Giải SGK Toán 11 CD Bài tập cuối chương III có đáp án

Lời giải

a) $\lim \frac{{2{n^2} + 6n + 1}}{{8{n^2} + 5}} = \lim \frac{{{n^2}\left( {2 + \frac{6}{n} + \frac{1}{{{n^2}}}} \right)}}{{{n^2}\left( {8 + \frac{5}{{{n^2}}}} \right)}} = \lim \frac{{2 + \frac{6}{n} + \frac{1}{n}}}{{8 + \frac{5}{n}}} = \frac{2}{8} = \frac{1}{4}$.

b) $\lim \frac{{4{n^2} - 3n + 1}}{{3{n^3} + 6{n^2} - 2}} = \lim \frac{{{n^3}\left( {\frac{4}{n} - \frac{3}{{{n^2}}} + \frac{1}{{{n^3}}}} \right)}}{{{n^3}\left( {3 + \frac{6}{n} - \frac{2}{{{n^3}}}} \right)}} = \lim \frac{{\frac{4}{n} - \frac{3}{{{n^2}}} + \frac{1}{{{n^3}}}}}{{3 + \frac{6}{n} - \frac{2}{{{n^3}}}}} = 0$.

c) $\lim \frac{{\sqrt {4{n^2} - n + 3} }}{{8n - 5}} = \lim \frac{{n\sqrt {4 - \frac{1}{n} + \frac{3}{{{n^2}}}} }}{{n\left( {8 - \frac{5}{n}} \right)}} = \frac{2}{8} = \frac{1}{4}$.

d) $\lim \left( {4 - \frac{{{2^{n + 1}}}}{{{3^n}}}} \right) = \lim \left( {4 - 2.{{\left( {\frac{2}{3}} \right)}^n}} \right) = 4$.

e) $\lim \frac{{{{4.5}^n} + {2^{n + 2}}}}{{{{6.5}^n}}} = \lim \frac{{{{4.5}^n} + {{2.2}^n}}}{{{{6.5}^n}}} = \lim \frac{{4 + 2.{{\left( {\frac{2}{5}} \right)}^n}}}{6} = \frac{2}{3}$.

g) $\lim \frac{{2 + \frac{4}{{{n^3}}}}}{{{6^n}}} = \lim \left( {2 + \frac{4}{{{n^3}}}} \right).\lim {\left( {\frac{1}{6}} \right)^n} = 2.0 = 0$.

Lời giải

a) $\mathop {\lim }\limits_{x \to - 3} \left( {4{x^2} - 5x + 6} \right) = 4{\left( { - 3} \right)^2} - 5.\left( { - 3} \right) + 6 = - 3$.

b) $\mathop {\lim }\limits_{x \to 2} \frac{{2{x^2} - 5x + 2}}{{x - 2}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 2} \frac{{\left( {x - 2} \right)\left( {2x - 1} \right)}}{{x - 2}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 2} \left( {2x - 1} \right) = 3$.

c) $\mathop {\lim }\limits_{x \to 4} \frac{{\sqrt x - 2}}{{{x^2} - 16}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 4} \frac{{\sqrt x - 2}}{{\left( {x - 4} \right)\left( {x + 4} \right)}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 4} \frac{{\sqrt x - 2}}{{\left( {\sqrt x - 2} \right)\left( {\sqrt x + 2} \right)\left( {x + 4} \right)}}$

$= \mathop {\lim }\limits_{x \to 4} \frac{1}{{\left( {\sqrt x + 2} \right)\left( {x + 4} \right)}} = \frac{1}{{32}}$

Lời giải

a) $\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \frac{{6x + 8}}{{5x - 2}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \frac{{x\left( {6 + \frac{8}{x}} \right)}}{{x\left( {5 - \frac{2}{x}} \right)}} = \frac{6}{5}$

b) $\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{{6x + 8}}{{5x - 2}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{{x\left( {6 + \frac{8}{x}} \right)}}{{x\left( {5 - \frac{2}{x}} \right)}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{{6 + \frac{8}{x}}}{{5 - \frac{2}{x}}} = \frac{6}{5}$.

