Giải SGK Toán 11 KNTT Bài 1. Giá trị lượng giác của góc lượng giác có đáp án

Lời giải:

Sau bài học này ta sẽ giải quyết được bài toán trên như sau:

Bán kính quỹ đạo của trạm vũ trụ quốc tế là R = 6 400 + 400 = 6 800 (km).

Đổi $45^\circ = 45 \cdot \frac{\pi }{{180}} = \frac{\pi }{4}\,rad$.

Vậy trong khi được trạm mặt đất theo dõi, trạm ISS đã di chuyển một quãng đường có độ dài là l = Rα = $6\,800 \cdot \frac{\pi }{4} \approx 5\,340{,}708 \approx 5\,341$ (km).

Lời giải:

Quan sát đồng hồ ta thấy một vòng tròn theo chiều quay của kim phút được chia thành 12 phần bằng nhau.

a) Trên đồng hồ ở Hình 1.2, kim phút đang chỉ đúng số 2, để nó chỉ đúng số 12 khi quay kim phút theo chiều quay ngược chiều kim đồng hồ thì ta phải quay kim phút từ vị trí số 2 đến vị trí số 12 theo chiều ngược chiều kim đồng hồ, nghĩa là quay kim phút một khoảng bằng $\frac{2}{{12}} = \frac{1}{6}$ vòng tròn.

b) Trên đồng hồ ở Hình 1.2, kim phút đang chỉ đúng số 2, để nó chỉ đúng số 12 khi quay kim phút theo chiều quay của chiều kim đồng hồ thì ta phải quay kim phút từ vị trí số 2 đến vị trí số 12 theo chiều quay của kim đồng hồ, nghĩa là quay kim phút một khoảng bằng $\frac{{10}}{{12}} = \frac{5}{6}$ vòng tròn.

c) Có vô số cách quay kim phút theo một chiều xác định để kim phút từ vị trí chỉ đúng số 2 về vị trí chỉ đúng số 12, đó là quay ngược chiều kim đồng hồ và quay theo chiều quay của kim đồng hồ theo từng số vòng nhất định.

Lời giải:

Ta có:

- Góc lượng giác tia đầu Ou, tia cuối Ov, quay theo chiều dương có số đo là

sđ(Ou, Ov) = 45°.

- Góc lượng giác có tia đầu Ou, tia cuối Ov, quay theo chiều âm có số đo là

sđ(Ou, Ov) = – (360° – 45°) = – 315°.

Lời giải:

a) Quan sát Hình 1.5 ta có:

sđ(Ou, Ov) = 30°;

sđ(Ov, Ow) = 45°;

sđ(Ou, Ow) = – (360° – 30° – 45°) = – 285°.

b) Ta có: sđ(Ou, Ov) + sđ(Ov, Ow) = 30° + 45° = 75°.

Lại có: – 285° + 1 . 360° = 75°.

Vậy tồn tại một số nguyên k = 1 để sđ(Ou, Ov) + sđ(Ov, Ow) = sđ(Ou, Ow) + k360°.

Lời giải:

Số đo của các góc lượng giác tia đầu Ou, tia cuối Ov là

sđ(Ou, Ov) = sđ(Ox, Ov) – sđ(Ox, Ou) + k360°

= – 270° – 240° + k360° = – 510° + k360°

= 210° – 720° + k360° = 210° + (k – 2)360°

= 210° + m360° (m = k – 2, m ∈ ℤ).

Vậy các góc lượng giác (Ou, Ov) có số đo là 210° + m360° (m ∈ ℤ).

Lời giải:

a) Ta có: $360^\circ = 360 \cdot \frac{\pi }{{180}} = 2\pi$;

$- 450^\circ = - 450 \cdot \frac{\pi }{{180}} = - \frac{{5\pi }}{2}$.

b) Ta có: $3\pi = 3\pi \cdot \left( {\frac{{180}}{\pi }} \right)\begin{array}{cccccccccccccccccccc}^\circ \\{}\end{array} = 540^\circ$;

$- \frac{{11\pi }}{5} = - \frac{{11\pi }}{5} \cdot \left( {\frac{{180}}{\pi }} \right)\begin{array}{cccccccccccccccccccc}^\circ \\{}\end{array} = - 396^\circ$.

