Giải SGK Toán 11 KNTT Bài 30. Công thức nhân xác suất cho hai biến cố độc lập có đáp án

Sau bài học, ta trả lời được như sau:

Xác suất để cả hai vận động viên đạt huy chương là: 0,8 . 0,9 = 0,72.

a)

+ Tính P(A):

Biến cố A là tập hợp các quả màu trắng trong 10 quả của hộp I nên n(A) = 6.

Suy ra: P(A) = $\frac{6}{10}$.

+ Tính P(B)

Biến cố B là tập hợp các quả màu đen trong 8 quả của hộp II nên n(B) = 7.

Suy ra: P(B) = $\frac{7}{8}$.

+ Tính P(AB):

Biến cố C = A ∩ B là biến cố “Bạn Long lấy được quả màu trắng và bạn Hải lấy được quả màu đen”.

Không gian mẫu Ω là tập hợp các cách chọn gồm 2 công đoạn:

Công đoạn 1: Bạn Long lấy ngẫu nhiên một quả bóng từ hộp I.

Có 6 + 4 = 10 (cách chọn).

Công đoạn 2: Bạn Hải lấy ngẫu nhiên một quả bóng từ hộp II.

Có 1 + 7 = 8 (cách chọn)

Theo quy tắc nhân, ta có: n(Ω) = 10 . 8 = 80.

Biến cố C là tập hợp các cách chọn gồm 2 công đoạn:

Công đoạn 1: Bạn Long lấy được quả màu trắng trong hộp I. Có 6 cách chọn.

Công đoạn 2: Bạn Hải lấy được quả màu đen trong hộp II. Có 7 cách chọn.

Theo quy tắc nhân, ta có: n(C) = 6 . 7 = 42.

Suy ra: P(AB) = P(C) = $\frac{42}{80}=\frac{21}{40}$.

b)

Ta có: P(A) . P(B) = $\frac{6}{10}.\frac{7}{8}=\frac{21}{40}$

Như vậy P(A) . P(B) = P(AB).

Vì Long và Hải lấy bóng từ hai hộp khác nhau nên:

Dù biến cố A có xảy ra hay không ta đều có P(B) = $\frac{7}{8}$.

Dù biến cố B có xảy ra hay không ra đều có P(A) = $\frac{6}{10}$.

Vậy hai biến cố A và B độc lập.

Gọi A là biến cố “Hạt giống A nảy mầm”; B là biến cố “Hạt giống B nảy mầm”.

Các biến cố đối $\overline{A}$ là biến cố “Hạt giống A không nảy mầm”; $\overline{B}$ là “Hạt giống B không nảy mầm”.

Ta có:

P(A) = 0,92. Suy ra P($\overline{A}$) = 1 – 0,92 = 0,08.

P(B) = 0,88. Suy ra P($\overline{B}$) = 1 – 0,88 = 0,12.

Ta có sơ đồ hình cây như sau:

Ta có hai biến cố A và B độc lập.

a)

Biến cố: “Hạt giống A nảy mầm còn hạt giống B không nảy mầm” là biến cố A$\overline{B}$.

Áp dụng công thức nhân xác suất, ta có:

P(A$\overline{B}$) = P(A) . P($\overline{B}$) = 0,92 . 0,12 = 0,1104.

b)

Biến cố: “Hạt giống A không nảy mầm còn hạt giống B nảy mầm” là biến cố $\overline{A}$B.

Áp dụng công thức nhân xác suất, ta có:

P($\overline{A}$B) = P($\overline{A}$) . P(B) = 0,08 . 0,88 = 0,0704.

c)

Biến cố: “Có ít nhất một trong hai loại hạt giống nảy mầm” là biến cố A ∪ B.

Áp dụng công thức cộng xác suất và công thức nhân xác suất, ta có:

P(A ∪ B) = P(A) + P(B) – P(AB)

= P(A) + P(B) – P(A) . P(B)

= 0,92 + 0,88 – 0,92 . 0,88

= 0,9904.

Vậy P(A ∪ B) = 0,9904.

