Giải SGK Toán 11 KNTT Bài 3. Hàm số lượng giác có đáp án

Lời giải:

Sau bài học này, ta sẽ giải quyết được bài toán trên như sau:

Thời gian của một chu kì hô hấp đầy đủ chính là một chu kì tuần hoàn của hàm v(t) và là T = $\frac{{2\pi }}{{\frac{\pi }{3}}} = 6$ (giây).

Ta có: 1 phút = 60 giây.

Do đó, số chu kì hô hấp trong một phút của người đó là $\frac{{60}}{6} = 10$ (chu kì).

Lời giải:

Lần lượt thay các giá trị $x = \frac{\pi }{6},\,x = 0$ và $x = - \frac{\pi }{2}$ vào sin x, cos x, tan x và cot x, ta hoàn thành được bảng như sau:

Lời giải:

Biểu thức $\frac{1}{{\sin x}}$ có nghĩa khi sin x ≠ 0, tức là x ≠ kπ (k ∈ ℤ).

Vậy tập xác định của hàm số $y = \frac{1}{{\sin x}}$ là ℝ \ {kπ | k ∈ ℤ}.

Lời giải:

a) Biểu thức x$^{2}$ và x$^{3}$ luôn có nghĩa với mọi x ∈ ℝ.

Vậy tập xác định của hàm số f(x) = x$^{2}$ là D$_{f}$ = ℝ và tập xác định của hàm số g(x) = x$^{3}$ là D$_{g}$ = ℝ.

b) ∀ x ∈ D$_{f}$, ta luôn có f(– x) = (– x)$^{2}$ = x$^{2}$ = f(x). Vậy f(– x) = f(x), ∀ x ∈ D$_{f}$.

Từ hình vẽ ta thấy đồ thị hàm số f(x) = x$^{2}$ đối xứng với nhau qua trục tung Oy.

c) ∀ x ∈ D$_{g}$, ta luôn có g(– x) = (– x)$^{3}$ = – x$^{3}$ = – g(x). Vậy g(– x) = – g(x), ∀ x ∈ D$_{g}$.

Từ hình vẽ ta thấy đồ thị hàm số g(x) = x$^{3}$ nhận gốc tọa độ O làm tâm đối xứng.

Lời giải:

Biểu thức $\frac{1}{x}$ có nghĩa khi x ≠ 0.

Suy ra tập xác định của hàm số $g\left( x \right) = \frac{1}{x}$ là D = ℝ \ {0}.

Do đó, nếu x thuộc tập xác định D thì – x cũng thuộc tập xác định D.

Ta có: g(– x) = $\frac{1}{{ - x}} = - \frac{1}{x}$= – g(x), ∀ x ∈ D.

Vậy $g\left( x \right) = \frac{1}{x}$ là hàm số lẻ.

Lời giải:

a) Ta có: sin(x + 2π) = sin[π + (x + π)] = – sin(x + π) = – sin(π + x) = – (– sin x) = sin x.

Vậy sin(x + 2π) = sin x.

b) Ta có: cos(x + 2π) = cos[π + (x + π)] = – cos(x + π) = – (– cos x) = cos x.

Vậy cos(x + 2π) = cos x.

c) Ta có: tan(x + π) = tan(π + x) = tan x.

Vậy tan(x + π) = tan x.

d) Ta có: cot(x + π) = cot(π + x) = cot x.

Vậy cot(x + π) = cot x.

Lời giải:

Hàm số hằng f(x) = c (c là hằng số) có tập xác định D = ℝ.

Với T là số dương bất kì và với mọi x ∈ D, ta luôn có:

+) x + T ∈ D và x – T ∈ D;

+) f(x + T) = c = f(x) (vì f(x) là hàm số hằng nên với mọi x thì giá trị của hàm số đều có giá trị bằng c).

Vậy hàm số hằng f(x) = c (c là hằng số) là hàm số tuần hoàn với chu kì là một số dương bất kì.

Lời giải:

Biểu thức tan 2x có nghĩa khi $2x \ne \frac{\pi }{2} + k\pi ,\,k \in \mathbb{Z}$$\Leftrightarrow x \ne \frac{\pi }{4} + k\frac{\pi }{2},\,k \in \mathbb{Z}$.

Suy ra hàm số y = tan 2x có tập xác định là D = $\mathbb{R}\backslash \left\{ {\frac{\pi }{4} + k\frac{\pi }{2}|k \in \mathbb{Z}} \right\}$.

