Giải SGK Toán 11 CTST Bài 1: Góc lượng giác có đáp án

Sau bài học này ta sẽ trả lời được như sau:

Các chuyển động này có:

+) Điểm chung là: Đều chuyển động quay từ điểm A đến điểm B.

+) Điểm khác là: Góc lượng giác.

a) Vì cứ mỗi giây, bánh lái quay một góc 60° nên tương ứng ta có:

Với t = 1 (giây) thì α = 60°;

Với t = 2 (giây) thì α = 2.60° = 120°;

Với t = 3 (giây) thì α = 3.60° = 180°;

Với t = 4 (giây) thì α = 4.60° = 240°;

Với t = 5 (giây) thì α = 5.60° = 300°;

Với t = 6 (giây) thì α = 6.60° = 360°;

Khi đó ta có bảng:

b) Vì cứ mỗi giây, bánh lái quay một góc – 60° nên tương ứng ta có:

Với t = 1 (giây) thì α = – 60°;

Với t = 2 (giây) thì α = 2.(– 60°) = – 120°;

Với t = 3 (giây) thì α = 3.(– 60°) = – 180°;

Với t = 4 (giây) thì α = 4.(– 60°) = – 240°;

Với t = 5 (giây) thì α = 5.(– 60°) = – 300°;

Với t = 6 (giây) thì α = 6.(– 60°) = – 360°;

Khi đó ta có bảng:

Số đo góc lượng giác (OM, ON) trong Hình 6a là 60°.

Số đo góc lượng giác (OM, ON) trong Hình 6b là 2.360° + 60° = 780°.

Số đo góc lượng giác (OM, ON) trong Hình 6c là – (360° – 60°) = –300°.

Từ 0 giờ đến 2 giờ, kim phút quay được 2 vòng tròn tương ứng với quét một góc: 2.360° = 720°.

Còn 15 phút còn lại kim phút quay quét thêm một góc lượng giác là: 90°.

Vì vậy từ 0 giờ đến 2 giờ 15 phút, kim phút quét một góc lượng giác: 720° + 90° = 810°.

a) Số đo của góc lượng giác (Oa, Ob) có tia đầu là Oa và tia cuối là Ob là 135°.

Số đo của góc lượng giác (Ob, Oc) có tia đầu là Ob và tia cuối là Oc là – 80°.

Ta có: $\widehat{aOc}=\widehat{aOb}-\widehat{bOc}=135^{\circ}-80^{\circ}=55^{\circ}$.

Khi đó số đo của góc lượng giác (Oa, Oc) có tia đầu là Oa và tia cuối là Oc là 55° + 360° = 415°.

b) Ta có: 135° + (– 80°) = 415° – 360°.

Vậy (Oa, Ob) + (Ob, Oc) = (Oa, Oc) – 360°.

Chiếc quạt có ba cạnh được phân bố đều nhau nên $\widehat{MON}=\widehat{NOP}=\widehat{POM}=120^{\circ}$.

+) Với ba tia OM, Ox và ON, ta có:

(Ox, OM) + (OM, ON) = (Ox, ON) + k$_{1}$360° (k$_{1}$ ∈ ℤ)

⇒ (Ox, ON) = (Ox, OM) + (OM, ON) – k$_{1}$360°

⇒ (Ox, ON) = 120° + (– 50°) – k$_{1}$360°

⇒ (Ox, ON) = 70° – k$_{1}$360°.

+) Với ba tia Ox, ON, OP, ta có:

(Ox, ON) + (ON, OP) = (Ox, OP) + k$_{2}$360° (k$_{2}$ ∈ ℤ)

⇒ (Ox, OP) = (Ox, ON) + (ON, OP) – k$_{2}$360°

⇒ (Ox, OP) = 70° – k$_{1}$360° + 120° – k$_{2}$360°

⇒ (Ox, OP) = 190° – (k$_{1}$ + k$_{2}$) 360°

⇒ (Ox, OP) = 190° – k 360° (với k = k$_{1}$ + k$_{2}$).

Tiến hành đo góc $\widehat{AOB}$ ta được $\widehat{AOB}=58^{\circ}$.

Ta có:

$0^{\circ}=\frac{π.0^{\circ}}{180^{\circ}}=0$rad;

$\frac{π}{6}$ rad = ${(\frac{180.\frac{π}{6}}{π})}^{\text{ο}}=30^{\circ}$;

$45^{\circ}=\frac{π.45^{\circ}}{180^{\circ}}=\frac{π}{4}$rad;

$60^{\circ}=\frac{π.60^{\circ}}{180^{\circ}}=\frac{π}{3}$rad;

$\frac{π}{2}$ rad = ${(\frac{180.\frac{π}{2}}{π})}^{\text{ο}}=90^{\circ}$;

$120^{\circ}=\frac{π.120^{\circ}}{180^{\circ}}=\frac{2π}{3}$rad;

$\frac{3π}{4}$ rad = ${(\frac{180.\frac{3π}{4}}{π})}^{\text{ο}}=135^{\circ}$;

$150^{\circ}=\frac{π.150^{\circ}}{180^{\circ}}=\frac{5π}{6}$rad;

$180^{\circ}=\frac{π.180^{\circ}}{180^{\circ}}=π$rad.

