Giải SGK Toán 11 CD Bài 3. Hàm số liên tục có đáp án

Lời giải

Kiến thức trong toán học thể hiện chuyển động của đường đi là đường liên mạch đó là kiến thức về hàm số liên tục.

Để tìm hiểu kĩ hơn hàm số liên tục là gì thì chúng ta sẽ cùng tìm hiểu bài học ngày hôm nay. Bài học: “Hàm số liên tục”.

Lời giải

a) Ta có: $\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} x = 1$.

b) Ta có: f(1) = 1 nên $\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} f\left( x \right) = f\left( 1 \right)$.

Lời giải

Ta có: $\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \left( {{x^3} + 1} \right) = 2$ và f(1) = 1$^{3}$ + 1 = 2

Suy ra $\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} f\left( x \right) = f\left( 1 \right)$.

Vì vậy hàm số liên tục tại x$_{0}$ = 1.

Lời giải

a) Với x$_{0}$ ∈ ℝ bất kì ta có: $\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} f\left( x \right) = {x_0} + 1 = f\left( {{x_0}} \right)$. Do đó hàm số liên tục tại x = x$_{0}$.

b) Dựa vào đồ thị hàm số ta thấy: Đồ thị hàm số là một đường thẳng liền mạch với mọi giá trị x ∈ ℝ.

Lời giải

+) Với mỗi x$_{0}$ ∈ (– ∞; 2) có $\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} \left( {x - 1} \right) = {x_0} - 1 = f\left( {{x_0}} \right)$ là hàm số liên tục.

+) Với mỗi x$_{0}$ ∈ (2; +∞) có $\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} \left( { - x} \right) = - {x_0} = f\left( {{x_0}} \right)$ là hàm số liên tục.

+) Tại x = 2, ta có: $\mathop {\lim }\limits_{x \to 2} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to 2} \left( {x - 1} \right) = 1$ và f(2) = – 2 nên $\mathop {\lim }\limits_{x \to 2} f\left( x \right) \ne f\left( 2 \right)$.

Vậy hàm số không liên tục tại x = 2.

Lời giải

Hình 14a) đồ thị là đường cong Parabol liền mạch nên hàm số liên tục trên toàn bộ khoảng xác định.

Hình 14b) đồ thị bị chia làm hai nhánh:

- Với x < 1 ta thấy hàm số là một đường cong liền nên liên tục.

- Với x > 1 ta thấy hàm số là một đường cong liền nên liên tục.

Vậy hàm đố liên tục trên từng khoảng xác định.

Hình 14c) đồ thị hàm số y = tanx chia thành nhiều nhánh, và mỗi nhánh là các đường cong liền. Do đó hàm số liên tục trên mỗi khoảng xác định của chúng.

Lời giải

Do $f\left( x \right) = \frac{{x + 2}}{{x - 8}}$ nên hàm số liên tục trên mỗi khoảng (– ∞; 8), (8; + ∞).

Lời giải

a) Tại x = 2 có $\mathop {\lim }\limits_{x \to 2} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to 2} \left( {{x^3} + x} \right) = {2^3} + 2 = 10 = f(2)$. Do đó hàm số f(x) liên tục tại x = 2.

Tại x = 2 có $\mathop {\lim }\limits_{x \to 2} g\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to 2} \left( {{x^2} + 1} \right) = {2^2} + 1 = 5 = g(2)$. Do đó hàm số g(x) liên tục tại x = 2.

b) Tại x = 2 có $\mathop {\lim }\limits_{x \to 2} \left( {f\left( x \right) + g\left( x \right)} \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to 2} f\left( x \right) + \mathop {\lim }\limits_{x \to 2} f\left( x \right) = 10 + 5 = 15 = f\left( 2 \right) + g\left( 2 \right)$

Do đó hàm số f(x) + g(x) liên tục tại x = 2.

Tại x = 2 có $\mathop {\lim }\limits_{x \to 2} \left( {f\left( x \right) - g\left( x \right)} \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to 2} f\left( x \right) - \mathop {\lim }\limits_{x \to 2} g\left( x \right) = 10 - 5 = 5 = f\left( 2 \right) - g\left( 2 \right)$

Do đó hàm số f(x) – g(x) liên tục tại x = 2.

Tại x = 2 có $\mathop {\lim }\limits_{x \to 2} \left( {f\left( x \right).g\left( x \right)} \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to 2} f\left( x \right).\mathop {\lim }\limits_{x \to 2} g\left( x \right) = 10.5 = 50 = f\left( 2 \right).g\left( 2 \right)$

Do đó hàm số f(x).g(x) liên tục tại x = 2.

Tại x = 2 có $\mathop {\lim }\limits_{x \to 2} \left( {\frac{{f\left( x \right)}}{{g\left( x \right)}}} \right) = \frac{{\mathop {\lim }\limits_{x \to 2} f\left( x \right)}}{{\mathop {\lim }\limits_{x \to 2} g\left( x \right)}} = \frac{{10}}{5} = 2 = \frac{{f\left( 2 \right)}}{{g\left( 2 \right)}}$

Do đó hàm số $\frac{{f\left( x \right)}}{{g\left( x \right)}}$ liên tục tại x = 2.

