Giải SGK Toán 11 CD Bài 2. Hai đường thẳng song song trong không gian có đáp án

Lời giải

Sau bài học này, chúng ta sẽ giải quyết được câu hỏi trên như sau:

Hai đường thẳng song song trong không gian là hai đường thẳng cùng nằm trong một mặt phẳng và không có điểm chung.

Lời giải

a) Trong một mặt phẳng, ta có các vị trí tương đối sau của hai đường thẳng:

– Hai đường thẳng cắt nhau;

– Hai đường thẳng song song với nhau;

– Hai đường thẳng trùng nhau.

b) Hai đường thẳng a và b trong Hình 31a) đang nằm trên cùng một mặt phẳng và cắt nhau.

Hai đường thẳng a và b trong Hình 31b) không cùng nằm trên một mặt phẳng.

Lời giải

– Hai đường thẳng a và b cùng nằm trong một mặt phẳng là tường nhà và hai đường thẳng này song song với nhau.

– Hai đường thẳng a và c không cùng nằm trên một mặt phẳng do đó hai đường thẳng này chéo nhau.

– Hai đường thẳng b và c cùng nằm trên một mặt phẳng trần nhà và hai đường thẳng này cắt nhau.

Lời giải

Dự đoán: Trong không gian, qua điểm M ta vẽ được một đường thẳng duy nhất song song với đường thẳng d.

Lời giải

– Ta có: a ∩ b = {M}

Mà a ⊂ (P); b ⊂ (Q)

Nên M ∈ (P) và M ∈ (Q)

Do đó M là giao điểm của (P) và (Q).

Mà (P) ∩ (Q) = c, suy ra M ∈ c.

Vậy đường thằng c đi qua điểm M.

– Giả sử trong mặt phẳng (P) có a ∩ c = {N}.

Khi đó N ∈ a mà a ⊂ (R) nên N ∈ (R)

N ∈ c mà c ⊂ (Q) nên N ∈ (Q)

Do đó N là giao điểm của (R) và (Q).

Mà (Q) ∩ (R) = b

Suy ra N ∈ b.

Vì thế a và b có điểm chung là N (mâu thuẫn với giả thiết a và b song song).

Vậy nếu đường thẳng a song song với đường thẳng b thì đường thẳng a và b song song với đường thẳng c.

Lời giải

• Ta có: S ∈ (SAB) và S ∈ (SCD) nên S là giao điểm của (SAB) và (SCD).

Mà AB // CD;

AB ⊂ (SAB);

CD ⊂ (SCD).

Do đó giao tuyến của (SAB) và (SCD) là đường thẳng n đi qua S và song song với AB và CD.

• Ta có: S ∈ (SAD) và S ∈ (SBC) nên S là giao điểm của (SAD) và (SBC).

Mà AD // BC

AD ⊂ (SAD);

BC ⊂ (SBC).

Do đó giao tuyến của (SAD) và (SBC) là đường thẳng p đi qua S và song song với AD và BC.

Lời giải

Trong mặt phẳng, hai đường thẳng phân biệt cùng song song với đường thẳng thứ ba thì chúng song song với nhau.

Lời giải

+) Xét tam giác SAC, có:

M là trung điểm SA, N là trung điểm của SC

Do đó MN là đường trung bình của tam giác SAC.

Suy ra MN // AC (1)

+) Xét tam giác ABC, có: $\frac{{BP}}{{BA}} = \frac{{BQ}}{{BC}} = \frac{1}{3}$

Suy ra PQ // AC (định lí Thalès đảo) (2)

Từ (1) và (2) suy ra MN // PQ.

Lời giải

Gợi ý những hình ảnh hai đường thẳng song song: Hai rìa mép thước thẳng, hai đường viền bàn đối nhau, đường viền chân tường và đường viền trần nhà (trong cùng một bức tường), hai đường viền bảng đối nhau, ...

Gợi ý những hình ảnh về hai đường thẳng cắt nhau: Hai rìa mép thước kề nhau, hai đường viền bảng kề nhau, đường góc tường và đường chân tường (trong cùng một bức tường), ...

Gợi ý những hình ảnh về hai đường thẳng chéo nhau: Đường chéo của bàn học với đường góc tường, đường chéo của bảng và đường viền chân tường trong bức tường kề với bức tường chứa bảng, ...

Lời giải

Vị trí tương đối của hai trong ba cột tuabin có trong hình là hai đường thẳng song song.

Lời giải

+) Ta có: ABCD là hình bình hành nên AD // BC

Mà AB ⊂ (SAB);

BC ⊂ (SBC);

S ∈ (SAB) và S ∈ (SBC).

Vì vậy giao tuyến của hai mặt phẳng là đường thẳng d đi qua S và song song với AD và BC.

Vậy (SAB) ∩ (SBC) = d.

