0$^{2}$ = 0

Số chính phương thứ hai là u$_{2}$ = 1$^{2}$ = 1

Số chính phương thứ ba là u$_{3}$ = 2$^{2}$ = 4

Số chính phương thứ tư là u$_{4}$ = 3$^{2}$ = 9

Số chính phương thứ năm là u$_{5}$ = 4$^{2}$ = 16

Tiếp tục như trên, ta dự đoán được công thức tính số chính phương thứ n là u$_{n}$ = (n – 1)$^{2}$ với n ∈ ℕ$^{*}$.

Lời giải:

a) Các số chính phương nhỏ hơn 50 được sắp xếp theo thứ tự từ bé đến lớn là

0; 1; 4; 9; 16; 25; 36; 49.

b) Ta có: u$_{n}$ = (n – 1)$^{2}$ với n ∈ ℕ$^{*}$ và n ≤ 8.

Lời giải:

a) Xét số tự nhiên a khác 0, ta có a chia cho 5 dư 1, khi đó tồn tại số tự nhiên q khác 0 để a = 5q + 1.

Xét dãy số gồm tất cả các số tự nhiên chia cho 5 dư 1 theo thứ tự tăng dần. Khi đó, số hạng tổng quát của dãy số là u$_{n}$ = 5n + 1 (n ∈ ℕ$^{*}$).

b) Dãy gồm năm số hạng đầu của dãy số trong câu a là: 6; 11; 16; 21; 26.

Số hạng đầu của dãy là u$_{1}$ = 6, số hạng cuối của dãy là u$_{5}$ = 26.

Lời giải:

a) Số hạng tổng quát của dãy số là u$_{n}$ = 5n (n ∈ ℕ$^{*}$).

b) Số hạng đầu của dãy số là u$_{1}$ = 5.

Công thức tính số hạng thứ n theo số hạng thứ n – 1 là u$_{n}$ = u$_{n – 1}$+ 5 (n ∈ ℕ$^{*}$, n > 1).

Lời giải:

a) Năm số hạng đầu của dãy số (u$_{n}$) với số hạng tổng quát u$_{n}$ = n! là

u$_{1}$ = 1! = 1;

u$_{2}$ = 2! = 2;

u$_{3}$ = 3! = 6;

u$_{4}$ = 4! = 24;

u$_{5}$ = 5! = 120.

b) Năm số hạng đầu của dãy số Fibonacci (F$_{n}$) là

F$_{1}$ = 1;

F$_{2}$ = 1;

F$_{3}$ = F$_{2}$ + F$_{1}$ = 1 + 1 = 2;

F$_{4}$ = F$_{3}$ + F$_{2}$ = 2 + 1 = 3;

F$_{5}$ = F$_{4}$ + F$_{3}$ = 3 + 2 = 5.

Lời giải:

a) Ta có: u$_{n + 1}$= 3(n + 1) – 1 = 3n + 3 – 1 = 3n + 2

Xét hiệu u$_{n + 1}$– u$_{n}$ ta có: u$_{n + 1}$– u$_{n}$ = (3n + 2) – (3n – 1) = 3 > 0, tức là u$_{n + 1}$ > u$_{n}$∀ n ∈ ℕ$^{*}$.

Vậy u$_{n + 1}$ > u$_{n}$∀ n ∈ ℕ$^{*}$.

b) Ta có: ${v_{n + 1}} = \frac{1}{{{{\left( {n + 1} \right)}^2}}}$.

Xét hiệu v$_{n + 1}$– v$_{n}$ ta có:

v$_{n + 1}$– v$_{n}$ = $\frac{1}{{{{\left( {n + 1} \right)}^2}}} - \frac{1}{{{n^2}}}$$= \frac{{{n^2} - {{\left( {n + 1} \right)}^2}}}{{{n^2}{{\left( {n + 1} \right)}^2}}} = \frac{{{n^2} - \left( {{n^2} + 2n + 1} \right)}}{{{n^2}{{\left( {n + 1} \right)}^2}}} = \frac{{ - \left( {2n + 1} \right)}}{{{n^2}{{\left( {n + 1} \right)}^2}}} < 0\,\,\forall n \in {\mathbb{N}^*}$.

Tức là v$_{n + 1}$< v$_{n}$, ∀ n ∈ ℕ$^{*}$.

Vậy v$_{n + 1}$< v$_{n}$∀ n ∈ ℕ$^{*}$.

Lời giải:

Ta có: ${u_n} = \frac{1}{{n + 1}}$, ${u_{n + 1}} = \frac{1}{{\left( {n + 1} \right) + 1}} = \frac{1}{{n + 2}}$.

