Giải SGK Toán 11 CTST Bài 5: Phương trình lượng giác có đáp án

Để xác định được các thời điểm mà tại đó độ dài bóng OM bằng 10cm thì s = 10

⇔ 17cos5πt = 10

Ta cần giải phương trình cos5πt = $\frac{10}{17}$

Bài học này sẽ giúp chúng ta giải quyết phương trình trên.

a) x – 1 = 0 ⇔ x = 1.

Vậy tập nghiệm của phương trình là S$_{1}$ = {1}.

b) x$^{2}$ – 1 = 0 ⇔ x = 1 hoặc x = – 1

Vậy tập nghiệm của phương trình là S$_{2}$ = { – 1; 1}.

c) $\sqrt{2{x}^{2}-1}=x$

$\Rightarrow 2{x}^{2}-1={x}^{2}$

$\Rightarrow {x}^{2}=1$

$\Rightarrow [\begin{matrix}x=1 \\ x=-1\end{matrix}$

Thay x = 1 và x = – 1 vào phương trình ban đầu ta thấy x = 1 là thỏa mãn.

Vậy tập nghiệm của phương trình là S$_{3}$ = {1}.

Ta có nhận xét:

S$_{1}$ = S$_{3}$ ⊂ S$_{2}$.

Lỗi sai: Phương trình x$^{2}$ = 2x và phương trình $\frac{{x}^{2}}{x}=2$ không tương đương vì:

Phương trình x$^{2}$ = 2x có tập nghiệm S$_{1}$ = {0; 2}.

Phương trình $\frac{{x}^{2}}{x}=2$ có tập nghiệm S$_{2}$ = {2}.

a) Vì – 1 ≤ x ≤ 1 mà 1,5 > 1 nên không tồn tại giá trị của x để sinx = 1,5.

b) Trên Hình 1, những điểm trên đường tròn biểu diễn góc lượng giác x có sinx = 0,5 là điểm M và N.

Điểm M biểu diễn cho các góc lượng giác có số đo là $\frac{π}{6}+k2π,k\in ℤ$.

Điểm N biểu diễn cho các góc lượng giác có số đo là $\frac{5π}{6}+k2π,k\in ℤ$.

a) $s\text{inx}=\frac{\sqrt{3}}{2}$

Vì $\sin \frac{π}{3}=\frac{\sqrt{3}}{2}$ nên phương trình $s\text{inx}=\frac{\sqrt{3}}{2}=\sin \frac{π}{3}$có các nghiệm là:

$\text{x}=\frac{π}{3}+k2π$ và $x=\frac{2π}{3}+k2π$, k ∈ ℤ.

Vậy tập nghiệm của phương trình đã cho là: $S=\{\frac{π}{3}+k2π,\frac{2π}{3}+k2π,k\in ℤ\}$.

b) sin(x + 30°) = sin(x + 60°)

⇔ x + 30° = x + 60° + k360° hoặc x + 30° = 360° – x – 60° + k360° (k ∈ ℤ)

⇔ 30° = 60° + k360° (vô lí) hoặc x = 150° + k180° (k ∈ ℤ).

Vậy tập nghiệm của phương trình đã cho là: S = {150° + k180°, k ∈ ℤ}.

Trên đường tròn lượng giác điểm M và N biểu diễn diễn góc lượng giác x có $\text{cos}x=-\frac{1}{2}$.

Điểm M là điểm biểu diễn cho các góc lượng giác có số đo là: $\frac{2π}{3}+k2π,k\in ℤ$.

Điểm N là điểm biểu diễn cho các góc lượng giác có số đo là: $-\frac{2π}{3}+k2π,k\in ℤ$.

a) Vì – 3 < – 1 nên phương trình cosx = – 3 vô nghiệm.

b) cosx = cos15°

⇔ x = 15° + k360° hoặc x = – 15° + k360° .