Lời giải:

a) Theo lí thuyết ta có cung tròn có số đo bằng 1 rad nếu độ dài của nó đúng bằng bán kính R. Do đó, độ dài của cung tròn có số đo bằng 1 rad là R.

b) Vì độ dài của cung tròn có đo bằng 1 rad là R nên độ dài của cung tròn có số đo α rad là l = Rα.

Lời giải:

Bán kính quỹ đạo của trạm vũ trụ quốc tế là R = 6 400 + 400 = 6 800 (km).

Đổi $45^\circ = 45 \cdot \frac{\pi }{{180}} = \frac{\pi }{4}\,rad$.

Vậy trong khi được trạm mặt đất theo dõi, trạm ISS đã di chuyển một quãng đường có độ dài là l = Rα = $6\,800 \cdot \frac{\pi }{4} \approx 5\,340{,}708 \approx 5\,341$ (km).

Lời giải:

a) Ta có: sđ(OA, OM) = $\frac{{5\pi }}{4} = \pi + \frac{\pi }{4}$.

Điểm M trên đường tròn sao cho sđ(OA, OM) = $\frac{{5\pi }}{4}$ được xác định như trên hình vẽ dưới đây:

b) Ta có: sđ(OA, ON) = $- \frac{{7\pi }}{4} = - \left( {\frac{{3\pi }}{4} + \pi } \right)$.

Điểm N trên đường tròn sao cho sđ(OA, ON) = $- \frac{{7\pi }}{4}$ được xác định như trên hình vẽ dưới đây:

Lời giải:

Ta có: $- \frac{{15\pi }}{4} = - \left( {\frac{{3\pi }}{4} + 3\pi } \right)$, điểm M trên đường tròn lượng giác biểu diễn góc lượng giác có số đo bằng $- \frac{{15\pi }}{4}$ được xác định trong hình dưới đây:

Ta có: 420° = 60° + 360°, điểm N trên đường tròn lượng giác biểu diễn góc lượng giác có số đo bằng 420° được xác định trong hình dưới đây:

Lời giải:

Với mỗi góc α (0° ≤ α ≤ 180°), gọi M(x$_{0}$; y$_{0}$) là điểm trên nửa đường tròn đơn vị sao cho $\widehat {xOM} = \alpha$. Khi đó:

• sin của góc α là tung độ y$_{0}$ của điểm M, kí hiệu là sin α

sin α = y$_{0}$.

• côsin của góc α là hoành độ của x$_{0}$ của điểm M, kí hiệu là cos α

cos α = x$_{0}$.

• Khi α ≠ 90° (hay là x$_{0}$ ≠ 0), tang của α là $\frac{{{y_0}}}{{{x_0}}}$, kí hiệu là tan α

$\tan \alpha = \frac{{\sin \alpha }}{{\cos \alpha }} = \frac{{{y_0}}}{{{x_0}}}$.

• Khi α ≠ 0° và α ≠ 180° (hay là y$_{0}$ ≠ 0), côtang của α là $\frac{{{x_0}}}{{{y_0}}}$, kí hiệu là cot α.

$\cot \alpha = \frac{{\cos \alpha }}{{\sin \alpha }} = \frac{{{x_0}}}{{{y_0}}}$.

Lời giải:

a) Điểm M trên đường tròn lượng giác biểu diễn góc lượng giác có số đo bằng $\frac{{5\pi }}{6}$ được xác định trong hình sau:

b) Ta có:

$\cos \frac{{5\pi }}{6} = - \frac{{\sqrt 3 }}{2};\,\,\sin \frac{{5\pi }}{6} = \frac{1}{2}$;

$\tan \frac{{5\pi }}{6} = \frac{{\sin \frac{{5\pi }}{6}}}{{\cos \frac{{5\pi }}{6}}} = - \frac{{\sqrt 3 }}{3};\,\cot \frac{{5\pi }}{6} = \frac{{\cos \frac{{5\pi }}{6}}}{{\sin \frac{{5\pi }}{6}}} = - \sqrt 3$.

