Giải SGK Toán 11 CD Bài 4. Hai mặt phẳng vuông góc có đáp án

Sau bài học này, chúng ta sẽ giải quyết được câu hỏi trên như sau:

Hình ảnh tường nhà vuông góc với nền nhà gợi nên khái niệm hai mặt phẳng vuông góc.

Quan sát Hình 48 ta thấy:

a) Đường thẳng a vuông góc với mặt phẳng (Q).

Ta có: SA ⊥ (ABCD) và BD ⊂ (ABCD) nên SA ⊥ BD.

Vì ABCD là hình thoi nên BD ⊥ AC.

Ta có: BD ⊥ SA, BD ⊥ AC và SA ∩ AC = A trong (SAC).

Suy ra BD ⊥ (SAC).

Mà BD ⊂ (SBD) nên (SAC) ⊥ (SBD).

a) Ta có: A ∈ (AOS) ∩ (AOB);

O ∈ (AOS) ∩ (AOB).

Suy ra AO = (AOS) ∩ (AOB).

Vậy giao tuyến của hai mặt phẳng (AOS) và (AOB) là đường thẳng AO.

b) Ta có $\widehat{AOS}=90^{\circ}$ nên SO ⊥ AO.

Mà AO là giao tuyến của hai mặt phẳng (AOS) và (AOB).

Vậy SO vuông góc với giao tuyến của hai mặt phẳng (AOS) và (AOB).

c) Vì $\widehat{AOB}=90^{\circ}$ nên AO ⊥ OB.

Ta có: AO ⊥ OB, AO ⊥ SO và OB ∩ SO = O ∈ AO.

Suy ra $\widehat{SOB}$ là góc phẳng nhị diện của góc nhị diện [S, AO, B].

Vì (AOS) ⊥ (AOB) nên $\widehat{SOB}=90^{\circ}.$

Ta có: SO ⊥ OA, SO ⊥ OB (do $\widehat{SOB}=90^{\circ});$

OA ∩ OB = O trong (AOB).

Suy ra SO ⊥ (AOB).

Vậy SO vuông góc với mặt phẳng (AOB).

Vì B ∈ (ABD) ∩ (BCD);

D ∈ (ABD) ∩ (BCD).

Suy ra BD = (ABD) ∩ (BCD).

Ta có: (ABD) ⊥ (BCD);

(ABD) ∩ (BCD) = BD;

CD ⊂ (BCD) và CD ⊥ BD.

Suy ra CD ⊥ (ABD).

Mà AD ⊂ (ABD) nên CD ⊥ AD.

Vậy tam giác ACD vuông tại D.

Hai bìa của cuốn sách gợi nên hình ảnh hai mặt phẳng vuông góc với mặt bàn. Khi đó đường thẳng đi qua gáy sách chính là giao tuyến của hai mặt phẳng đó.

Do bìa sách có dạng hình chữ nhật nên gáy sách AB sẽ vuông góc với mép dưới của sách là BC và BD

Mà BC và BD cắt nhau tại B nằm trong mặt phẳng bàn (là mp(BC, BD)).

Do đó AB vuông góc với mặt phẳng bàn.

Dự đoán: gáy sách vuông góc với mặt bàn.

a) Ta có: SA ⊥ SB, SA ⊥ SC;

SB ∩ SC = S trong (SBC).

Suy ra SA ⊥ (SBC).

Mà SA ⊂ (SAB).

Từ đó ta có (SAB) ⊥ (SBC).

c) Ta có: SB ⊥ SA, SB ⊥ SC;

SA ∩ SC = S trong (SCA).

Suy ra SB ⊥ (SCA).

Mà SB ⊂ (SAB).

Từ đó ta có (SCA) ⊥ (SAB).

Từ hình ảnh ta thấy hai cặp mặt phẳng vuông góc với nhau là (P) và (R), (Q) và (R).

⦁ Hai mặt phẳng (P) và (R) vuông góc với nhau kí hiệu là: (P) ⊥ (R).

⦁ Hai mặt phẳng (Q) và (R) vuông góc với nhau kí hiệu là: (Q) ⊥ (R).

Cho hai mặt phẳng (P) và (Q) vuông góc với nhau.

Ta cần chứng minh rằng tồn tại một đường thẳng a nằm trong mặt phẳng (P) sao cho đường thẳng a vuông góc với mặt phẳng (Q).

Thật vậy, ta lấy:

⦁ d là giao tuyến của hai mặt phẳng (P) và (Q);

⦁ a là đường thẳng nằm trong mặt phẳng (P) sao cho a ⊥ d;

· O là giao điểm của đường thẳng a và mặt phẳng (Q).

Do hai mặt phẳng (P) và (Q) cùng chứa điểm O nên hai mặt phẳng đó cắt nhau theo giao tuyến d đi qua O.

Trong mặt phẳng (Q), qua O kẻ đường thẳng b vuông góc với d.

Như vậy ta có: d là cạnh của góc nhị diện [P, d, Q];

a ⊂ (P) và a ⊥ d tại O (với O ∈ d);

b ⊂ (Q) và b ⊥ d tại O (với O ∈ d);

Suy ra $\widehat{aOb}$ là góc phẳng nhị diện của góc nhị diện [P, d, Q].

Mặt khác (P) ⊥ (Q) nên góc nhị diện [P, d, Q] vuông hay $\widehat{aOb}=90^{\circ}.$

Suy ra a ⊥ b.

Ta có: a ⊥ d, a ⊥ b và d ∩ b = O trong (Q).

Suy ra a ⊥ (Q).