+) Trong tam giác SAD, có: M, P lần lượt là trung điểm của SA, SD

Do đó MP là đường trung bình nên MP // AD.

Mà MP ⊂ (MNP);

AD ⊂ (ABCD);

N ∈ (MNP) và N ∈ (ABCD).

Vì vậy giao tuyến của hai mặt phẳng là đường thẳng đi qua N và song song với AD và BC, cắt CD tại Q.

Vậy (MNP) ∩ (ABCD) = NQ.

Lời giải

+) Trong mặt phẳng ABC, kẻ đường trung tuyến AM (M ∈ BC).

Do G$_{1}$ là trọng tâm của tam giác ABC nên $\frac{{A{G_1}}}{{AM}} = \frac{2}{3}$.

+) Trong mặt phẳng ABD, kẻ đường trung tuyến AN (N ∈ BD).

Do G$_{2}$ là trọng tâm của tam giác ABD nen $\frac{{A{G_2}}}{{AN}} = \frac{2}{3}$.

+) Xét tam giác AMN, có $\frac{{A{G_1}}}{{AM}} = \frac{{A{G_2}}}{{AN}} = \frac{2}{3}$ nên G$_{1}$G$_{2}$ // MN (định lí Thalès đảo).

+) Xét tam giác BCD, có: M, N lần lượt là trung điểm của BC, BD

Do đó MN là đường trung bình của tam giác BCD.

Suy ra MN // CD.

Mà G$_{1}$G$_{2}$ // MN (chứng minh trên) nên G$_{1}$G$_{2}$ // CD.

Lời giải

Trong mặt phẳng (SAB), có: M, N lần lượt là trung điểm của SA và SB

Do đó MN là đường trung bình của tam giác

Suy ra MN // AB và MN = $\frac{1}{2}$AB.

Lại có AB // CD (do ABCD là hình thang) và AB = 2CD hay CD = $\frac{1}{2}$AB

Do đó MN // CD và MN = CD.

Suy ra MNCD là hình bình hành.

Vì vậy MD // NC.

Lời giải

a)

Trong tam giác SMN, có: IJ // MN (tính chất đường trung bình) và IJ = $\frac{1}{2}$MN.

Trong tam giác SQP, có: LK // QP (tính chất đường trung bình) và LK = $\frac{1}{2}$PQ.

Mà QP // AC // MN (tính chất đường trung bình) và PQ = MN = $\frac{1}{2}$AC

Do đó IJ // LK và IJ = LK

Vậy qua hai đường thẳng song song ta xác định được duy nhất một mặt phẳng chứa hai đường thẳng song song đó hay I, J, K, L đồng phẳng.

Xét tứ giác IJKL có IJ // LK và IJ = LK nên IJKL là hình bình hành.

b)

Trong tam giác SMP có: IK // MP (tính chất đường trung bình tam giác SMP)

Mà MP // AD // BC (tính chất đường trung bình của hình thang)

Suy ra IK // BC.

c) Ta có: J ∈ SN mà SN ⊂ (SBC) nên J ∈ (SBC)

Lại có J ∈ (IJKL)

Do đó J là giao điểm của (IJKL) và (SBC).

Mặt khác: IK // BC (chứng minh trên);

IK ⊂ (IJKL);

BC ⊂ (SBC).

Do đó giao tuyến của hai mặt phẳng (IJKL) và (SBC) là đường thẳng đi qua J song song với BC cắt SB, SC lần lượt tại B’ và C’.

Vậy (IJKL) ∩ (SBC) = B’C’.

Lời giải

• Ta có: B ∈ (BDK) và B ∈ (BCD) nên B là giao điểm của (BDK) và (BCD).

D ∈ (BDK) và D ∈ (BCD) nên D là giao điểm của (BDK) và (BCD).

Do đó (BDK) ∩ (BCD) = BD.

• Ta có: M ∈ BK mà BK ⊂ (BDK) nên M ∈ (BDK);

M ∈ AI mà AI ⊂ (AIJ) nên M ∈ (AIIJ)

Do đó M là giao điểm của (BDK) và (AIJ)

Tương tự ta cũng có N là giao điểm của (BDK) và (AIJ)

Suy ra (BDK) ∩ (AIJ) = MN.

• Ta có: I ∈ BC mà BC ⊂ (BCD) nên I ∈ (BCD)

Lại có I ∈ (AIJ) nên I là giao điểm của (BCD) và (AIJ)

Tương tự ta cũng có J là giao điểm của (BCD) và (AIJ)

Suy ra (BCD) ∩ (AIJ) = IJ.

• Xét DBCD có I, J lần lượt là trung điểm của BC, CD nên IJ là đường trung bình của tam giác

Do đó IJ // BD.

• Ta có: (BDK) ∩ (BCD) = BD;

(BDK) ∩ (AIJ) = MN;

(BCD) ∩ (AIJ) = IJ;

IJ // BD.

Suy ra MN // BD.