Lời giải:

Dùng máy tính cầm tay fx570 VN PLUS.

a) + Để tính $\cos \frac{{3\pi }}{7}$ ta thực hiện bấm phím lần lượt như sau:

Màn hình hiện 0,222520934

Vậy $\cos \frac{{3\pi }}{7}$ ≈ 0,222520934.

+ Để tính tan (– 37°25') ta thực hiện bấm phím lần lượt như sau:

Màn hình hiện – 0,76501876

Vậy tan (– 37°25') ≈ – 0,76501876.

b) Đổi 179°23'30" sang rađian ta thực hiện bấm phím lần lượt như sau:

Màn hình hiện 3,130975234

Vậy 179°23'30" ≈ 3,130975234 (rad).

c) Đổi $\frac{7}{9}$ (rad) sang độ ta thực hiện bấm phím lần lượt như sau:

Màn hình hiện 44°33'48,18"

Vậy $\frac{7}{9}$ (rad) = 44°33'48,18".

Lời giải:

a) Theo định nghĩa, ta có: sin α = y, cos α = x.

Do đó, sin$^{2}$ α + cos$^{2}$ α = (sin α)$^{2}$ + (cos α)$^{2}$ = y$^{2}$ + x$^{2}$.

Từ hình vẽ ta thấy x$^{2}$ + y$^{2}$ = R$^{2}$ = 1 (theo định lí Pythagore và đường tròn đơn vị có bán kính R = 1).

Vậy sin$^{2}$ α + cos$^{2}$ α = 1.

b) Theo định nghĩa với $\alpha \ne \frac{\pi }{2} + k\pi \,\,\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)$, ta có: $\tan \alpha = \frac{{\sin \alpha }}{{\cos \alpha }}$

$\Rightarrow {\tan ^2}\alpha = {\left( {\frac{{\sin \alpha }}{{\cos \alpha }}} \right)^2} = \frac{{{{\sin }^2}\alpha }}{{{{\cos }^2}\alpha }}$.

Do đó, $1 + {\tan ^2}\alpha = 1 + \frac{{{{\sin }^2}\alpha }}{{{{\cos }^2}\alpha }} = \frac{{{{\cos }^2}\alpha + {{\sin }^2}\alpha }}{{{{\cos }^2}\alpha }} = \frac{1}{{{{\cos }^2}\alpha }}$.

Vậy $1 + {\tan ^2}\alpha = \frac{1}{{{{\cos }^2}\alpha }}$.

Lời giải:

Vì $\pi < \alpha < \frac{{3\pi }}{2}$ nên sin α < 0. Mặt khác, từ sin$^{2}$ α + cos$^{2}$ α = 1 suy ra

$\sin \alpha = - \sqrt {1 - {{\cos }^2}\alpha } = - \sqrt {1 - {{\left( { - \frac{2}{3}} \right)}^2}} = - \frac{{\sqrt 5 }}{3}$.

Do đó, $\tan \alpha = \frac{{\sin \alpha }}{{\cos \alpha }} = \frac{{ - \frac{{\sqrt 5 }}{3}}}{{ - \frac{2}{3}}} = \frac{{\sqrt 5 }}{2}$ và $\cot \alpha = \frac{1}{{\tan \alpha }} = \frac{1}{{\frac{{\sqrt 5 }}{2}}} = \frac{2}{{\sqrt 5 }} = \frac{{2\sqrt 5 }}{5}$.

Lời giải:

a) Giả sử M(x$_{M}$; y$_{M}$), N(x$_{N}$; y$_{N}$).

Từ Hình 1.12a, ta thấy hai điểm M và N đối xứng với nhau qua trục hoành Ox, do đó ta có: x$_{M}$ = x$_{N}$ và y$_{M}$ = – y$_{N}$.