${u_{n + 1}} - {u_n} = \frac{1}{{n + 2}} - \frac{1}{{n + 1}}$$= \frac{{\left( {n + 1} \right) - \left( {n + 2} \right)}}{{\left( {n + 1} \right)\left( {n + 2} \right)}} = \frac{{ - 1}}{{\left( {n + 1} \right)\left( {n + 2} \right)}} < 0\,\,\forall n \in {\mathbb{N}^*}$

Tức là u$_{n + 1}$< u$_{n}$, ∀ n ∈ ℕ$^{*}$.

Vậy (u$_{n}$) là dãy số giảm.

Lời giải:

a) Ta có: ${u_n} = \frac{{n + 1}}{n} = 1 + \frac{1}{n} > 1,\,\,\forall n \in {\mathbb{N}^*}$.

b) Ta có: $\frac{1}{n} \le 1,\,\,\forall n \in {\mathbb{N}^*}$, suy ra $1 + \frac{1}{n} \le 1 + 1 = 2,\,\forall n \in {\mathbb{N}^*}$.

Do đó, ${u_n} = 1 + \frac{1}{n} \le 2,\,\,\forall n \in {\mathbb{N}^*}$.

Lời giải:

Ta có: u$_{n}$ = 2n – 1 ≥ 1, ∀ n ∈ ℕ$^{*}$.

Do đó, dãy số (u$_{n}$) bị chặn dưới.

Dãy số (u$_{n}$) không bị chặn trên vì không có số M nào thỏa mãn:

u$_{n}$ = 2n – 1 ≤ M với mọi n ∈ ℕ$^{*}$.

Vậy dãy số (u$_{n}$) bị chặn dưới và không bị chặn trên nên không bị chặn.

Lời giải:

a) Ta có: s$_{2}$ = s$_{1}$+ 25 = 200 + 25 = 225

s$_{3}$ = s$_{2}$ + 25 = 225 + 25 = 250

s$_{4}$ = s$_{3}$ + 25 = 250 + 25 = 275

s$_{5}$ = s$_{4}$ + 25 = 275 + 25 = 300

Vậy lương của anh Thanh vào năm thứ 5 làm việc cho công ty là 300 triệu đồng.

b) Ta có: s$_{n}$ = s$_{n – 1}$+ 25 ⇔ s$_{n}$– s$_{n – 1}$= 25 > 0 với mọi n ≥ 2, n ∈ ℕ$^{*}$.

Tức là s$_{n}$ > s$_{n – 1}$với mọi n ≥ 2, n ∈ ℕ$^{*}$.

Vậy (s$_{n}$) là dãy số tăng. Điều này có nghĩa là mức lương hàng năm của anh Thanh tăng dần theo thời gian làm việc.

Lời giải:

a) Ta có: u$_{1}$ = 3 . 1 – 2 = 1;

u$_{2}$ = 3 . 2 – 2 = 4;

u$_{3}$ = 3 . 3 – 2 = 7;

u$_{4}$ = 3 . 4 – 2 = 10;

u$_{5}$ = 3 . 5 – 2 = 13;

u$_{100}$ = 3 . 100 – 2 = 298.

b) Ta có: u$_{1}$ = 3 . 2$^{1}$ = 6;

u$_{2}$ = 3 . 2$^{2}$ = 12;

u$_{3}$ = 3 . 2$^{3}$ = 24;

u$_{4}$ = 3 . 2$^{4}$ = 48;

u$_{5}$ = 3 . 2$^{5}$ = 96;

u$_{100}$ = 3 . 2$^{100}$.

c) Ta có: ${u_1} = {\left( {1 + \frac{1}{1}} \right)^1} = 2$;

${u_2} = {\left( {1 + \frac{1}{2}} \right)^2} = \frac{9}{4}$;

${u_3} = {\left( {1 + \frac{1}{3}} \right)^3} = \frac{{64}}{{27}}$;

${u_4} = {\left( {1 + \frac{1}{4}} \right)^4} = \frac{{625}}{{256}}$;

${u_5} = {\left( {1 + \frac{1}{5}} \right)^5} = \frac{{7776}}{{3125}}$;

${u_{100}} = {\left( {1 + \frac{1}{{100}}} \right)^{100}} = {\left( {\frac{{101}}{{100}}} \right)^{100}}$.

Lời giải:

a) Năm số hạng đầu của dãy số là

u$_{1}$ = 1;

u$_{2}$ = 2u$_{1}$ = 2 . 1 = 2;

u$_{3}$ = 3u$_{2}$ = 3 . 2 = 6;

u$_{4}$ = 4u$_{3}$ = 4 . 6 = 24;

u$_{5}$ = 5u$_{4}$ = 5 . 24 = 120.

b) Nhận xét thấy u$_{1}$ = 1 = 1!;

u$_{2}$ = 2 . 1 = 2!;

u$_{3}$ = 3u$_{2}$ = 3 . 2 . 1 = 3!;

u$_{4}$ = 4u$_{3}$ = 4 . 3 . 2 . 1 = 4!;

u$_{5}$ = 5u$_{4}$ = 5 . 4 . 3 . 2 . 1 = 5!;

...

