Giải SGK Toán 11 CD Bài 2. Cấp số cộng có đáp án

Lời giải

Ta có thửa ruộng thấp nhất có độ cao u$_{1}$ = 1 250 m so với mực nước biển.

Thửa ruộng ở bậc thứ hai cao hơn so với mực nước biển là: u$_{2}$ = 1 250 + 1,2 (m).

Thửa ruộng ở bậc thứ ba cao hơn so với mực nước biển là: u$_{3}$ = 1 250 + 1,2 + 1,2 = 1 250 + 2.1,2 (m).

...

Thửa ruộng ở bậc thứ 10 cao hơn so với mực nước biển là: u$_{10}$ = 1 250 + 9.1,2 = 1 260,8 (m)

Lời giải

Số hạng thứ hai là số 3, so với số hạng đầu tiên ta thấy 3 lớn hơn – 2 năm đơn vị.

Số hạng thứ ba là số 8, so với số hạng đứng ngay trước nó ta thấy 8 hơn 3 năm đơn vị.

Số hạng thứ tư là số 13, so với số hạng đứng ngay trước nó ta thấy 13 hơn 8 năm đơn vị.

Số hạng thứ năm là số 18, so với số hạng đứng ngay trước nó ta thấy 18 hơn 13 năm đơn vị.

Số hạng thứ sáu là số 23, so với số hạng đứng ngay trước nó ta thấy 23 hơn 18 năm đơn vị.

Số hạng cuối là số 28, so với số hạng đứng ngay trước nó ta thấy 28 hơn 23 năm đơn vị.

Vậy ta thấy kể từ số hạng thứ hai trở đi số hạng sau hơn số hạng trước năm đơn vị.

Lời giải

Công sai của cấp số cộng đã cho là: d = u$_{2}$ – u$_{1}$ = – 2 – (– 7) = 5.

Khi đó công thức tổng quát của cấp số cộng là: u$_{n}$ = u$_{1}$ + (n – 1)d = – 7 + (n – 1).5

Lời giải

Ta có: u$_{n+1}$ = – 5(n + 1) + 7 = – 5n – 5 + 7 = – 5n + 2

Xét hiệu u$_{n+1}$ – u$_{n}$ = – 5n + 2 – (– 5n + 7) = – 5

Do đó (u$_{n}$) là một cấp số cộng.

Lời giải

a) Năm số hạng đầu của cấp số cộng theo u$_{1}$ và d là:

u$_{1}$; u$_{2}$ = u$_{1}$ + d; u$_{3}$ = u$_{1}$ + 2d, u$_{4}$ = u$_{1}$ + 3d, u$_{5}$ = u$_{1}$ + 4d.

Lời giải

Độ cao các thửa ruộng so với mực nước biển tạo thành một cấp số cộng với số hạng đầu u$_{1}$ = 1 250 m và công sai d = 1,2 (m).

Khi đó công thức tổng quát của cấp số cộng là: u$_{n}$ = u$_{1}$ + (n – 1).d = 1 250 + (n – 1).1,2.

Vậy độ cao của thửa ruộng thứ 10 so với mực nước biển là:

u$_{10}$ = 1 250 + (10 – 1).1,2 = 1 260,8 m.

Lời giải

a) Ta có: u$_{1}$ + u$_{n}$ = u$_{1}$+ u$_{1}$ + (n – 1)d = 2u$_{1}$ + (n – 1)d;

u$_{2}$ + u$_{n-1}$ = u$_{1}$ + d + u$_{1}$ + (n – 1 – 1)d = 2u$_{1}$ + (n – 1)d;

u$_{3}$ + u$_{n-2}$ = u$_{1}$ + 2d + u$_{1}$ + (n – 2 – 1)d = 2u$_{1}$ + (n – 1)d;

...

u$_{n}$ + u$_{1}$ = u$_{1}$ + (n – 1)d + u$_{1}$ = 2u$_{1}$ + (n – 1)d.