Chọn ngẫu nhiên một người đàn ông.

Gọi A là biến cố “Người đó nghiện thuốc lá”,

B là biến cố “Người đó mắc bệnh viêm phổi”.

Khi đó, AB là biến cố “Người đó nghiện thuốc lá và mắc bệnh viêm phổi”.

Ta có: P(A) = $\frac{752+1236}{5000}=\frac{497}{1250}$; P(B) = $\frac{752+575}{5000}=\frac{1327}{5000}$

Suy ra: P(A) . P(B) = $\frac{497}{1250}.\frac{1327}{5000}$= 0,10552304

Mặt khác số người nghiện thuốc là và mắc bệnh viêm phổi là 752 nên

P(AB) = $\frac{752}{5000}$= 0,1504.

Do đó, P(AB) ≠ P(A) . P(B) nên hai biến cố A và B không độc lập.

Vậy ta kết luận rằng việc nghiện thuốc lá và mắc bệnh viêm phổi có liên quan với nhau.

Hai biến cố A và B xung khắc khi và chỉ khi A ∩ B = ∅. Suy ra: P(AB) = 0.

Vì P(A) > 0, P(B) > 0 nên P(A) . P(B) > 0.

Do đó, P(AB) ≠ P(A) . P(B)

Vậy hai biến cố A và B không độc lập.

Ta có:

A = {1; 2; 3; 4; 5; 6; 10; 12; 15; 20; 30; 60}

B = {1; 2; 3; 4; 6; 8; 12; 16; 24; 48}

Do đó, AB = A ∩ B = {1; 2; 3; 4; 6; 12}.

Suy ra

P(A) = $\frac{12}{60}=\frac{1}{5}$ ; P(B) = $\frac{10}{60}=\frac{1}{6}$; P(AB) = $\frac{6}{60}=\frac{1}{10}$.

Mặt khác, P(A) . P(B) = $\frac{1}{5}.\frac{1}{6}=\frac{1}{30}$.

Khi đó P(AB) ≠ P(A) . P(B) nên hai biến cố A và B không độc lập.

Vì hai túi là khác nhau nên biến cố lấy một viên bi mỗi túi là độc lập.

Gọi biến cố A: “Hai viên bi được lấy có cùng màu xanh”;

B là biến cố “Hai viên bi được lấy có cùng màu đỏ”;

C là biến cố “Hai viên bi được lấy có cùng màu”.

a)

Xác suất lấy được viên bi màu xanh từ túi I là: $\frac{3}{10}$.

Xác suất lấy được viên bi màu xanh từ túi II là: $\frac{10}{16}=\frac{5}{8}$.

Theo quy tắc nhân, xác suất lấy được hai viên bi cùng màu xanh là:

P(A) = $\frac{3}{10}.\frac{5}{8}=\frac{3}{16}$.

b)

Xác suất lấy được viên bi màu đỏ từ túi I là: $\frac{7}{10}$.

Xác suất lấy được viên bi màu đỏ từ túi II là: $\frac{6}{16}=\frac{3}{8}$.

Theo quy tắc nhân, xác suất lấy được hai viên bi cùng màu đỏ là:

P(B) = $\frac{7}{10}.\frac{3}{8}=\frac{21}{80}$

c)

Ta có C = A ∪ B mà A và B xung khắc nên áp dụng công thức cộng xác suất:

P(C) = P(A ∪ B) = P(A) + P(B) = $\frac{3}{16}+\frac{21}{80}=\frac{9}{20}$.

Vậy xác suất để hai viên bi được lấy có cùng màu là: $\frac{9}{20}$.

d) Gọi biến cố D: “Hai viên bi được lấy không cùng màu”.

Khi đó, $\overline{D}=C$.

Suy ra: P(D) = 1 – P($\overline{D}$) = 1 – P(C) = 1 – $\frac{9}{20}$= $\frac{11}{20}$.

Vậy xác suất để hai viên bi được lấy không cùng màu là $\frac{11}{20}$.