Theo định nghĩa giá trị lượng giác của một góc, ta lại có:

cos α = x$_{M}$ và cos (– α) = x$_{N}$. Suy ra cos (– α) = cos α.

sin α = y$_{M}$ và sin (– α) = y$_{N}$. Suy ra sin α = – sin (– α) hay sin (– α) = – sin α.

b) Ta có: $\tan \left( { - \alpha } \right) = \frac{{\sin \left( { - \alpha } \right)}}{{\cos \left( { - \alpha } \right)}} = \frac{{ - \sin \alpha }}{{\cos \alpha }} = - \frac{{\sin \alpha }}{{\cos \alpha }} = - \tan \alpha$;

$\cot \left( { - \alpha } \right) = \frac{{\cos \left( { - \alpha } \right)}}{{\sin \left( { - \alpha } \right)}} = \frac{{\cos \alpha }}{{ - \sin \alpha }} = - \frac{{\cos \alpha }}{{\sin \alpha }} = - \cot \alpha$.

Vậy tan (– α) = – tan α; cot (– α) = – cot α.

Lời giải:

Ta có:

a) sin(– 675°) = sin(45° – 2 . 360°) = sin 45° = $\frac{{\sqrt 2 }}{2}$.

b) $\tan \frac{{15\pi }}{4} = \tan \left( { - \frac{\pi }{4} + 4\pi } \right) = \tan \left( { - \frac{\pi }{4}} \right) = - \tan \frac{\pi }{4} = - 1$.

Lời giải:

a) Thời điểm 6 giờ sáng, tức t = 6, khi đó B(6) = 80 + 7sin$\frac{{6\pi }}{{12}}$ = 87.

Vậy huyết áp tâm trương của người đó vào lúc 6 giờ sáng là 87 mmHg.

b) Thời điểm 10 giờ 30 phút sáng, tức t = 10,5, khi đó B(10,5) = 80 + 7sin$\frac{{10{,}5\pi }}{{12}}$ ≈ 82,68.

Vậy huyết áp tâm trương của người đó vào lúc 10 giờ 30 phút sáng xấp xỉ 82,68 mmHg.

c) Thời điểm 12 giờ trưa, tức t = 12, khi đó B(12) = 80 + 7sin$\frac{{12\pi }}{{12}}$ = 80.

Vậy huyết áp tâm trương của người đó vào lúc 12 giờ trưa là 80 mmHg.

d) Thời điểm 8 giờ tối hay 20 giờ, tức t = 20, khi đó B(20) = 80 + 7sin$\frac{{20\pi }}{{12}}$ = $\frac{{160 - 7\sqrt 3 }}{2}.$

Vậy huyết áp tâm trương của người đó vào lúc 8 giờ tối là $\frac{{160 - 7\sqrt 3 }}{2}$ mmHg.

Lời giải:

Để hoàn thành bảng đã cho, ta thực hiện chuyển đổi từ độ sang rađian và từ rađian sang độ.

Ta có: 15° = 15 . $\frac{\pi }{{180}}$ = $\frac{\pi }{{12}}$;

0° = 0 . $\frac{\pi }{{180}}$ = 0;

900° = 900 . $\frac{\pi }{{180}}$ = 5π;

$\frac{{3\pi }}{8} = \frac{{3\pi }}{8} \cdot \left( {\frac{{180}}{\pi }} \right)\begin{array}{cccccccccccccccccccc}^\circ \\{}\end{array} = 67{,}5^\circ$;

$- \frac{{7\pi }}{{12}} = - \frac{{7\pi }}{{12}} \cdot \left( {\frac{{180}}{\pi }} \right)\begin{array}{cccccccccccccccccccc}^\circ \\{}\end{array} = - 105^\circ$;

$- \frac{{11\pi }}{8} = - \frac{{11\pi }}{8} \cdot \left( {\frac{{180}}{\pi }} \right)\begin{array}{cccccccccccccccccccc}^\circ \\{}\end{array} = - 247{,}5^\circ$.