Vậy nếu hai mặt phẳng vuông góc với nhau thì mặt phẳng này chứa một đường thẳng vuông góc với mặt phẳng kia.

a)

Giả sử ta có: (P) ⊥ (R), (Q) ⊥ (R), gọi a = (P) ∩ (R), b = (Q) ∩ (R).

Mà (P) và (Q) là hai mặt phẳng phân biệt nên a và b không trùng nhau.

Hơn nữa: a và b cùng nằm trong (R), nên xảy ra hai trường hợp:

⦁ Nếu a // b, mà a ⊂ (P), b ⊂ (Q) thì suy ra (P) // (Q).

⦁ Nếu a cắt b, mà a ⊂ (P) và b ⊂ (Q), thì ta gọi c = (P) ∩ (Q).

Do (P) ⊥ (R), (Q) ⊥ (R) và c = (P) ∩ (Q) nên suy ra c ⊥ (R).

b)

Giả sử có ba mặt phẳng (P), (Q), (R) thỏa mãn (P) // (Q) và (R) ⊥ (P). Ta cần chứng minh (R) ⊥ (Q).

Gọi a = (P) ∩ (R), lấy d ⊂ (R) sao cho a ⊥ d.

Ta có: (R) ⊥ (P), a = (R) ∩ (P), d ⊂ (R) và a ⊥ d, suy ra d ⊥ (P).

Mà (P) // (Q), d ⊂ (R) nên d ⊥ (Q).

Suy ra (Q) ⊥ (R).

Cho đường thẳng d không vuông góc với mặt phẳng (P). Ta cần chứng minh: tồn tại duy nhất mặt phẳng (Q) vuông góc với (P) và chứa d.

Chứng minh tính tồn tại mặt phẳng (Q):

· Xét trường hợp d cắt (P) tại A.

Lấy M ∈ d sao cho M ≠ A. Vẽ đường thẳng a đi qua M sao cho a ⊥ (P).

Suy ra d ∩ a = M.

Khi đó hai đường thẳng a và d xác định mặt phẳng (Q) hay mặt phẳng (Q) chứa hai đường thẳng a và d.

Vì a ⊥ (P), a ⊂ (Q) nên ta có (P) ⊥ (Q).

· Xét trường hợp d ⊂ (P) hoặc d // (P).

Lấy M ∈ d. Vẽ đường thẳng a đi qua M sao cho a ⊥ (P).

Suy ra d ∩ a = M.

Khi đó hai đường thẳng a và d xác định mặt phẳng (Q) hay mặt phẳng (Q) chứa hai đường thẳng a và d.

Vì a ⊥ (P), a ⊂ (Q) nên ta có (P) ⊥ (Q).

***Chứng minh tính duy nhất mặt phẳng (Q):* **

Giả sử tồn tại mặt phẳng (Q’) khác (Q) sao cho d ⊂ (Q’) và (P) ⊥ (Q’).

Ta thấy: d = (Q’) ∩ (Q).

Mà (P) ⊥ (Q), (P) ⊥ (Q’) nên suy ra d ⊥ (P).

Mâu thuẫn với giả thiết d không vuông góc với (P).

Như vậy, tồn tại duy nhất mặt phẳng (Q) sao cho d ⊂ (Q) và (P) ⊥ (Q).

a) Xét tam giác SAB vuông cân tại S có: SM là đường trung tuyến (do M là trung điểm của AB) nên SM ⊥ AB.

Do A ∈ (SAB) ∩ (ABCD);

B ∈ (SAB) ∩ (ABCD).

Suy ra AB = (SAB) ∩ (ABCD).

Ta có: (SAB) ⊥ (ABCD);

SM ⊂ (SAB), SM ⊥ AB;

(SAB) ∩ (ABCD) = AB.

Từ đó, ta có SM ⊥ (ABCD).

b) Do SM ⊥ (ABCD) và AD ⊂ (ABCD) nên SM ⊥ AD.

Vì ABCD là hình chữ nhật nên AD ⊥ AB.

Ta có: AD ⊥ AB, AD ⊥ SM và AB ∩ SM = M trong (SAB).

Suy ra AD ⊥ (SAB).

c) Do AD ⊥ (SAB) và SB ⊂ (SAB) nên AD ⊥ SB.

Vì tam giác SAB vuông cân tại S nên SA ⊥ SB.

Ta có: SB ⊥ AD, SB ⊥ SA và AD ∩ SA = A trong (SAD).

Suy ra SB ⊥ (SAD).

Hơn nữa SB ⊂ (SBC) nên (SBC) ⊥ (SAD).

a) Do A ∈ (A’AB) ∩ (A’AC) và A’ ∈ (A’AB) ∩ (A’AC).

Suy ra AA’ = (A’AB) ∩ (A’AC).

Ta có: (A’AB) ⊥ (ABC);

(A’AC) ⊥ (ABC);

(A’AB) ∩ (A’AC) = AA’.

Do đó AA’ ⊥ (ABC).

b) Do AA’ ⊥ (ABC) nên AB là hình chiếu của A’B trên (ABC).

Suy ra góc giữa đường thẳng A’B và mặt phẳng (ABC) bằng $\tan \widehat{AB{A}^{'}}$

Vì AA’ ⊥ (ABC) và AB ⊂ (ABC) nên AA’ ⊥ AB.

Xét tam giác A’AB vuông tại A có:

$\tan \widehat{AB{A}^{'}}=\frac{A{A}^{'}}{AB}=\frac{a}{a}=1\Rightarrow \widehat{AB{A}^{'}}=45^{\circ}.$

Vậy góc giữa đường thẳng A’B và mặt phẳng (ABC) bằng 45°.