Giải SGK Toán 11 CD Bài tập cuối chương IV có đáp án

Lời giải

Đáp án đúng là: A

Trong không gian, hai đường thẳng song song với nhau khi và chỉ khi hai đường thẳng cùng nằm trong một mặt phẳng và không có điểm chung.

Lời giải

Đáp án đúng là: C

Có 3 vị trí tương đối giữa hai đường thẳng phân biệt a và b:

• a và b cắt nhau tại 1 điểm;

• a và b song song với nhau;

• a và b chéo nhau.

Lời giải

Đáp án đúng là: B

Đường thẳng được gọi là song song với mặt phẳng nếu chúng không có điểm chung.

Lời giải

Đáp án đúng là: D

Hai mặt phẳng được gọi là song song với nhau nếu chúng không có điểm chung.

Lời giải

a)

Trong mp(ABC), kéo dài MP cắt BC tại E. Nối AE, DE.

Ta có: MP ∩ BC = {E};

BC ⊂ (BCD)

Do đó MP ∩ (BCD) = {E}.

b)

Nối NE, NE cắt CD tại Q.

Ta có: CD ∩ NE = {Q};

NE ⊂ (MNP)

Do đó CD ∩ (MNP) = {Q}.

c)

Ta có: P ∈ AC, mà AC ⊂ (ACD) nên P ∈ (ACD);

Mà P ∈ (MNP) nên P là giao điểm của (ACD) và (MNP).

Lại có Q ∈ CD và CD ⊂ (ACD) nên Q ∈ (ACD);

Mà Q ∈ (MNP) nên Q là giao điểm của (ACD) và (MNP).

Do đó PQ là giao tuyến của hai mặt phẳng (ACD) và (MNP).

d)

Do G là trọng tâm của tam giác ABD nên hai đường trung tuyến DM, AN của tam giác cùng đi qua G.

Ta có: G ∈ AN mà AN ⊂ (ANC) nên G ∈ (ANC);

G ∈ DM mà DM ⊂ (MDC) nên G ∈ (MDC).

Do đó G là giao điểm của hai mặt phẳng (ANC) và (MDC).

Lại có: C ∈ (ANC) và C ∈ (MDC) nên C cũng là giao điểm của hai mặt phẳng (ANC) và (MDC).

Vậy GC là giao tuyến của hai mặt phẳng (ANC) và (MDC).

Mặt khác, I là giao điểm của MQ và NP nên I ∈ MQ và I ∈ NP.

Vì I ∈ MQ mà MQ ⊂ (MDC) nên I ∈ (MDC)

Vì I ∈ NP mà NP ⊂ (ANC) nên I ∈ (ANC)

Do đó giao tuyến GC của hai mặt phẳng (ANC) và (MDC) đi qua điểm I.

Vậy ba điểm C, I, G thẳng hàng.

Lời giải

a)

Trong mp(ABCD), kéo dài AM cắt DC tại E. Nối SE, BE.

Ta có: E ∈ AM mà AM ⊂ (AMN) nên E ∈ (AMN);

E ∈ DC mà DC ⊂ (SCD) nên E ∈ (SCD).

Do đó E là giao điểm của hai mặt phẳng (AMN) và (SCD).

Lại có: N ∈ SD và SD ⊂ (SCD) nên N ∈ (SCD).

Mà N ∈ (AMN), nên N cũng là giao điểm của hai mặt phẳng (AMN) và (SCD).

Vậy (AMN) ∩ (SCD) = NE.

b)

Trong mp(SCD), gọi F là giao điểm của SC và NE.

Ta có: F ∈ NE mà NE ⊂ (AMN) nên F ∈ (AMN);

F ∈ SC mà SC ⊂ (SBC) nên F ∈ (SBC).

Do đó F là giao điểm của (AMN) và (SBC).

Lại có: M ∈ BC và BC ⊂ (SBC) nên M ∈ (SBC).

Mà M ∈ (AMN), nên M cũng là giao điểm của hai mặt phẳng (AMN) và (SBC).

Vậy (AMN) ∩ (SBC) = MF.

Lời giải

a)

Trong mp(SAB), xét DSAB có M, N lần lượt là trung điểm của SA, SB nên MN là đường trung bình của tam giác

Do đó MN // AB.

Mà AB // CD (giả thiết) nên MN // CD.

Lại có CD ⊂ (SCD) nên MN // (SCD).

b)

Theo câu a, MN là đường trung bình của DSAB nên MN = $\frac{1}{2}$AB

Mà AB = 2CD hay CD = $\frac{1}{2}$AB

Do đó MN = CD.

Xét tứ giác MNCD có: MN // CD và MN = CD nên MNCD là hình bình hành

Suy ra DM // CN

Mà CN ⊂ (SBC) nên DM // (SBC).

c)

• Trong mp(ABCD), gọi O là giao điểm của AC và BD.