Lời giải

Hàm số sinx và cosx liên tục trên ℝ.

Do đó hàm số y = sinx + cosx liên tục trên ℝ.

Lời giải

Hàm số f(x) = 2x$^{3}$ + x + 1 xác định trên ℝ.

Ta có: $\mathop {\lim }\limits_{x \to 2} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to 2} \left( {2{x^3} + x + 1} \right) = {2.2^3} + 2 + 1 = 17 = f\left( 2 \right)$.

Do đó hàm số liên tục tại x = 2.

Lời giải

+) Hình 15a): Hàm số f(x) = x$^{2}$ – 2x có tập xác định D = ℝ.

Hàm số liên tục trên toàn bộ ℝ.

+) Hình 16b): Hàm số $g\left( x \right) = \frac{x}{{x - 1}}$ có tập xác định D = ℝ\{1}.

Do đó hàm số liên tục trên từng khoảng xác định của hàm số.

+) Hình 16c):

Với x ∈ (– ∞; – 1) có f(x) = – 2x liên tục.

Với x ∈ (– 1; ∞) có f(x) = x + 1 liên tục.

Tại x = – 1 có $\mathop {\lim }\limits_{x \to - 1} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to - 1} 2x = - 2$ và f(– 1) = – 1 + 1 = 0.

Suy ra $\mathop {\lim }\limits_{x \to - 1} f\left( x \right) \ne f\left( { - 1} \right)$. Do đó hàm số liên tục tại x = – 1.

Vậy hàm số kiên tục trên các khoảng (– ∞; – 1) và (– 1; ∞).

Lời giải

Theo em ý kiến của bạn Nam là đúng.

Ta có: Hàm số y = f(x) liên tục tại điểm x$_{0}$ nên $\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} f\left( x \right) = f\left( {{x_0}} \right)$.

Hàm số y = g(x) không liên tục tại x$_{0}$ nên $\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} g\left( x \right) \ne g\left( {{x_0}} \right)$.

Do đó $\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} \left( {f\left( x \right) + g\left( x \right)} \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} f\left( x \right) + \mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} g\left( x \right) \ne f\left( {{x_0}} \right) + g\left( {{x_0}} \right)$.

Vì vậy hàm số không liên tục tại x$_{0}$.

Lời giải

a) Hàm số f(x) = x$^{2}$ + sinx có tập xác định là ℝ.

Hàm số x$^{2}$ và sinx liên tục trên ℝ nên hàm số f(x) = x$^{2}$ + sinx liên tục trên ℝ.

b) Hàm số g(x) = x$^{4}$ – x$^{2}$ + $\frac{6}{{x - 1}}$ có tập xác định là ℝ\{1}.

Hàm số x$^{4}$ – x$^{2}$ liên tục trên toàn bộ tập xác định

Hàm số $\frac{6}{{x - 1}}$ liên tục trên các khoảng ( – ∞; 1) và (1; +∞).

Vậy hàm số đã cho liên tục trên từng khoảng xác định của hàm số.

c) Hàm số $h\left( x \right) = \frac{{2x}}{{x - 3}} + \frac{{x - 1}}{{x + 4}}$ có tập xác định D = ℝ\{– 4; 3}.

Hàm số $\frac{{2x}}{{x - 3}}$ liên tục trên các khoảng ( – ∞; 3) và (3; +∞).

Hàm số $\frac{{x - 1}}{{x + 4}}$ liên tục trên các khoảng ( – ∞; – 4) và (– 4; +∞).

Lời giải

a) Với a = 0, tại x = 4, ta có:

$\mathop {\lim }\limits_{x \to 4} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to 4} \left( {{x^2} + x + 1} \right) = {4^2} + 4 + 1 = 21$ và f(4) = 2.0 + 1 = 1

Suy ra $\mathop {\lim }\limits_{x \to 4} f\left( x \right) \ne f\left( 4 \right)$.

Vì vậy hàm số không liên tục tại x = 4.

b) Ta có: $\mathop {\lim }\limits_{x \to 4} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to 4} \left( {{x^2} + x + 1} \right) = {4^2} + 4 + 1 = 21$ và f(4) = 2.a + 1

Để hàm số liên tục tại x = 4 thì $\mathop {\lim }\limits_{x \to 4} f\left( x \right) = f\left( 4 \right)$

⇔ 21 = 2a + 1

⇔ 2a = 20

⇔ a = 10

Vậy với a = 10 thì hàm số liên tục tại x = 4.

c) Với x ∈ (– ∞; 4) có f(x) = x$^{2}$ + x + 1 liên tục với mọi x thuộc khoảng này.

Với x ∈ (4; +∞) có f(x) = 2a + 1 liên tục với mọi x thuộc khoảng này.

Tại x = 4 thì a = 10 hàm số liên tục.

Vậy với a = 10 hàm số liên tục trên tập xác định của nó.

Lời giải

a) Hàm số h(t) = – 2t$^{2}$ + 8t là hàm đa thức nên liên tục trên tập xác định.

b) Dựa vào đồ thị hàm số khi t tiến dần đế 2 thì h(t) dần đến 8.

Vậy $\mathop {\lim }\limits_{t \to 2} \left( { - 2{t^2} + 8t} \right) = 8$.