Cứ tiếp tục làm như thế, ta dự đoán được công thức số hạng tổng quát của u$_{n}$ là u$_{n}$ = n!.

Lời giải:

a) Ta có: u$_{n + 1}$ = 2(n + 1) – 1 = 2n + 2 – 1 = 2n + 1

Xét hiệu u$_{n + 1}$ – u$_{n}$ = (2n + 1) – (2n – 1) = 2 > 0, tức là u$_{n + 1}$ > u$_{n}$ , ∀ n ∈ ℕ$^{*}$.

Vậy (u$_{n}$) là dãy số tăng.

b) Ta có: u$_{n + 1}$ = – 3(n + 1) + 2 = – 3n – 3 + 2 = – 3n – 1

Xét hiệu u$_{n + 1}$ – u$_{n}$ = (– 3n – 1) – (– 3n + 2) = – 3 < 0, tức là u$_{n + 1}$ < u$_{n}$, ∀ n ∈ ℕ$^{*}$.

Vậy (u$_{n}$) là dãy số giảm.

c) ${u_n} = \frac{{{{\left( { - 1} \right)}^{n - 1}}}}{{{2^n}}}$

Nhận xét thấy: ${u_1} = \frac{{{{\left( { - 1} \right)}^{1 - 1}}}}{{{2^1}}} = \frac{1}{2} > 0$; ${u_2} = \frac{{{{\left( { - 1} \right)}^{2 - 1}}}}{{{2^2}}} = \frac{{ - 1}}{4} < 0$;

${u_3} = \frac{{{{\left( { - 1} \right)}^{3 - 1}}}}{{{2^3}}} = \frac{1}{8} > 0$; ${u_4} = \frac{{{{\left( { - 1} \right)}^{4 - 1}}}}{{{2^4}}} = \frac{{ - 1}}{{16}} < 0$; ...

Vậy dãy số (u$_{n}$) không tăng, cũng không giảm.

Lời giải:

a) Ta có: u$_{n}$ = n – 1 ≥ 0 với mọi n ∈ ℕ$^{*}$.

Do đó, dãy số (u$_{n}$) bị chặn dưới với mọi n ∈ ℕ$^{*}$.

Dãy số (u$_{n}$) không bị chặn trên vì không có số M nào thỏa mãn:

u$_{n}$ = n – 1 ≤ M với mọi n ∈ ℕ$^{*}$.

Vậy dãy số (u$_{n}$) bị chặn dưới và không bị chặn trên nên không bị chặn.

b) Ta có: ${u_n} = \frac{{n + 1}}{{n + 2}} = \frac{{n + 2 - 1}}{{n + 2}} = 1 - \frac{1}{{n + 2}}$, với mọi n ∈ ℕ$^{*}$.

Vì $0 < \frac{1}{{n + 2}} \le \frac{1}{3}$, ∀ n ∈ ℕ$^{*}$ nên $- \frac{1}{3} \le - \frac{1}{{n + 2}} < 0$ ∀ n ∈ ℕ$^{*}$.

Suy ra $1 - \frac{1}{3} \le 1 - \frac{1}{{n + 2}} < 1$ hay $\frac{2}{3} \le {u_n} < 1$ ∀ n ∈ ℕ$^{*}$.

Vậy dãy số (u$_{n}$) bị chặn trên, bị chặn dưới nên dãy số (u$_{n}$) là dãy số bị chặn.

c) Ta có: – 1 ≤ sin n ≤ 1 với mọi n ∈ ℕ$^{*}$.

Do đó, – 1 ≤ u$_{n}$ ≤ 1 với mọi n ∈ ℕ$^{*}$.

Vậy dãy số (u$_{n}$) bị chặn trên, bị chặn dưới nên dãy số (u$_{n}$) là dãy số bị chặn.

d) u$_{n}$ = (– 1)$^{n – 1}$n$^{2}$

Ta có: (– 1)$^{n – 1}$ = 1 với mọi n ∈ ℕ$^{*}$ và n lẻ.

(– 1)$^{n – 1}$ = – 1 với mọi n ∈ ℕ$^{*}$ và n chẵn.

n$^{2}$ ≥ 0 với mọi n ∈ ℕ$^{*}$.

Do đó, u$_{n}$ = – n$^{2}$ < 0, với mọi n ∈ ℕ$^{*}$ và n chẵn.

u$_{n}$ = n$^{2}$ > 0, với mọi n ∈ ℕ$^{*}$ và n lẻ.