Vậy ta hoàn thành được bảng như sau:

Lời giải:

a) Độ dài của cung tròn có số đo $\frac{\pi }{{12}}$ trên đường tròn có bán kính R = 20 cm là

l$_{1}$ = 20 . $\frac{\pi }{{12}}$ = $\frac{{5\pi }}{3}$ (cm).

b) Độ dài của cung tròn có số đo 1,5 trên đường tròn có bán kính R = 20 cm là

l$_{2}$ = 20 . 1,5 = 30 (cm).

c) Ta có: 35° = 35 . $\frac{\pi }{{180}}$ = $\frac{{7\pi }}{{36}}$.

Độ dài của cung tròn có số đo 35° trên đường tròn có bán kính R = 20 cm là

l$_{3}$ = 20 . $\frac{{7\pi }}{{36}}$ = $\frac{{35\pi }}{9}$ (cm).

d) Ta có: 315° = 315 . $\frac{\pi }{{180}}$ = $\frac{{7\pi }}{4}$.

Độ dài của cung tròn có số đo 315° trên đường tròn có bán kính R = 20 cm là

l$_{4}$ = 20 . $\frac{{7\pi }}{4}$ = 35π (cm).

Lời giải:

a) Điểm M trên đường tròn lượng giác biểu diễn góc lượng giác có số đo bằng $\frac{{2\pi }}{3}$ được xác định trong hình sau:

b) Ta có: $- \frac{{11\pi }}{4} = - \left( {\frac{{3\pi }}{4} + 2\pi } \right)$.

Điểm M trên đường tròn lượng giác biểu diễn góc lượng giác có số đo bằng $- \frac{{11\pi }}{4}$ được xác định trong hình sau:

c) Điểm M trên đường tròn lượng giác biểu diễn góc lượng giác có số đo bằng 150° được xác định trong hình sau:

d) Điểm M trên đường tròn lượng giác biểu diễn góc lượng giác có số đo bằng – 225° được xác định trong hình sau:

Lời giải:

a) Vì 0 < α < $\frac{\pi }{2}$ nên sin α > 0. Mặt khác, từ sin$^{2}$ α + cos$^{2}$ α = 1 suy ra

$\sin \alpha = \sqrt {1 - {{\cos }^2}\alpha } = \sqrt {1 - {{\left( {\frac{1}{5}} \right)}^2}} = \frac{{2\sqrt 6 }}{5}$.

Do đó, $\tan \alpha = \frac{{\sin \alpha }}{{\cos \alpha }} = \frac{{\frac{{2\sqrt 6 }}{5}}}{{\frac{1}{5}}} = 2\sqrt 6$ và $\cot \alpha = \frac{1}{{\tan \alpha }} = \frac{1}{{2\sqrt 6 }} = \frac{{\sqrt 6 }}{{12}}$.

b) Vì $\frac{\pi }{2} < \alpha < \pi$ nên cos α < 0. Mặt khác, từ sin$^{2}$ α + cos$^{2}$ α = 1 suy ra

$\cos \alpha = - \sqrt {1 - {{\sin }^2}\alpha } = - \sqrt {1 - {{\left( {\frac{2}{3}} \right)}^2}} = - \frac{{\sqrt 5 }}{3}$.

Do đó, $\tan \alpha = \frac{{\sin \alpha }}{{\cos \alpha }} = \frac{{\frac{2}{3}}}{{ - \frac{{\sqrt 5 }}{3}}} = - \frac{2}{{\sqrt 5 }} = - \frac{{2\sqrt 5 }}{5}$ và $\cot \alpha = \frac{1}{{\tan \alpha }} = \frac{1}{{ - \frac{{2\sqrt 5 }}{5}}} = - \frac{{\sqrt 5 }}{2}$.

c) Ta có: $\cot \alpha = \frac{1}{{\tan \alpha }} = \frac{1}{{\sqrt 5 }} = \frac{{\sqrt 5 }}{5}$.

Vì $\pi < \alpha < \frac{{3\pi }}{2}$ nên cos α < 0. Mặt khác, từ $1 + {\tan ^2}\alpha = \frac{1}{{{{\cos }^2}\alpha }}$ suy ra

$\cos \alpha = - \sqrt {\frac{1}{{1 + {{\tan }^2}\alpha }}} = - \sqrt {\frac{1}{{1 + {{\left( {\sqrt 5 } \right)}^2}}}} = - \frac{{\sqrt 6 }}{6}$.