Ta có hình vẽ:

a) Ta có: Số đo góc lượng giác (OA, OB) bằng 90°.

b) Điểm A’ là điểm nằm trên đường tròn lượng giác thỏa mãn (OA, OA’) bằng π. Khi đó ta có hình vẽ:

Điểm B’ là điểm nằm trên đường tròn lượng giác thỏa mãn (OA, OB’) bằng $-\frac{π}{2}$. Khi đó ta có hình vẽ:

a) Ta có: – 1 485° = – 45° + ( – 4).360°.

Biểu diễn góc trên đường tròn lượng giác ta được:

b) Ta có: $\frac{19π}{4}=2π+\frac{3π}{4}$

Biểu diễn góc trên đường tròn lượng giác ta được:

a) Ta có: 38° = $\frac{π.38}{180}=\frac{19π}{90}$ rad;

b) – 115° = $\frac{π.(-115)}{180}=-\frac{23π}{36}$ rad;

c) ${(\frac{3}{π})}^{ο}=\frac{π.\frac{3}{π}}{180}=\frac{1}{60}$ rad.

a) Ta có: $\frac{π}{12}$ rad = $\frac{\frac{π}{12}.180}{π}=15^{\circ}$.

b) Ta có: – 5 rad = $\frac{5.180}{π}={(\frac{900}{π})}^{ο}$;

c) Ta có: $\frac{13π}{9}$rad = $\frac{\frac{13π}{9}.180}{π}=26^{\circ}$.

a) Ta có: $\frac{-17π}{3}=-2.2π-π-\frac{2π}{3}$

Vì vậy điểm biếu diễn góc lượng giác có số đo $\frac{-17π}{3}$ là điểm nằm trên phần đường tròn lượng giác thuộc góc phần tư thứ I sao cho $\widehat{A'OM}=-\frac{2π}{3}$ hay $\widehat{A'OM}=120^{\circ}$.

Biểu diễn góc này trên đường tròn lượng giác ta được:

b) Ta có: $\frac{13π}{4}=2π+π+\frac{π}{4}$

Biểu diễn góc này trên đường tròn lượng giác ta được:

c) Ta có: – 765° = (– 2).360° – 45°

Biểu diễn góc này trên đường tròn lượng giác ta được:

Hai góc lượng giác α và β có cùng điểm biểu diễn trên đường tròn lượng giác khi tồn tại số nguyên k khác 0 thỏa mãn: α = k.2π + β

Ta có:

$\frac{31π}{7}=k2π+\frac{3π}{7}\Leftrightarrow k=2$ (thỏa mãn) nên có cùng điểm biểu diễn với góc lượng giác $\frac{3π}{7};$

$\frac{31π}{7}=k.2π+\frac{10π}{7}\Leftrightarrow k=\frac{3}{2}\notin ℤ$ (không thỏa mãn) nên không có cùng điểm biểu diễn với góc lượng giác $\frac{10π}{7};$

$\frac{31π}{7}=k.2π+(-\frac{25π}{7})\Leftrightarrow k=4$(thỏa mãn) nên có cùng điểm biểu diễn với góc lượng giác $\frac{-25π}{7}.$

Công thức số đo tổng quát của các góc lượng giác (OA, OM) là:

(OA, OM) = 120° + k360° (k ∈ ℤ).

Công thức số đo tổng quát của các góc lượng giác (OA, ON) là:

(OA, ON) = – 75° + k360° (k ∈ ℤ).

Vì bánh ô tô được chia làm 5 phần đều nhau nên mỗi phần sẽ có số đo góc là: 360° : 5 = 72°. Góc MON chiếm 2 phần nên có số đo góc là 2.72° = 144°.

Khi đó $\widehat{xON}=\widehat{MON}-\widehat{xOM}=144^{\circ}-45^{\circ}=99^{\circ}$.

Vậy công thức số đo tổng quát của góc lượng giác(Ox, ON) là: –99° + k.360° (k ∈ ℤ).

a) Với k = 0 thì có góc lượng giác có số đo góc là $\frac{π}{2}$, được biểu diễn bởi điểm M;

Với k = 1 thì có góc lượng giác có số đo góc là $\frac{π}{2}+π=\frac{3π}{2}$, được biểu diễn bởi điểm N;

Với k = 2 thì có góc lượng giác có số đo góc là $\frac{π}{2}+2π$nên cũng được biểu diễn bởi điểm M;

Với k = 3 thì có góc lượng giác có số đo góc là $\frac{π}{2}+3π=\frac{3π}{2}+2π$ nên cũng được biểu diễn bởi điểm N.

