Giải SGK Toán 11 CTST Bài 4. Khoảng cách trong không gian có đáp án

Trong công trình này có: Khoảng cách giữa 2 điểm (d$_{1}$), khoảng cách giữa 2 đường thẳng (d$_{2}$), khoảng cách từ một điểm đếm một đường thẳng (d$_{3}$), (d$_{4}$) khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng (d$_{5}$).

Để đo những đường nằm ngang, ta có thể dùng thước dây, còn những đường nằm thẳng đứng thì dùng dây dọi.

a) Ta có:

$\begin{matrix}SA\perp (ABCD)\Rightarrow SA\perp AB \\ AB\perp AD\ \end{matrix}\}\Rightarrow \text{AB}\perp (\text{SAD})$

d(B, (SAD)) = AB = a

b) Kẻ AH ⊥ SC.

Khi đó, d(A, SC) = AH.

• Tam giác ABC vuông tại B nên $AC=\sqrt{A{B}^{2}+B{C}^{2}}=a\sqrt{2}$.

• Tam giác SAC vuông tại A nên $SC=\sqrt{S{A}^{2}+A{C}^{2}}=a\sqrt{3}$.

T• am giác SAC vuông tại A có đường cao AH nên $AH=\frac{SA.AC}{SC}=\frac{a\sqrt{6}}{3}$.

Vậy d(A, SC) = $\frac{a\sqrt{6}}{3}$.

Đổi 20 cm = 0,2 m

Độ dài của cán quạt là: 3,6 − 2,5 − 0,2 = 0,9 (m)

Vậy phải làm cán quạt dài 0,9 m.

a) Ta có:

$\begin{matrix}AH\perp (P) \\ BK\perp (P)\end{matrix}\}\Rightarrow \text{AH}//\text{BK}$

Mà AB // HK $\Rightarrow$ABKH là hình bình hành có AH ⊥ (P)

$\Rightarrow AH\perp HK\Rightarrow \widehat{AHK}=90^{\circ}$

$\Rightarrow$ ABKH là hình chữ nhật.

Vậy AH = BK.

b) Ta có:

$\begin{matrix}AH\perp (Q) \\ BK\perp (Q)\end{matrix}\}\Rightarrow \text{AH}//\text{BK}$

Mà AB // HK $\Rightarrow$ABKH là hình bình hành có AH ⊥ (Q)

$\Rightarrow AH\perp HK\Rightarrow \widehat{AHK}=90^{\circ}$

$\Rightarrow$ ABKH là hình chữ nhật.

Vậy AH = BK.

b) Ta có: AB // (A′B′C′D′).

Do đó d(AB, (A′B′C′D′)) = AA′ = a

Ta có $\{\begin{matrix}a\text{//}(Q) \\ a'=(P)\cap (Q)\end{matrix}$

$\Rightarrow a\text{//}a';\ IJ\perp a\Rightarrow IJ\perp a'$

Mà (P) ⊥ (Q) $\Rightarrow$ IJ ⊥ (Q) $\Rightarrow$ IJ ⊥ b

a) Tam giác OBC vuông cân tại O. Gọi H là trung điểm của BC suy ra OH ⊥ BC

Ta lại có: $\{\begin{matrix}OA\perp OB \\ OA\perp OC\end{matrix}\Rightarrow OA\perp (OBC)\Rightarrow OA\perp OH$

Do đó OH là đoạn vuông góc chung của OA và BC.

Khi đó $d(OA,BC)=OH=\frac{1}{2}BC=\frac{1}{2}\sqrt{O{B}^{2}+O{C}^{2}}=\frac{a\sqrt{2}}{2}.$

Vì trần nhà và sàn nhà song song với nhau nên đường thẳng a nằm trên trần nhà song song với sàn nhà.

Vậy khoảng cách giữa đường thẳng a trên trần nhà và đường thẳng b trên sàn nhà bằng khoảng cách giữa trần nhà và sàn nhà. Vậy d(a, b) = 3,2 m.

Số hình lập phương đơn vị có trong hình hộp là: abc = 8.3.4 = 96 (hình).

Vậy số hình lập phương đơn vị có trong hình hộp là 96 hình.