Ta thấy u$_{1}$ + u$_{n}$ = u$_{2}$ + u$_{n-1}$ = u$_{3}$ + u$_{n-2}$ = ... = u$_{n}$ + u$_{1}$.

b) Ta có: 2S$_{n}$ = 2.(u$_{1}$ + u$_{2}$ + u$_{3}$ + ... + u$_{n}$) = (u$_{1}$ + u$_{n}$) + (u$_{2}$ + u$_{n-1}$) + ... + (u$_{n}$ + u$_{1}$)

= 2u$_{1}$ + (n – 1)d + 2u$_{1}$ + (n – 1)d + 2u$_{1}$ + (n – 1)d + ... + 2u$_{1}$ + (n – 1)d

= 2n.u$_{1}$ + n(n – 1)d

= n(u$_{1}$ + u$_{1}$ + (n – 1)d)

= n(u$_{1}$ + u$_{n}$).

Lời giải

a) Ta có: 3; 1; – 1; ... là cấp số cộng với số hạng đầu u$_{1}$ = 3 và công sai d = 1 – 3 = – 2.

Khi đó u$_{10}$ = 3 + (10 – 1).(– 2) = 3 + (– 18) = – 15.

Tổng của 10 số hạng đầu của cấp số cộng là:

S$_{10}$ = $\frac{{10\left[ {3 + \left( { - 15} \right)} \right]}}{2} = - 60$.

b) 1,2; 1,7; 2,2; ... với n = 15.

Ta có: 1,2; 1,7; 2,2; ... là cấp số cộng với số hạng ban đầu u$_{1}$ = 1,2 và công sai d = 1,7 – 1,2 = 0,5.

Khi đó u$_{15}$ = 1,2 + (15 – 1).0,5 = 8,2.

Tổng của 15 số hạng đầu của cấp số cộng là:

S$_{15}$ = $\frac{{15\left[ {1{,}2 + 8{,}2} \right]}}{2} = 70{,}5$.

Lời giải

a) Ta có: 10; – 2; – 14; – 26; – 38 là cấp số cộng có số hạng đầu u$_{1}$ = 10 và công sai của cấp số cộng là: d = – 12.

b) Ta có: $\frac{1}{2};\,\,\frac{5}{4};\,\,2;\,\,\frac{{11}}{4};\,\,\frac{7}{2}$ là cấp số cộng có số hạng đầu là u$_{1}$ = $\frac{1}{2}$ và công sai d = $\frac{3}{4}$.

c) Ta có: 1$^{2}$; 2$^{2}$; 3$^{2}$; 4$^{2}$; 5$^{2}$ không là cấp số cộng vì 2$^{2}$ – 1$^{2}$ ≠ 3$^{2}$ – 2$^{2}$.

d) Ta có: 1; 4; 7; 10; 13 là cấp số cộng có số hạng đầu là u$_{1}$ = 1 và công sai d = 3.

Lời giải

a) Ta có: u$_{n+1}$ = 3 – 2(n + 1) = 3 – 2n – 2 = 1 – 2n

Suy ra u$_{n+1}$ – u$_{n}$ = 1 – 2n – 3 + 3n = – 2.

Vì vậy đây là một cấp số cộng có số hạng đầu u$_{1}$ = 1 và công sai d = – 2.

b) Ta có: u$_{n+1}$ = $\frac{{3\left( {n + 1} \right) + 7}}{5} = \frac{{3n + 10}}{5}$

Xét hiệu u$_{n+1}$ – u$_{n}$ = $\frac{{3n + 10}}{5} - \frac{{3n + 7}}{5} = \frac{3}{5}$

Vì vậy đây là một cấp số cộng có số hạng đầu ${u_1} = 2$ và công sai $d = \frac{3}{5}$.

c) Ta có: u$_{n+1}$ = 3$^{n+1}$ = 3.3$^{n}$

Xét hiệu u$_{n+1}$ – u$_{n}$ = 3.3$^{n}$ – 3$^{n}$ = 2.3$^{n}$ với n ∈ ℕ*

Vì vậy đây không là một cấp số cộng.

Lời giải

a) Ta có công thức số hạng tổng quát của cấp số cộng (u$_{n}$) là: u$_{1}$ = – 3 + (n – 1).5 = 5n – 8.

b) Xét u$_{n}$ = 492

⇔ 5n – 8 = 492

⇔ n = 100.