c) $\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \frac{{\sqrt {9{x^2} - x + 1} }}{{3x - 2}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \frac{{ - x\sqrt {9 - \frac{1}{x} + \frac{1}{{{x^2}}}} }}{{x\left( {3 - \frac{2}{x}} \right)}} = - \frac{3}{3} = - 1$.

d) $\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{{\sqrt {9{x^2} - x + 1} }}{{3x - 2}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \frac{{x\sqrt {9 - \frac{1}{x} + \frac{1}{{{x^2}}}} }}{{x\left( {3 - \frac{2}{x}} \right)}} = \frac{3}{3} = 1$.

e) $\mathop {\lim }\limits_{x \to - {2^ - }} \frac{{3{x^2} + 4}}{{2x + 4}} = - \infty$

g) $\mathop {\lim }\limits_{x \to - {2^ + }} \frac{{3{x^2} + 4}}{{2x + 4}} = + \infty$.

Lời giải

a) Với a = 0, b = 1, hàm số $f\left( x \right) = \left\{ \begin{array}{l}2x\,\,\,\,\,\,khi\,\,x < 2\\4\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,khi\,\,x = 2\\ - 3x + 1\,\,\,khi\,x > 2\end{array} \right.$

Với x < 2 thì f(x) = 2x là hàm liên tục.

Với x > 2 thì f(x) = – 3x + 1 là hàm liên tục.

Tại x = 2 ta có: $\mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ - }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ - }} 2x = 4$, $\mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ + }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ + }} \left( { - 3x + 1} \right) = - 5$.

Suy ra $\mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ - }} f\left( x \right) \ne \mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ + }} f\left( x \right)$. Do đó không tồn tại $\mathop {\lim }\limits_{x \to 2} f\left( x \right)$.

Vậy hàm số tiên tục trên ( – ∞; 2) và (2; +∞).

b) Ta có: $\mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ - }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ - }} \left( {2x + a} \right) = 4 + a$, $\mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ + }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ + }} \left( { - 3x + b} \right) = - 6 + b$

Để hàm số liên tục tại x = 2 thì $\mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ - }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ + }} f\left( x \right) = f\left( 2 \right) \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}4 + a = 4\\ - 6 + b = 4\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = 0\\b = 10\end{array} \right.$ .

Vậy với a = 0 và b = 10 thì hàm số liên tục tại x = 2.

c) Tập xác định của hàm số là: ℝ.

Để hàm số liên tục trên ℝ thì hàm số liên tục tại x = 2. Vì vậy với a = 0 và b = 10 thỏa mãn điều kiện.

Lời giải

Gọi (u$_{n}$) là dãy số thể hiện quãng đường di chuyển của quả bóng sau mỗi lần chạm đất.

Ta có: u$_{1}$ = 55,8, u$_{2}$ = $\frac{1}{{10}}$.u$_{1}$; u$_{3}$ = ${\left( {\frac{1}{{10}}} \right)^2}$.u$_{1}$; ...; u$_{n}$ = ${\left( {\frac{1}{{10}}} \right)^{n - 1}}$.u$_{1}$.

Khi đó dãy (u$_{n}$) lập thành một cấp số nhân lùi vô hạn có số hạng đầu u$_{1}$ = 55,8 và công bội $q = \frac{1}{{10}}$ thỏa mãn |q| < 1.

Suy ra ${S_n} = {u_1} + {u_2} + ... + {u_n} + ... = \frac{{55{,}8}}{{1 - \frac{1}{{10}}}} = 62$ (m).

Vậy tổng độ dài quãng đường di chuyển của quả bóng tính từ lúc thả ban đầu cho đến khi quả bóng đó chạm đất n lần là 62 m.

Lời giải

a)

+) (p$_{n}$) là dãy số chu vi của các tam giác theo thứ tự ABC, A$_{1}$B$_{1}$C$_{1}$, ...

Ta có: p$_{1}$ = p$_{∆ABC}$ = a + a + a = 3a; p$_{2}$ = ${p_{\Delta {A_1}{B_1}{C_1}}} = \frac{a}{2} + \frac{a}{2} + \frac{a}{2} = \frac{1}{2}.\left( {3a} \right) = \frac{1}{2}.{p_1}$; p$_{3}$ = ${p_{\Delta {A_2}{B_2}{C_2}}} = \frac{a}{4} + \frac{a}{4} + \frac{a}{4} = {\left( {\frac{1}{2}} \right)^2}.\left( {3a} \right) = {\left( {\frac{1}{2}} \right)^2}.{p_1}$; ...; ${p_{\Delta {A_n}{B_n}{C_n}}} = {\left( {\frac{1}{2}} \right)^{n - 1}}.{p_1}$; ...