Do AB // CD, theo hệ quả định lí Thalès ta có: $\frac{{OB}}{{DO}} = \frac{{AB}}{{CD}} = \frac{2}{1}$

Suy ra $\frac{{OB}}{{DO + OB}} = \frac{2}{{1 + 2}}$ hay $OB$$\frac{{OB}}{{DB}} = \frac{2}{3}$

• Trong mp(SDB), xét DSDB có $\frac{{SI}}{{SD}} = \frac{{OB}}{{DB}} = \frac{2}{3}$ nên IO // SB (theo định lí Thalès đảo)

Mà IO ⊂ (AIC) nên SB // (AIC).

Lời giải

a)

Trong mp(BCC’B’) có tứ giác BCC’B’ là hình bình hành nên BC // B’C’ và BC = B’C’.

Lại có M, N lần lượt là trung điểm của BC, B’C’ nên BM = C’M’ = $\frac{1}{2}$BC = $\frac{1}{2}$B’C’.

Tứ giác BMC’M’ có BM // C’M’ (do BC // B’C’) và BM = C’M’ nên BMC’M’ là hình bình hành

Do đó C’M // M’B, mà M’B ⊂ (A’BM’) nên C’M // (A’BM’).

b)

Trong mp(A’BM’), xét DA’BM’ có $\frac{{A'G'}}{{A'M'}} = \frac{{A'K}}{{A'B}} = \frac{2}{3}$ nên G’K // M’B (theo định lí Thalès đảo)

Mà M’B ⊂ (BCC’B’) nên G’K // (BCC’B’).

c)

Trong mp(BCC’B’), tứ giác CMM’C’ có C’M’ // CM và C’M’ = CM = $\frac{1}{2}$BC = $\frac{1}{2}$B’C’

Do đó tứ giác CMM’C’ là hình bình hành nên M’M // C’C và M’M = C’C.

Mà A’A // C’C và A’A = C’C nên A’A // M’M và A’A = M’M.

Khi đó AMM’A’ là hình bình hành nên A’M’ // AM và A’M’ = AM.

Lại có $\frac{{AG}}{{AM}} = \frac{{A'G'}}{{A'M'}} = \frac{2}{3}$ nên A’G’ = AG, do đó G’M’ = GM.

Xét tứ giác GMM’G’ có: G’M’ = GM (do A’M’ // AM) và G’M’ = GM.

Do đó GMM’G’ là hình bình hành nên G’G // M’M

Lại có M’M ⊂ (BCC’B’) nên G’G // (BCC’B’).

Ta có: G’K // (BCC’B’);

G’G // (BCC’B’);

G’K, G’G cắt nhau tại điểm G’ và cùng nằm trong (GG’K)

Do đó (GG’K) // ((BCC’B’).

d)

Trong mp(ABB’A’), vẽ đường thẳng qua K và song song với AB, A’B’; cắt A’A và B’B lần lượt tại J và H.

Trong mp (ACC’A”), vẽ đường thẳng qua J và song song với AC, A’C’; cắt C’C tại I.

Ta có: IJ // AC mà AC ⊂ (ABC) nên IJ // (ABC);

JK // AB mà AB ⊂ (ABC) nên JK // (ABC).

Lại có IJ và JK cắt nhau tại J và cùng nằm trong mp(IJK) nên (IJK) // (ABC).

Theo bài, mp(α) // (ABC) và đi qua K nên mp(α) chính là mp(IJK).

Khi đó CC’ cắt (α) tại I.

Ta có: (IJK) // (ABC) mà (ABC) // (A’B’C’) nên (A’B’C’), (IJK), (ABC) là ba mặt phẳng song song với nhau.

Xét hai cát tuyến C’C và A’B bất kì cắt ba mặt phẳng song song (A’B’C’), (IJK), (ABC) lần lượt tại các điểm C’, I, C và A’, K, B. Khi đó theo định lí Thalès trong không gian ta có: $\frac{{C'I}}{{A'K}} = \frac{{IC}}{{KB}}$

Suy ra $\frac{{KB}}{{A'K}} = \frac{{IC}}{{C'I}}$

Theo bài, $\frac{{A'K}}{{A'B}} = \frac{2}{3}$ nên $\frac{{A'B}}{{A'K}} = \frac{3}{2}$ do đó $\frac{{A'B - A'K}}{{A'K}} = \frac{{3 - 2}}{2}$ hay $\frac{{KB}}{{A'K}} = \frac{1}{2}$

Vậy $\frac{{IC}}{{IC'}} = \frac{{KB}}{{A'K}} = \frac{1}{2}$.

Lời giải

a)

Ta có: (ADD’A’) // (CBC’B’);

(ADD’A’) ∩ (DCB’A’) = A’D;

(CBC’B’) ∩ (DCB’A’) = B’C.

Do đó A’D // B’C, mà B’C ⊂ (B’CM) nên A’D // (B’CM).

Tương tự: (ABB’A’) // (DCC’D’);

(ABB’A’) ∩ (DMB’N) = MB’;

(DCC’D’) ∩ (DMB’N) = DN.