Vậy tập nghiệm của phương trình là S = {15° + k360°; – 15° + k360°, k ∈ ℤ}.

c) $\text{cos}(x+\frac{π}{12})=\text{cos}\frac{3π}{12}$

$\Leftrightarrow x+\frac{π}{12}=\frac{3π}{12}+k2π$ hoặc $x+\frac{π}{12}=-\frac{3π}{12}+k2π,k\in ℤ$

$\Leftrightarrow x=\frac{π}{6}+k2π$ hoặc $x=-\frac{π}{3}+k2π,k\in ℤ$

Vậy tập nghiệm của phương trình là $S=\{\frac{π}{6}+k2π;-\frac{π}{3}+k2π,k\in ℤ\}$.

Ta thấy M và N là hai điểm biểu diễn các góc lượng giác thỏa mãn $\tan x=\sqrt{3}$.

Điểm M là điểm biểu diễn các góc lượng giác có số đo $\frac{π}{3}+k2π,k\in ℤ$.

Điểm N là điểm biểu diễn các góc lượng giác có số đo $-\frac{2π}{3}+kπ,k\in ℤ$.

a) Điều kiện xác định là: $x\ne \frac{π}{2}+kπ,k\in ℤ$.

Vì tan0 = 0 nên phương trình tanx = 0 có các nghiệm x = kπ, k ∈ ℤ.

Vậy tập nghiệm của phương trình là: S = {kπ, k ∈ ℤ}.

b) tan(30° – 3x) = tan75°

⇔ tan(3x – 30°) = tan(– 75°)

⇔ 3x – 30° = – 75° + k360°, k ∈ ℤ

⇔ 3x = – 45° + k360°, k ∈ ℤ

⇔ x = – 15° + k120°, k ∈ ℤ

Vậy tập nghiệm của phương trình là: S = { – 15° + k120°, k ∈ ℤ}.

Trên đường tròn lượng giác hai điểm M và N biểu diễn các góc lượng giác có số đo góc x thỏa mãn cotx = – 1.

Điểm M biểu diễn các góc lượng giác có số đo góc $\frac{3π}{4}+k2π,k\in ℤ$.

Điểm N biểu diễn các góc lượng giác có số đo góc $-\frac{π}{4}+k2π,k\in ℤ$.

a) Sử dụng máy tính cầm tay ta có: cos1,16 ≈ 0,4 nên cosx = cos1,16 do đó các nghiệm của phương trình là x = 1,16 + k2π và x = – 1,16 + k2π với k ∈ ℤ.

Vậy tập nghiệm của phương trình là S = {1,16 + k2π; – 1,16 + k2π, k ∈ ℤ}.

b) Sử dụng máy tính cầm tay ta có: $\tan \frac{π}{3}=\sqrt{3}$ nên $\text{tanx}=\tan \frac{π}{3}$ do đó các nghiệm của phương trình là $x=\frac{π}{3}+kπ$ với k ∈ ℤ.

Vậy tập nghiệm của phương trình là $S=\{\frac{π}{3}+kπ,k\in ℤ\}$.

Xét phương trình |17cos5πt| = 10

$\Leftrightarrow [\begin{matrix}17\cos 5πt=10 \\ 17\cos 5πt=-10\end{matrix}$
$\Leftrightarrow [\begin{matrix}\cos 5πt=\frac{10}{17} \\ \cos 5πt=-\frac{10}{17}\end{matrix}$
$\Leftrightarrow [\begin{matrix}5πt=\pm 0{,}9+k2π \\ 5πt=\pm 2{,}2+k2π\end{matrix},k\in ℤ$
$\Leftrightarrow [\begin{matrix}t=\pm 0{,}06+k\frac{2}{5} \\ t=\pm 0{,}14+k\frac{2}{5}\end{matrix},k\in ℤ$

Độ dài bóng |x| bằng 10 cm tại các thời điểm $t=\pm 0{,}06+k\frac{2}{5},t=\pm 0{,}14+k\frac{2}{5}(k\in ℤ)$.

a) Vì $s\text{in}\frac{π}{6}=\frac{1}{2}$ nên ta có phương trình $s\text{in2x}=\sin \frac{π}{6}$

$\Leftrightarrow \text{2x}=\frac{π}{6}+k2π$ và $\text{2x}=\frac{5π}{6}+k2π$ với k ∈ ℤ.