Với mọi số thực x, ta có:

+) $x - \frac{\pi }{2} \in D,\,x + \frac{\pi }{2} \in D$;

+) $\tan 2\left( {x + \frac{\pi }{2}} \right) = \tan \left( {2x + \pi } \right) = \tan 2x$.

Vậy y = tan 2x là hàm số tuần hoàn với chu kì $T = \frac{\pi }{2}$.

Lời giải:

a) Hàm số y = f(x) = sin x có tập xác định là D = ℝ.

Do đó, nếu x thuộc tập xác định D thì – x cũng thuộc tập xác định D.

Ta có: f(– x) = sin (– x) = – sin x = – f(x), ∀ x ∈ D.

Vậy y = sin x là hàm số lẻ.

b) Ta có: sin 0 = 0, $\sin \frac{\pi }{4} = \frac{{\sqrt 2 }}{2},\sin \frac{\pi }{2} = 1,\,\sin \frac{{3\pi }}{4} = \frac{{\sqrt 2 }}{2}$, sin π = 0.

Vì y = sin x là hàm số lẻ nên $\sin \left( { - \frac{\pi }{4}} \right) = - \sin \frac{\pi }{4} = - \frac{{\sqrt 2 }}{2}$, $\sin \left( { - \frac{\pi }{2}} \right) = - \sin \frac{\pi }{2} = - 1$,

$\,\sin \left( { - \frac{{3\pi }}{4}} \right) = - \sin \frac{{3\pi }}{4} = - \frac{{\sqrt 2 }}{2}$, sin(– π) = – sin π = 0.

Vậy ta hoàn thành được bảng như sau:

c) Quan sát Hình 1.14, ta thấy đồ thị hàm số y = sin x có:

+) Tập giá trị là [– 1; 1];

+) Đồng biến trên mỗi khoảng $\left( { - \frac{\pi }{2} + k2\pi ;\,\frac{\pi }{2} + k2\pi } \right)$ (do đồ thị hàm số đi lên từ trái sang phải trên mỗi khoảng này) và nghịch biến trên mỗi khoảng $\left( {\frac{\pi }{2} + k2\pi ;\,\frac{{3\pi }}{2} + k2\pi } \right),\,k \in \mathbb{Z}$ (do đồ thị hàm số đi xuống từ trái sang phải trên mỗi khoảng này).

Lời giải:

Ta có: – 1 ≤ sin x ≤ 1 với mọi x ∈ ℝ.

Suy ra 2 . (– 1) ≤ 2sin x ≤ 2 . 1 hay – 2 ≤ 2sin x ≤ 2 với mọi x ∈ ℝ.

Vậy hàm số y = 2sin x có tập giá trị là [– 2; 2].

Lời giải:

a) Thời gian của một chu kì hô hấp đầy đủ chính là một chu kì tuần hoàn của hàm v(t) và là T = $\frac{{2\pi }}{{\frac{\pi }{3}}} = 6$ (giây).

Ta có: 1 phút = 60 giây.

Do đó, số chu kì hô hấp trong một phút của người đó là $\frac{{60}}{6} = 10$ (chu kì).

b) Ta có: $v = 0{,}85\sin \frac{{\pi t}}{3}$

+) v > 0 khi $0{,}85\sin \frac{{\pi t}}{3} > 0 \Leftrightarrow \sin \frac{{\pi t}}{3} > 0$

Mà – 1 ≤ sin $\frac{{\pi t}}{3}$ ≤ 1 với mọi x ∈ ℝ. Do đó, $0 < \sin \frac{{\pi t}}{3} \le 1$.

+) v < 0 khi $0{,}85\sin \frac{{\pi t}}{3} < 0 \Leftrightarrow \sin \frac{{\pi t}}{3} < 0$

Mà – 1 ≤ sin $\frac{{\pi t}}{3}$ ≤ 1 với mọi x ∈ ℝ. Do đó, $- 1 \le \sin \frac{{\pi t}}{3} < 0$.

+) Với t ∈ (0; 3) ta có $0 < \sin \frac{{\pi t}}{3} \le 1$.

+) Với t ∈ (3; 5] ta có $- 1 \le \sin \frac{{\pi t}}{3} < 0$.