Do đó MB’ // DN, mà MB’ ⊂ (B’CM) nên DN // (B’CM).

Ta có: A’D // (B’CM);

DN // (B’CM);

A’D, DN cắt nhau tại điểm D và cùng nằm trong mp(A’DN)

Do đó (A’DN) // (B’CM).

b)

• Trong mp(A’B’C’D’), gọi J là giao điểm của A’N và B’D’.

Trong mp(BDD’B’), D’B cắt DJ tại E.

Ta có: D’B ∩ DJ = {E} mà DJ ⊂ (A’DN) nên E là giao điểm của D’B và (A’DN).

Tương tự, trong mp(ABCD), gọi I là giao điểm của CM và BD.

Trong mp(BDD’B’), D’B cắt B’I tại F.

Ta có: D’B ∩ B’I = {F} mà B’I ⊂ (B’CM) nên F là giao điểm của D’B và (B’CM).

• Ta có: (A’DN) // (B’CM);

(A’DN) ∩ (BDD’B’) = DJ;

(B’CM) ∩ (BDD’B’) = B’I.

Do đó DJ // B’I.

Trong mp(BDD’B’), xét DBDE có IF // DE nên theo định lí Thalès ta có: $\frac{{BI}}{{BD}} = \frac{{BF}}{{BE}}$ (1)

Trong mp(ABCD), gọi O là giao điểm của hai đường chéo AC và BD trong hình bình hành ABCD. Khi đó O là trung điểm của AC, BD.

Xét DABC, hai đường trung tuyến BO, CM cắt nhau tại I nên I là trọng tâm của tam giác

Suy ra $\frac{{BI}}{{BO}} = \frac{2}{3}$ hay $\frac{{BI}}{{\frac{1}{2}BD}} = \frac{{2BI}}{{BD}} = \frac{2}{3}$

Do đó $\frac{{BI}}{{BD}} = \frac{1}{3}$ (2)

Từ (1) và (2) suy ra $\frac{{BF}}{{BE}} = \frac{1}{3}$

Suy ra $\frac{{BF}}{{BE - BF}} = \frac{1}{{3 - 1}}$ hay $\frac{{BF}}{{EF}} = \frac{1}{2}$.

Chứng minh tương tự ta cũng có $\frac{{D'E}}{{D'F}} = \frac{{D'J}}{{D'B'}} = \frac{1}{3}$

Suy ra $\frac{{D'E}}{{D'F - D'E}} = \frac{1}{{3 - 1}}$ hay $\frac{{D'E}}{{EF}} = \frac{1}{2}$

Do đó $\frac{{BF}}{{EF}} = \frac{{D'E}}{{EF}} = \frac{1}{2}$ nên BF = D’E = $\frac{1}{2}$EF.

Lời giải

a)

Trong mp(CDHK), qua K vẽ đường thẳng song song với CD, cắt DH tại N.

Trong mp(BCKF), qua K vẽ đường thẳng song song với BC, cắt BF tại P.

Ta có: NK // CD, mà CD ⊂ (ACBD) nên NK // (ABCD).

KP // BC, mà BC ⊂ (ACBD) nên KP // (ABCD).

NK, KP cắt nhau tại K trong mp(NPK).

Do đó (NPK) // (ABCD).

Khi đó mp(R) qua K và song song với (ABCD) chính là mp(NPK).

Trong mp(ADHE), qua N vẽ đường thẳng song song với AD, cắt AE tại Q.

Khi đó mp(R) là mp(NKPQ).

Vậy: (NKPQ) ∩ (ADHE) = QN;

(NKPQ) ∩ (CDHK) = NK;

(NKPQ) ∩ (BCKF) = KP;

(NKPQ) ∩ (ABFE) = PQ.

b)

Ta có: DH cắt NK tại N, mà NK ⊂ (R) nên giao điểm của DH và (R) là điểm N.

Theo bài, I là giao điểm của DH và (R) nên điểm I và điểm N trùng nhau.

Tương tự ta cũng có điểm J trùng với điểm P.

Ta có: (ABCD) // (EFMH) và (R) // (ABCD) nên (EFMH) // (R) // (ABCD).

Lại có, hai cát tuyến FB, HD cắt ba mặt phẳng song song (EFMH), (R), (ABCD) lần lượt tại F, J, B và H, I, D nên theo định lí Thalès ta có: $\frac{{FJ}}{{HI}} = \frac{{FB}}{{HD}}$.

Mặt khác, trong mp(CDKH), tứ giác CDIK có CK // DI (do CK // DH) và IK // CD

Do đó CDIK là hình bình hành, suy ra DI = CK = 40 cm.

Khi đó HI = DH – DI = 75 – 40 = 35 (cm).

Vì vậy, từ $\frac{{FJ}}{{HI}} = \frac{{FB}}{{HD}}$ ta có: $\frac{{FJ}}{{35}} = \frac{{60}}{{75}}$, suy ra $FJ = \frac{{35.60}}{{75}} = 28$ (cm).

Vậy FJ = 28 cm.