Vậy dãy số (u$_{n}$) không bị chặn.

Lời giải:

a) Các số nguyên dương chia hết cho 3 là: 3; 6; 9; 12; ...

Các số này có dạng 3n với n với n ∈ ℕ$^{*}$.

Vậy số hạng tổng quát của dãy số tăng gồm tất cả các số nguyên dương mà mỗi số hạng của nó đều chia hết cho 3 là u$_{n}$ = 3n với n ∈ ℕ$^{*}$.

b) Các số nguyên dương chia cho 4 dư 1 có dạng là 4(n – 1) + 1 = 4n – 3 với n ∈ ℕ$^{*}$.

Vậy số hạng tổng quát của dãy số tăng gồm tất cả các số nguyên dương mà mỗi số hạng của nó khi chia cho 4 dư 1 là u$_{n}$ = 4n – 3 với n ∈ ℕ$^{*}$.

Lời giải:

a) Số tiền ông An nhận được sau tháng thứ nhất là

${A_1} = 100{\left( {1 + \frac{{0{,}06}}{{12}}} \right)^1} = 100{,}5$ (triệu đồng).

Số tiền ông An nhận được sau tháng thứ hai là

${A_2} = 100{\left( {1 + \frac{{0{,}06}}{{12}}} \right)^2} = 101{,}0025$ (triệu đồng).

b) Số tiền ông An nhận được sau 1 năm (12 tháng) là

${A_{12}} = 100{\left( {1 + \frac{{0{,}06}}{{12}}} \right)^{12}} \approx 106{,}17$ (triệu đồng).

Lời giải:

a) Ta có: A$_{0}$ = 100 (triệu đồng)

+) Tiền lãi chị Hương phải trả sau 1 tháng là 100 . 0,8% = 0,8 (triệu đồng).

Do đó, số tiền gốc chị Hương trả được sau 1 tháng là 2 – 0,8 = 1,2 (triệu đồng).

Khi đó, số tiền còn nợ của chị Hương sau 1 tháng là

A$_{1}$ = 100 – 1,2 = 98,8 (triệu đồng).

+) Tiền lãi chị Hương phải trả sau 2 tháng là 98,8 . 0,8% = 0,7904 (triệu đồng).

Do đó, số tiền gốc chị Hương trả được sau 2 tháng là 2 – 0,7904 = 1,2096 (triệu đồng).

Khi đó, số tiền còn nợ của chị Hương sau 2 tháng là

A$_{2}$ = 98,8 – 1,2096 = 97,5904 (triệu đồng).

+) Tiền lãi chị Hương phải trả sau 3 tháng là 97,5904 . 0,8% = 0,7807232 (triệu đồng).

Do đó, số tiền gốc chị Hương trả được sau 3 tháng là 2 – 0,7807232 = 1,2192768 (triệu đồng).

Khi đó, số tiền còn nợ của chị Hương sau 3 tháng là

A$_{3}$ = 97,5904 – 1,2192768 = 96,3711232 (triệu đồng).

+) Tiền lãi chị Hương phải trả sau 4 tháng là 96,3711232 . 0,8% ≈ 0,77097 (triệu đồng).

Do đó, số tiền gốc chị Hương trả được sau 4 tháng là 2 – 0,77097 = 1,22903 (triệu đồng).

Khi đó, số tiền còn nợ của chị Hương sau 4 tháng là

A$_{4}$ = 96,3711232 – 1,22903 = 95,1420932 (triệu đồng).

+) Tiền lãi chị Hương phải trả sau 5 tháng là 95,1420932 . 0,8% ≈ 0,76114 (triệu đồng).

Do đó, số tiền gốc chị Hương trả được sau 5 tháng là 2 – 0,76114 = 1,23886 (triệu đồng).

Khi đó, số tiền còn nợ của chị Hương sau 5 tháng là

A$_{5}$ = 95,1420932 – 1,23886 = 93,9032332 (triệu đồng).

+) Tiền lãi chị Hương phải trả sau 6 tháng là 93,9032332 . 0,8% ≈ 0,75123 (triệu đồng).

Do đó, số tiền gốc chị Hương trả được sau 6 tháng là 2 – 0,75123 = 1,24877 (triệu đồng).

Khi đó, số tiền còn nợ của chị Hương sau 6 tháng là

A$_{6}$ = 93,9032332 – 1,24877 = 92,6544632 (triệu đồng).

b) Dự đoán hệ thức truy hồi đối với dãy số (A$_{n}$) là

A$_{0}$ = 100; A$_{n}$ = A$_{n – 1}$ – (2 – A$_{n – 1}$. 0,8%) = 1,008A$_{n – 1}$ – 2.