Vậy trong khoảng thời gian từ 0 đến 5 giây, khoảng thời điểm sau 0 giây đến trước 3 giây thì người đó hít vào và khoảng thời điểm sau 3 giây đến 5 giây thì người đó thở ra.

Lời giải:

a) Hàm số y = f(x) = cos x có tập xác định là D = ℝ.

Do đó, nếu x thuộc tập xác định D thì – x cũng thuộc tập xác định D.

Ta có: f(– x) = cos (– x) = cos x = f(x), ∀ x ∈ D.

Vậy y = cos x là hàm số chẵn.

b) Ta có: cos 0 = 1, $\cos \frac{\pi }{4} = \frac{{\sqrt 2 }}{2},\cos \frac{\pi }{2} = 0,\,\cos \frac{{3\pi }}{4} = - \frac{{\sqrt 2 }}{2}$, cos π = – 1.

Vì y = cos x là hàm số chẵn nên $\cos \left( { - \frac{\pi }{4}} \right) = \cos \frac{\pi }{4} = \frac{{\sqrt 2 }}{2}$, $\cos \left( { - \frac{\pi }{2}} \right) = \cos \frac{\pi }{2} = 0$,

$\cos \left( { - \frac{{3\pi }}{4}} \right) = \cos \frac{{3\pi }}{4} = - \frac{{\sqrt 2 }}{2}$, cos(– π) = cos π = – 1.

Vậy ta hoàn thành được bảng như sau:

c) Quan sát Hình 1.15, ta thấy đồ thị hàm số y = cos x có:

+) Tập giá trị là [– 1; 1];

+) Đồng biến trên mỗi khoảng $\left( { - \pi + k2\pi ;\,k2\pi } \right)$ (do đồ thị hàm số đi lên từ trái sang phải trên mỗi khoảng này) và nghịch biến trên mỗi khoảng $\left( {k2\pi ;\,\pi + k2\pi } \right),\,k \in \mathbb{Z}$ (do đồ thị hàm số đi xuống từ trái sang phải trên mỗi khoảng này).

Lời giải:

Ta có: – 1 ≤ cos x ≤ 1 với mọi x ∈ ℝ.

Suy ra (– 3) . (– 1) ≥ – 3cos x ≥ (– 3) . 1 hay – 3 ≤ – 3cos x ≤ 3 với mọi x ∈ ℝ.

Vậy hàm số y = – 3cos x có tập giá trị là [– 3; 3].

Lời giải:

a) Ta có: – 5cos 4πt = 5cos(4πt + π).

Khi đó vật dao động điều hòa theo phương trình x(t) = 5cos(4πt + π) (cm) với biên độ dao động là A = 5 > 0 và pha ban đầu của dao động là φ = π.

b) Pha của dao động tại thời điểm t = 2 (giây) là ωt + φ = 4π . 2 + π = 9π.

Dao động điều hòa có chu kì là $T = \frac{{2\pi }}{\omega } = \frac{{2\pi }}{{4\pi }} = \frac{1}{2} = 0{,}5$, có nghĩa là khoảng thời gian để vật thực hiện một dao động toàn phần là 0,5 giây. Do đó, trong khoảng thời gian 2 giây, vật thực hiện được 2 : 0,5 = 4 dao động toàn phần.

Lời giải:

a) Hàm số y = f(x) = tan x có tập xác định là D = ℝ \ $\left\{ {\frac{\pi }{2} + k\pi |k \in \mathbb{Z}} \right\}$.

Do đó, nếu x thuộc tập xác định D thì – x cũng thuộc tập xác định D.

Ta có: f(– x) = tan (– x) = – tan x = – f(x), ∀ x ∈ D.

Vậy y = tan x là hàm số lẻ.

b) Ta có: tan 0 = 0, $\tan \frac{\pi }{4} = 1,\tan \frac{\pi }{3} = \sqrt 3 ,\tan \frac{\pi }{6} = \frac{{\sqrt 3 }}{3}$.

Vì y = tan x là hàm số lẻ nên $\tan \left( { - \frac{\pi }{4}} \right) = - \tan \frac{\pi }{4} = - 1$, $\tan \left( { - \frac{\pi }{3}} \right) = - \tan \frac{\pi }{3} = - \sqrt 3$,

$\tan \left( { - \frac{\pi }{6}} \right) = - \tan \frac{\pi }{6} = - \frac{{\sqrt 3 }}{3}$.