Gọi A là biến cố: “Hai quả cầu lấy ra không có quả cầu nào ghi số 1”,

A$_{1}$ là biến cố: “Quả cầu lấy ra từ túi I không ghi số 1”,

A$_{2}$ là biến cố: “Quả cầu lấy ra từ túi II không ghi số 1”.

Ta có A = A$_{1}$A$_{2}$. Hai biến cố A$_{1}$ và A$_{2}$ độc lập nên P(A) = P(A$_{1}$) . P(A$_{2}$).

Lại có P(A$_{1}$) = P(A$_{2}$) = $\frac{9}{10}$ = 0,9. Do đó P(A) = (0,9)$^{2}$.

Gọi B là biến cố: “Hai quả cầu lấy ra không có quả cầu nào ghi số 5”,

B$_{1}$ là biến cố: “Quả cầu lấy ra từ túi I không ghi số 5”,

B$_{2}$ là biến cố: “Quả cầu lấy ra từ túi II không ghi số 5”.

Ta có B = B$_{1}$B$_{2}$. Hai biến cố B$_{1}$ và B$_{2}$ độc lập nên P(B) = P(B$_{1}$) . P(B$_{2}$).

Lại có P(B$_{1}$) = P(B$_{2}$) = $\frac{9}{10}$ = 0,9. Do đó P(B) = (0,9)$^{2}$.

Gọi E là biến cố: “Trong hai quả cầu lấy ra không có quả cầu nào ghi số 1 hoặc ghi số 5”.

Ta có E = A ∪ B.

Theo công thức cộng xác suất ta có P(E) = P(A) + P(B) – P(AB).

Ta có AB là biến cố: “Hai quả cầu lấy ra không có quả nào ghi số 1 và ghi số 5”.

Gọi H$_{1}$ là biến cố: “Quả cầu lấy ra từ túi I không ghi số 1 và số 5”,

H$_{2}$ là biến cố: “Quả cầu lấy ra từ túi II không ghi số 1 và số 5”.

Ta có AB = H$_{1}$H$_{2}$. Hai biến cố H$_{1}$ và H$_{2}$ độc lập nên P(AB) = P(H$_{1}$) . P(H$_{2}$).

Lại có P(H$_{1}$) = P(H$_{2}$) = $\frac{8}{10}=0{,}8$. Từ đó P(AB) = (0,8)$^{2}$.

Do đó, P(E) = P(A) + P(B) – P(AB) = (0,9)$^{2}$ + (0,9)$^{2}$ – (0,8)$^{2}$ = 0,98.

Vậy xác suất để trong hai quả cầu được lấy ra không có quả cầu nào ghi số 1 hoặc ghi số 5 là 0,98.

Xác suất để học sinh tỉnh X không đạt yêu cầu là 100% – 93% = 7% = 0,07.

Xác suất để học sinh tỉnh Y không đạt yêu cầu là 100% – 87% = 13% = 0,13.

Gọi A là biến cố: “Học sinh tỉnh X đạt yêu cầu”.

B là biến cố: “Học sinh tỉnh Y đạt yêu cầu”.

Khi đó ta có P(A) = 0,93; P(B) = 0,87; $P(\overline{A})=0{,}07;\ P(\overline{B})=0{,}13$.

a) Xác suất để cả hai học sinh được chọn đều đạt yêu cầu là:

P(AB) = P(A) . P(B) = 0,93 . 0,87 = 0,8091.

b) Xác suất để cả hai học sinh được chọn đều không đạt yêu cầu là:

$P(\overline{A}\overline{B})=P(\overline{A}).P(\overline{B})$ = 0,07 . 0,13 = 0,0091.

c) Xác suất để chỉ có đúng một học sinh được chọn đạt yêu cầu là:

$P(A\overline{B})+P(\overline{A}B)$ = 0,93 . 0,13 + 0,07 . 0,87 = 0,1818.

d) Xác suất để có ít nhất một trong hai học sinh được chọn đạt yêu cầu là:

P(A ∪ B) = P(A) + P(B) – P(AB) = 0,93 + 0,87 – 0,8091 = 0,9909.