$\Leftrightarrow \text{x}=\frac{π}{12}+kπ$và $\text{x}=\frac{5π}{12}+kπ$với k ∈ ℤ.

Vậy tập nghiệm của phương trình là: $S=\{\frac{π}{12}+kπ,\frac{5π}{12}+kπ,k\in ℤ\}$.

b) $\sin (x-\frac{π}{7})=\sin \frac{2π}{7}$

$\Leftrightarrow [\begin{matrix}x-\frac{π}{7}=\frac{2π}{7}+k2π \\ x-\frac{π}{7}=\frac{5π}{7}+k2π\end{matrix},k\in ℤ$

$\Leftrightarrow [\begin{matrix}x=\frac{3π}{7}+k2π \\ x=\frac{6π}{7}+k2π\end{matrix},k\in ℤ$

Vậy tập nghiệm của phương trình là: $S=\{\frac{3π}{7}+k2π;\frac{6π}{7}+k2π,k\in ℤ\}$.

$\sin 4x-\text{cos}(x+\frac{π}{6})=0$

$\Leftrightarrow \sin 4x=\text{cos}(x+\frac{π}{6})$

$\Leftrightarrow \sin (4x)=\text{cos}(x+\frac{2π}{3}-\frac{π}{2})$

$\Leftrightarrow \sin (4x)=\text{cos}(\frac{π}{2}-(x+\frac{2π}{3}))$

$\Leftrightarrow \sin (4x)=\sin (x+\frac{2π}{3})$

$\Leftrightarrow [\begin{matrix}4x=x+\frac{2π}{3}+k2π \\ 4x=π-(x+\frac{2π}{3})+k2π\end{matrix},k\in ℤ$

$\Leftrightarrow [\begin{matrix}x=\frac{2π}{9}+k\frac{2π}{3} \\ x=\frac{π}{15}+k\frac{2π}{5}\end{matrix},k\in ℤ$

Vậy tập nghiệm của phương trình là: $S=\{\frac{2π}{9}+k\frac{2π}{3};\frac{π}{15}+k\frac{2π}{5},k\in ℤ\}$.

a) $\text{cos}(x+\frac{π}{3})=\frac{\sqrt{3}}{2}$

$\Leftrightarrow \text{cos}(x+\frac{π}{3})=\text{cos}\frac{π}{6}$

$\Leftrightarrow [\begin{matrix}x+\frac{π}{3}=\frac{π}{6}+k2π \\ x+\frac{π}{3}=-\frac{π}{6}+k2π\end{matrix},k\in ℤ$

$\Leftrightarrow [\begin{matrix}x=-\frac{π}{6}+k2π \\ x=-\frac{π}{2}+k2π\end{matrix},k\in ℤ$

Vậy tập nghiệm của phương trình là: $S=\{-\frac{π}{6}+k2π;-\frac{π}{2}+k2π,k\in ℤ\}$.

b) $\text{cos}4x=\cos \frac{5π}{12}$

$\Leftrightarrow 4x=\pm \frac{5π}{12}+k2π,k\in ℤ$

$\Leftrightarrow x=\pm \frac{5π}{48}+k\frac{π}{2},k\in ℤ$

Vậy tập nghiệm của phương trình là: $S=\{\pm \frac{5π}{48}+k\frac{π}{2},k\in ℤ\}$.

c) cos$^{2}$x = 1

$\Leftrightarrow [\begin{matrix}\text{cos}x=1 \\ \text{cos}x=-1\end{matrix}\Leftrightarrow [\begin{matrix}x=k2π \\ x=π+k2π\end{matrix}\Leftrightarrow x=kπ,k\in ℤ$.

Vậy tập nghiệm của phương trình là: $S=\{kπ,k\in ℤ\}$.

a) tanx = tan55° (điều kiện xác định x ≠ 90° + k180°).