Vậy ta hoàn thành được bảng như sau:

c) Quan sát Hình 1.16, ta thấy đồ thị hàm số y = tan x có:

+) Tập giá trị là ℝ;

+) Đồng biến trên mỗi khoảng $\left( { - \frac{\pi }{2} + k\pi ;\,\,\frac{\pi }{2} + k\pi } \right),\,k \in \mathbb{Z}$ (do đồ thị hàm số đi lên từ trái sang phải trên mỗi khoảng này).

Lời giải:

Hàm số y = tan x nhận giá trị âm ứng với phần đồ thị nằm dưới trục hoành. Từ đồ thị ở Hình 1.16 ta suy ra trên đoạn $\left[ { - \pi ;\,\frac{{3\pi }}{2}} \right]$ thì y < 0 khi $x \in \left( { - \frac{\pi }{2};\,0} \right) \cup \left( {\frac{\pi }{2};\,\pi } \right)$.

Lời giải: a) Hàm số y = f(x) = cot x có tập xác định là D = ℝ \ {kπ | k ∈ ℤ}.

Do đó, nếu x thuộc tập xác định D thì – x cũng thuộc tập xác định D.

Ta có: f(– x) = cot (– x) = – cot x = – f(x), ∀ x ∈ D.

Vậy y = cot x là hàm số lẻ.

b) Ta có: $\cot \frac{\pi }{6} = \sqrt 3 ,\cot \frac{\pi }{4} = 1,\,\cot \frac{\pi }{3} = \frac{{\sqrt 3 }}{3},\cot \frac{\pi }{2} = 0$,

$\cot \frac{{2\pi }}{3} = - \frac{{\sqrt 3 }}{3},\cot \frac{{3\pi }}{4} = - 1,\,\cot \frac{{5\pi }}{6} = - \sqrt 3$.

Vậy ta hoàn thành được bảng như sau:

c) Quan sát Hình 1.17, ta thấy đồ thị hàm số y = cot x có:

+) Tập giá trị là ℝ;

+) Nghịch biến trên mỗi khoảng $\left( {k\pi ;\,\pi + k\pi } \right),\,k \in \mathbb{Z}$ (do đồ thị hàm số đi xuống từ trái sang phải trên mỗi khoảng này).

Lời giải:

Hàm số y = cot x nhận giá trị dương ứng với phần đồ thị nằm trên trục hoành. Từ đồ thị ở Hình 1.17 ta suy ra trên đoạn $\left[ { - \frac{\pi }{2};\,2\pi } \right]$ thì y > 0 khi $x \in \left( {0;\,\,\frac{\pi }{2}} \right) \cup \left( {\pi ;\,\,\frac{{3\pi }}{2}} \right)$.

Lời giải:

a) Biểu thức $\frac{{1 - \cos x}}{{\sin x}}$ có nghĩa khi sin x ≠ 0, tức là x ≠ kπ, k ∈ ℤ.

Vậy tập xác định của hàm số $y = \frac{{1 - \cos x}}{{\sin x}}$ là D = ℝ \ {kπ | k ∈ ℤ}.

b) Biểu thức $\sqrt {\frac{{1 + \cos x}}{{2 - \cos x}}}$ có nghĩa khi $\left\{ \begin{array}{l}\frac{{1 + \cos x}}{{2 - \cos x}} \ge 0\\2 - \cos x \ne 0\end{array} \right.$.

Vì – 1 ≤ cos x ≤ 1 nên 1 + cos x ≥ 0 với mọi x ∈ ℝ và 2 – cos x ≥ 1 > 0 với mọi x ∈ ℝ.

Do đó, 2 – cos x ≠ 0 với mọi x ∈ ℝ và $\frac{{1 + \cos x}}{{2 - \cos x}} \ge 0$ với mọi x ∈ ℝ.

Vậy tập xác định của hàm số $y = \sqrt {\frac{{1 + \cos x}}{{2 - \cos x}}}$ là D = ℝ.

Lời giải:

a) Biểu thức sin 2x + tan 2x có nghĩa khi cos 2x ≠ 0 (do $\tan 2x = \frac{{\sin 2x}}{{\cos 2x}}$), tức là $2x \ne \frac{\pi }{2} + k\pi ,k \in \mathbb{Z}$ $\Leftrightarrow x \ne \frac{\pi }{4} + k\frac{\pi }{2},k \in \mathbb{Z}$.