Suy ra $\mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } {p_n} = \mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } \left[ {{{\left( {\frac{1}{2}} \right)}^{n - 1}}.\left( {3a} \right)} \right] = \mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } {\left( {\frac{1}{2}} \right)^{n - 1}}.\mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } \left( {3a} \right) = 0.3a = 0$.

+) (S$_{n}$) là dãy số chu vi của các tam giác theo thứ tự ABC, A$_{1}$B$_{1}$C$_{1}$, ...

Gọi h là chiều cao của tam giác ABC và h = $\frac{{a\sqrt 3 }}{2}$.

Ta có: S$_{1}$ = S$_{∆ABC}$ = $\frac{1}{2}ah$; S$_{2}$ = ${S_{\Delta {A_1}{B_1}{C_1}}} = \frac{1}{2}.\frac{a}{2}.\frac{h}{2} = \frac{1}{4}.\left( {\frac{1}{2}ah} \right) = \frac{1}{4}.{S_1}$; S$_{3}$ = ${S_{\Delta {A_2}{B_2}{C_2}}} = \frac{1}{2}.\frac{a}{4}.\frac{h}{4} = {\left( {\frac{1}{4}} \right)^2}.\left( {\frac{1}{2}ah} \right) = {\left( {\frac{1}{4}} \right)^2}.{S_1}$; ...; ${S_{\Delta {A_n}{B_n}{C_n}}} = {\left( {\frac{1}{2}} \right)^{n - 1}}.{S_1}$; ...

Suy ra $\mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } {S_n} = \mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } \left[ {{{\left( {\frac{1}{4}} \right)}^{n - 1}}.{S_1}} \right] = \mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } {\left( {\frac{1}{4}} \right)^{n - 1}}.\mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } \left( {\frac{1}{2}ah} \right) = 0.\frac{1}{2}ah = 0$.

b) +) Ta có (p$_{n}$) là một cấp số nhân lùi vô hạn với số hạng đầu p$_{1}$ = 3a và công bội q = $\frac{1}{2}$ thỏa mãn |q| < 1 có tổng:

${P_n} = {p_1} + {p_2} + ... + {p_n} + ... = \frac{{3a}}{{1 - \frac{1}{2}}} = 6a$.

+) Ta cũng có (S$_{n}$) là một cấp số nhân lùi vô hạn với số hạng đầu S$_{1}$ = $\frac{1}{2}ah$ và công bội q = $\frac{1}{4}$ thỏa mãn |q| < 1 có tổng:

${S_n} = {S_1} + {S_2} + ... + {S_n} + ... = \frac{{\frac{1}{2}ah}}{{1 - \frac{1}{4}}} = \frac{2}{3}ah$.

Lời giải

a) Ta có: $\frac{1}{{d'}} = \frac{1}{f} - \frac{1}{d} \Leftrightarrow \frac{1}{{d'}} = \frac{{d - f}}{{df}} \Leftrightarrow d' = \frac{{df}}{{d - f}}$.

b) Ta có: $\mathop {\lim }\limits_{d \to {f^ + }} \varphi \left( d \right) = \mathop {\lim }\limits_{d \to {f^ + }} \frac{{df}}{{d - f}} = + \infty ;\mathop {\lim }\limits_{d \to {f^ - }} \varphi \left( d \right) = \mathop {\lim }\limits_{d \to {f^ - }} \frac{{df}}{{d - f}} = - \infty$; $\mathop {\lim }\limits_{d \to f} \varphi \left( d \right) = \mathop {\lim }\limits_{d \to f} \frac{{df}}{{d - f}} = \infty$.

Giải thích ý nghĩa: Khi khoảng cách của vật tới thấu kính mà gần với tiêu cự thì khoảng cách ảnh của vật đến thấu kính ra xa vô tận nên lúc đó bằng mắt thường mình không nhìn thấy.