Diện tích đáy lớn là: S = 5$^{2}$= 25 (m$^{2}$)

Diện tích đáy bé là: S′ = 2$^{2}$= 4 (m$^{2}$)

Thể tích của bồn chứa là: $V=\frac{1}{3}.3(25+\sqrt{25.4}+4)=39({m}^{3})$

Ta có khối nêm là lăng trụ đứng có đáy là tam giác vuông có các cạnh góc vuông lần lượt là 7cm và 24 cm.

Do đó diện tích đáy là: $S=\frac{1}{2}.7.24=84(c{m}^{2})$

Chiều cao của khối lăng trụ là h = 22 cm

Thể tích của khối nêm là: V = S.h = 84.22 = 1848 (cm$^{3}$)

a) Gọi M là trung điểm của AB.

Ta có $\{\begin{matrix}CM\perp AB \\ DM\perp AB\end{matrix}\Rightarrow AB\perp (MCD)\Rightarrow AB\perp CD$

b) Gọi H là hình chiếu vuông góc M của trên CD.

Ta có $\{\begin{matrix}(CMD)\perp AB \\ C\text{D}\perp MH\end{matrix}\Rightarrow \{\begin{matrix}MH\perp AB \\ C\text{D}\perp MH\end{matrix}$

Do đó MH là đoạn vuông góc chung của AB và CD.

a) Ta có: ΔSAB cân tại S và đáy là hình vuông ABCD.

$\Rightarrow \{\begin{matrix}SI\perp AB \\ IJ\perp AB\end{matrix}\Rightarrow AB\perp (SIJ).$

b) Ta có: AB // CD $\Rightarrow$ AB // (ABCD)

$\Rightarrow$ d(AB, SC) = d(AB, (SCD)) = d(I, (SCD))

Gọi H, K lần lượt là hình chiếu vuông góc của I, O trên SJ

Ta có $\{\begin{matrix}IH//OK \\ IH=2\text{O}K\end{matrix}$

Vì AB // CD nên CD ⊥ (SIJ) $\Rightarrow$ CD ⊥ IH $\Rightarrow$IH ⊥ (SCD)

$\Rightarrow$ d(AB, CD) = d(AB, (SCD)) = IH = 2OK

Ta có: ABCD là hình vuông

$\Rightarrow OA=\frac{AC}{2}=\frac{\sqrt{A{D}^{2}+C{D}^{2}}}{2}=\frac{a\sqrt{2}}{2}$

• Xét ΔSAO vuông tại O có

$SO=\sqrt{S{A}^{2}-O{A}^{2}}=\frac{a\sqrt{6}}{2}.$

• Xét ΔSOJ vuông tại O có đường cao OK nên

$OK=\frac{SO.\text{OJ}}{\sqrt{S{O}^{2}+O{J}^{2}}}=\frac{a\sqrt{42}}{14}$

Do đó $d(AB,\ SC)=2\text{O}K=\frac{a\sqrt{42}}{7}$.

a) Vì khối lăng trụ $ABC.{A}^{'}{B}^{'}{C}^{'}$ đều nên gọi M là trung điểm của BC $\Rightarrow$ AM ⊥ BC. Do đó góc giữa hai mặt phẳng ((A′BC), (ABC)) = $\widehat{SMA}=60^{\circ}$.

Do đó khoảng cách giữa hai đáy của lăng trụ là:

$A{A}^{'}=AM.\tan \widehat{SMA}=\frac{a\sqrt{3}}{2}\tan 60^{\circ}=\frac{3a}{2}.$

Vì tay vịn cầu song song với mặt đường nên khoảng cách giữa hai đường thẳng a và b

chính bằng khoảng cách từ đường thẳng a xuống mặt đường.

Khoảng cách giữa hai đường thẳng a và b bằng: 3,5 + 0,8 = 4,3 (m).

Vậy khoảng cách giữa hai đường thẳng a và b là 4,3 m.

b) ${S}_{ABC\text{D}}={a}^{2}$.

Thể tích khối chóp là:

$V=\frac{1}{3}.SO.{S}_{ABC\text{D}}=\frac{{a}^{3}\sqrt{2}}{6}.$