Suy ra tập xác định của hàm số y = f(x) = sin 2x + tan 2x là $D = \mathbb{R}\backslash \left\{ {\frac{\pi }{4} + k\frac{\pi }{2}|k \in \mathbb{Z}} \right\}$.

Do đó, nếu x thuộc tập xác định D thì – x cũng thuộc tập xác định D.

Ta có: f(– x) = sin (– 2x) + tan (– 2x) = – sin 2x – tan 2x = – (sin 2x + tan 2x) = – f(x), ∀ x ∈ D.

Vậy y = sin 2x + tan 2x là hàm số lẻ.

b) Tập xác định của hàm số y = f(x) = cos x + sin$^{2}$ x là D = ℝ.

Do đó, nếu x thuộc tập xác định D thì – x cũng thuộc tập xác định D.

Ta có: f(– x) = cos (– x) + sin$^{2}$ (– x) = cos x + (– sin x)$^{2}$ = cos x + sin$^{2}$ x = f(x), ∀ x ∈ D.

Vậy y = cos x + sin$^{2}$ x là hàm số chẵn.

c) Tập xác định của hàm số y = f(x) = sin x cos 2x là D = ℝ.

Do đó, nếu x thuộc tập xác định D thì – x cũng thuộc tập xác định D.

Ta có: f(– x) = sin (– x) . cos (– 2x) = – sin x . cos 2x = – f(x), ∀ x ∈ D.

Vậy y = sin x cos 2x là hàm số lẻ.

d) Tập xác định của hàm số y = f(x) = sin x + cos x là D = ℝ.

Do đó, nếu x thuộc tập xác định D thì – x cũng thuộc tập xác định D.

Ta có: f(– x) = sin (– x) + cos (– x) = – sin x + cos x ≠ – f(x).

Vậy y = sin x + cos x là hàm số không chẵn, không lẻ.

Lời giải:

a) Ta có: $- 1 \le \sin \left( {x - \frac{\pi }{4}} \right) \le 1$ với mọi x ∈ ℝ

$\Leftrightarrow - 2 \le 2\sin \left( {x - \frac{\pi }{4}} \right) \le 2$ với mọi x ∈ ℝ

$\Leftrightarrow - 2 - 1 \le 2\sin \left( {x - \frac{\pi }{4}} \right) - 1 \le 2 - 1$ với mọi x ∈ ℝ

$\Leftrightarrow - 3 \le 2\sin \left( {x - \frac{\pi }{4}} \right) - 1 \le 1$ với mọi x ∈ ℝ

⇔ – 3 ≤ y ≤ 1 với mọi x ∈ ℝ.

Vậy tập giá trị của hàm số y = $2\sin \left( {x - \frac{\pi }{4}} \right) - 1$ là [– 3; 1].

b) Vì – 1 ≤ cos x ≤ 1 với mọi x ∈ ℝ nên 0 ≤ 1 + cos x ≤ 2 với mọi x ∈ ℝ.

Do đó, $0 \le \sqrt {1 + \cos x} \le \sqrt 2$ với mọi x ∈ ℝ.

Suy ra $- 2 \le \sqrt {1 + \cos x} - 2 \le \sqrt 2 - 2$ với mọi x ∈ ℝ.

Hay $- 2 \le y \le \sqrt 2 - 2$với mọi x ∈ ℝ.

Vậy tập giá trị của hàm số y = $\sqrt {1 + \cos x} - 2$ là $\left[ { - 2;\,\,\sqrt 2 - 2} \right]$.

Lời giải:

Ta có đồ thị của hàm số y = tan x như hình vẽ dưới đây.

Ta có tan x = 0 khi hàm số y = tan x nhận giá trị bằng 0 ứng với các điểm x mà đồ thị giao với trục hoành. Từ đồ thị ở hình trên ta suy ra y = 0 hay tan x = 0 khi x = kπ, k ∈ ℤ.

Lời giải:

a) Chu kì của sóng là $T = \frac{{2\pi }}{{\frac{\pi }{{10}}}} = 20$ (giây).

b) Ta có: h(t) = $90\cos \left( {\frac{\pi }{{10}}.t} \right)$, hàm số này có giá trị lớn nhất và nhỏ nhất lần lượt là 90 và – 90.

Vậy chiều cao của sóng là 180 cm.