Vậy với k chẵn thì các góc lượng giác có số đo dạng $\frac{π}{2}+kπ(k\in ℤ)$ được biểu diễn bởi điểm M, với k lẻ thì các góc lượng giác có số đo dạng $\frac{π}{2}+kπ(k\in ℤ)$ được biểu diễn bởi điểm N khi đó ta có hình vẽ sau:

b) Với k = 0 thì có góc lượng giác có số đo góc là 0, được biểu diễn bởi điểm A;

Với k = 1 thì có góc lượng giác có số đo góc là $\frac{π}{4}$, được biểu diễn bởi điểm M;

Với k = 2 thì có góc lượng giác có số đo góc là $\frac{2π}{4}=\frac{π}{2}$ được biểu diễn bởi điểm B;

Với k = 3 thì có góc lượng giác có số đo góc là $\frac{3π}{4}$ được biểu diễn bởi điểm N;

Với k = 4 thì có góc lượng giác có số đo góc là $\frac{4π}{4}=π$ được biểu diễn bởi điểm A’;

Với k = 5 thì có góc lượng giác có số đo góc là $\frac{5π}{4}$ được biểu diễn bởi điểm M’;

Với k = 6 thì có góc lượng giác có số đo góc là $\frac{6π}{4}=\frac{3π}{2}$ được biểu diễn bởi điểm B’;

Với k = 7 thì có góc lượng giác có số đo góc là $\frac{7π}{4}$ được biểu diễn bởi điểm N’;

Với k = 8 thì có góc lượng giác có số đo góc là $\frac{8π}{4}=2π+0$ nên được biểu diễn bởi điểm A;

Vậy các góc lượng giác có số đo dạng $\frac{π}{2}+kπ(k\in ℤ)$ được biểu diễn bởi các điểm A, M, B, N, A’, M’, B’, N’. Khi đó ta có hình vẽ sau:

+) Xét các góc lượng giác có số đo $\frac{π}{2}+kπ(k\in ℤ)$

Với k chẵn ta có các góc lượng giác có số đo $\frac{π}{2}+kπ(k\in ℤ)$ được biểu diễn bởi điểm B;

Với k lẻ ta có các góc lượng giác có số đo $\frac{π}{2}+kπ(k\in ℤ)$ được biểu diễn bởi điểm B’(0; – 1).

Vì vậy các điểm B, C, D không thể biểu diễn cho các góc lượng giác có số đo $\frac{π}{2}+kπ(k\in ℤ)$.

+) Xét các góc lượng giác có số đo $\frac{-π}{6}+k\frac{2π}{3}(k\in ℤ)$

Với k = 0 ta có góc lượng giác có số đo $\frac{-π}{6}$ được biểu diễn bởi điểm D.

Với k = 1 ta có góc lượng giác có số đo $\frac{-π}{6}+\frac{2π}{3}=\frac{π}{2}$ được biểu diễn bởi điểm B.

Với k = 2 ta có góc lượng giác có số đo $\frac{-π}{6}+2.\frac{2π}{3}=\frac{7π}{6}$ được biểu diễn bởi điểm C.

Với k = 3 ta có góc lượng giác có số đo $\frac{-π}{6}+3.\frac{2π}{3}=\frac{-π}{6}+2π$ được biểu diễn bởi điểm D.

Vì vậy các góc lượng giác có số đo $\frac{-π}{6}+k\frac{2π}{3}(k\in ℤ)$ được biểu diễn bởi các điểm B, C, D.

+) Xét các góc lượng giác có số đo $\frac{π}{2}+k\frac{π}{3}(k\in ℤ)$

Với k = 0 ta có góc lượng giác có số đo $\frac{π}{2}$ được biểu diễn bởi điểm B.

Với k = 1 ta có góc lượng giác có số đo $\frac{π}{2}+\frac{π}{3}=\frac{5π}{6}$ được biểu diễn bởi điểm M.

Với k = 2 ta có góc lượng giác có số đo $\frac{π}{2}+2\frac{π}{3}=\frac{7π}{6}$ được biểu diễn bởi điểm C.

Với k = 3 ta có góc lượng giác có số đo $\frac{π}{2}+3\frac{π}{3}=\frac{3π}{2}$ được biểu diễn bởi điểm B’.

Với k = 4 ta có góc lượng giác có số đo $\frac{π}{2}+4\frac{π}{3}=\frac{11π}{6}=-\frac{π}{6}+2π$ được biểu diễn bởi điểm D.

Với k = 5 ta có góc lượng giác có số đo $\frac{π}{2}+5\frac{π}{3}=\frac{13π}{6}=\frac{π}{6}+2π$ được biểu diễn bởi điểm N.

Với k = 6 ta có góc lượng giác có số đo $\frac{π}{2}+6\frac{π}{3}=\frac{π}{2}+2π$ được biểu diễn bởi điểm B.

Ví vậy các điểm B, C, D không thể biểu diễn cho các góc lượng giác có số đo là $\frac{π}{2}+k\frac{π}{3}(k\in ℤ)$.

Ta có: $α={(\frac{1}{60})}^{ο}=\frac{π.\frac{1}{60}}{180}=\frac{π}{10\ 800}$ rad.

Độ dài cung chắn góc α là: α.R = $\frac{π}{10\ 800}.6\ 371\approx 1{,}85$ km.

Vậy 1 hải lí bằng 1,85 km.