⇔ x = 55° + k180°, k ∈ ℤ (thỏa mãn điều kiện)

Vậy tập nghiệm của phương trình S = {55° + k180°, k ∈ ℤ}.

b) $\tan (2x+\frac{π}{4})=0$ (điều kiện xác định $2x+\frac{π}{4}\ne \frac{π}{2}+k2π\Leftrightarrow x\ne \frac{π}{8}+kπ,k\in ℤ$)

$\Leftrightarrow 2x+\frac{π}{4}=kπ,k\in ℤ$

$\Leftrightarrow x=-\frac{π}{4}+k\frac{π}{2},k\in ℤ$ (thỏa mãn điều kiện)

Vậy tập nghiệm của phương trình là $S=\{-\frac{π}{4}+k\frac{π}{2},k\in ℤ\}$.

a) $\cot (\frac{1}{2}x+\frac{π}{4})=-1$ (điểu kiện xác định $x\ne \frac{π}{2}+k2π,k\in ℤ$)

$\Leftrightarrow \frac{1}{2}x+\frac{π}{4}=-\frac{π}{4}+kπ,k\in ℤ$

$\Leftrightarrow x=-π+k2π,k\in ℤ$ (thỏa mãn điều kiện)

Vậy tập nghiệm của phương trình là

b) $\cot 3x=-\frac{\sqrt{3}}{3}$ (điểu kiện xác định $x\ne k\frac{π}{3},k\in ℤ$)

$\Leftrightarrow \cot 3x=\cot (-\frac{π}{3})$

$\Leftrightarrow 3x=-\frac{π}{3}+kπ,k\in ℤ$

$\Leftrightarrow x=-\frac{π}{9}+k\frac{π}{3},k\in ℤ$

Vậy tập nghiệm của phương trình là $S=\{-\frac{π}{9}+k\frac{π}{3},k\in ℤ\}$.

Xét phương trình hoành độ giao điểm: sinx = cosx

⇔ cosx = $\text{cos}(\frac{π}{2}-x)$

⇔ $[\begin{matrix}x=\frac{π}{2}-x+k2π \\ x=-\frac{π}{2}+x+k2π\end{matrix}\Leftrightarrow x=\frac{π}{4}+k2π,k\in ℤ$

Vậy tập nghiệm của bất phương trình là: $S=\{\frac{π}{4}+k2π,k\in ℤ\}$.

Xét phương trình: $10\sin (10t+\frac{π}{2})=-5\sqrt{3}$

$\Leftrightarrow \sin (10t+\frac{π}{2})=-\frac{\sqrt{3}}{2}$

$\Leftrightarrow \sin (10t+\frac{π}{2})=\sin (-\frac{π}{3})$

$\Leftrightarrow [\begin{matrix}10t+\frac{π}{2}=-\frac{π}{3}+k2π \\ 10t+\frac{π}{2}=\frac{4π}{3}+k2π\end{matrix},k\in ℤ$

$\Leftrightarrow [\begin{matrix}t=-\frac{π}{12}+k\frac{π}{5} \\ t=\frac{π}{12}+k\frac{π}{5}\end{matrix},k\in ℤ$

Vậy vào các thời điểm $t=\frac{π}{12}+k\frac{π}{5}(k\ge 0,k\in ℤ)$ và $t=-\frac{π}{12}+k\frac{π}{5}(k\ge 1,k\in ℤ)$ thì $s=-5\sqrt{3}$ cm.

a) Sau t giây điểm M quét được một góc lượng giác có số đo là: $α=\frac{π}{10}t$ rad.

Xét tam giác HOM vuông tại O có:

MO = tanα.1 = $\tan (\frac{π}{10}t)$.

Vậy tọa độ y$_{M}$= $\tan (\frac{π}{10}t)$.

b) Xét $\tan (\frac{π}{10}t)=-1$

$\Leftrightarrow \tan (\frac{π}{10}t)=\tan (-\frac{π}{4})$

$\Leftrightarrow \frac{π}{10}t=-\frac{π}{4}+kπ,k\in ℤ$

$\Leftrightarrow t=-2{,}5+10k,k\in ℤ$

Vì t ≥ 0 nên tại các thời điểm $t=-2{,}5+10k,k\in ℤ,k\ge 1$ thì đèn hải đăng chiếu vào ngôi nhà.