Mà $\tan \alpha = \frac{{\sin \alpha }}{{\cos \alpha }} \Rightarrow \sin \alpha = \tan \alpha .\cot \alpha = \sqrt 5 .\left( { - \frac{{\sqrt 6 }}{6}} \right) = - \frac{{\sqrt {30} }}{6}$.

d) Ta có: $\tan \alpha = \frac{1}{{\cot \alpha }} = \frac{1}{{ - \frac{1}{{\sqrt 2 }}}} = - \sqrt 2$.

Vì $\frac{{3\pi }}{2} < \alpha < 2\pi$ nên cos α > 0. Mặt khác, từ $1 + {\tan ^2}\alpha = \frac{1}{{{{\cos }^2}\alpha }}$ suy ra

$\cos \alpha = \sqrt {\frac{1}{{1 + {{\tan }^2}\alpha }}} = \sqrt {\frac{1}{{1 + {{\left( { - \sqrt 2 } \right)}^2}}}} = \frac{{\sqrt 3 }}{3}$.

Mà $\tan \alpha = \frac{{\sin \alpha }}{{\cos \alpha }} \Rightarrow \sin \alpha = \tan \alpha .\cot \alpha = - \sqrt 2 .\left( {\frac{{\sqrt 3 }}{3}} \right) = - \frac{{\sqrt 6 }}{3}$.

Lời giải:

a) Áp dụng sin$^{2}$ α + cos$^{2}$ α = 1, suy ra sin$^{2}$ α = 1 – cos$^{2}$ α.

Ta có: VT = cos$^{4}$ α – sin$^{4}$ α = (cos$^{2}$ α)$^{2}$ – (sin$^{2}$ α)$^{2}$

= (cos$^{2}$ α + sin$^{2}$ α)(cos$^{2}$α – sin$^{2}$ α)

= 1 . (cos$^{2}$α – sin$^{2}$ α)

= cos$^{2}$ α – (1 – cos$^{2}$ α)

= 2cos$^{2}$ α – 1 = VP (đpcm).

b) Áp dụng các hệ thức lượng giác cơ bản.

Ta có: $VT = \frac{{{{\cos }^2}\alpha + {{\tan }^2}\alpha - 1}}{{{{\sin }^2}\alpha }}$$= \frac{{{{\cos }^2}\alpha }}{{{{\sin }^2}\alpha }} + \frac{{{{\tan }^2}\alpha }}{{{{\sin }^2}\alpha }} - \frac{1}{{{{\sin }^2}\alpha }}$

$= {\cot ^2}\alpha + \frac{{\frac{{{{\sin }^2}\alpha }}{{{{\cos }^2}\alpha }}}}{{{{\sin }^2}\alpha }} - \left( {1 + {{\cot }^2}\alpha } \right)$$= {\cot ^2}\alpha + \frac{1}{{{{\cos }^2}\alpha }} - 1 - {\cot ^2}\alpha$

$= \frac{1}{{{{\cos }^2}\alpha }} - 1 = \left( {1 + {{\tan }^2}\alpha } \right) - 1 = {\tan ^2}\alpha = VP$ (đpcm).

Lời giải:

a) Trong 1 giây, bánh xe đạp quay được $\frac{{11}}{5}$ vòng.

Vì một vòng ứng với góc bằng 360° nên góc mà bánh quay xe quay được trong 1 giây là

$\frac{{11}}{5} \cdot 360 = 792^\circ$.

Vì một vòng ứng với góc bằng 2π nên góc mà bánh quay xe quay được trong 1 giây là

$\frac{{11}}{5} \cdot 2\pi = \frac{{22\pi }}{5}$ (rad).

b) Ta có: 1 phút = 60 giây.

Trong 1 phút bánh xe quay được $60 \cdot \frac{{11}}{5} = 132$ vòng.

Chu vi của bánh xe đạp là: C = 680π (mm).

Quãng đường mà người đi xe đạp đã đi được trong một phút là

680π . 132 = 89 760π (mm) = 89,76π (m).