Vậy số 492 là số hạng thứ 100 của cấp số cộng trên.

c) Xét u$_{n}$ = 300

⇔ 5n – 8 = 300

⇔ n = 61,6 ∉ ℕ*

Vậy không tồn tại số hạng trong cấp số cộng bằng 300.

Lời giải

Công sai của cấp số cộng (u$_{n}$) là d = u$_{2}$ – u$_{1}$ = 1 – 4 = – 3.

Khi đó số hạng tổng quát của cấp số cộng là: u$_{n}$ = u$_{1}$ + (n – 1).d = 4 + (n – 1).(– 3)

Suy ra u$_{10}$ = 4 + (10 – 1).(– 3) = 31.

Lời giải

a) Ta có: u$_{1}$ + u$_{2}$ + u$_{3}$ = – 1

⇒ u$_{1}$ + u$_{1}$ + d + u$_{1}$ + 2d = – 1

⇒ 3u$_{1}$ + 3d = – 1

Mà u$_{1}$ = $\frac{1}{3}$ nên d = $- \frac{2}{3}$

Khi đó công thức tổng quát của cấp số cộng là: u$_{n}$ = $\frac{1}{3} - \frac{2}{3}\left( {n - 1} \right) = - \frac{2}{3}n + \frac{1}{3}$ với mọi n ∈ ℕ*.

b) Xét u$_{n}$ = $- \frac{2}{3}n + \frac{1}{3} = - 67$

$\Leftrightarrow - \frac{2}{3}n = \frac{{ - 202}}{3}$

$\Leftrightarrow n = 101$

Vậy số – 67 là số hạng thứ 101 của dãy.

c) Xét u$_{n}$ = 7

$\Leftrightarrow - \frac{2}{3}n + \frac{1}{3} = 7$

$\Leftrightarrow - \frac{2}{3}n = \frac{{20}}{3}$

⇔ n = – 10 ∉ ℕ*

Vậy số 7 không phải là một số hạng trong cấp số cộng.

Lời giải

Ta có: u$_{n+1}$ = 0,3.(n + 1) + 5 = 0,3n + 5,3

Xét hiệu u$_{n+1}$ – u$_{n}$ = 0,3n + 5,3 – 0,3n – 5 = 0,3.

Do đó (u$_{n}$) là một cấp số cộng với số hạng đầu u$_{1}$ = 5,3 và công sai d = 0,3.

Khi đó số hạng tổng quát của cấp số cộng u$_{n}$ là: u$_{n}$ = 5,3 + (n – 1).0,3

Suy ra u$_{100}$ = 5,3 + (100 – 1).0,3 = 35.

Vậy tổng của 100 số hạng đầu của dãy số là: ${S_{100}} = \frac{{100\left( {5{,}3 + 35} \right)}}{2} = 2\,\,015$.

Lời giải

a) Chiều cao 3 năm tuổi của một đứa bé phát triển bình thường là:

x$_{3}$ = 75 + 5(3 – 1) = 85 (cm).

b) Ta có: x$_{n+1}$ = 75 + 5(n + 1 – 1) = 75 + 5n

Xét hiệu x$_{n+1}$ – x$_{n}$ = 75 + 5n – [75 + 5(n – 1)] = 5

Do đó (x$_{n}$) là một cấp số cộng có số hạng đầu x$_{1}$ = 75 và công sai d = 5

Lời giải

+) Theo phương án 1: Gọi (u$_{n}$) là dãy số tiền lương của người lao động theo phương án 1 qua mỗi năm. Dãy số (u$_{n}$) lập thành một cấp số cộng có số hạng đầu u$_{1}$ = 120 và công sai d = 18.

Khi đó số hạng tổng quát của cấp số nhân là: u$_{n}$ = 120 + (n – 1).18.

+) Theo phương án 2: Gọi (v$_{n}$) là dãy số tiền lương của người lao động theo phương án 2 qua từng quý. Dãy số (v$_{n}$) lập thành một cấp số cộng có số hạng đầu v$_{1}$ = 24 và công sai d = 1,8.

Khi đó số hạng tổng quát của cấp số nhân là v$_{n}$ = 24 + (n – 1).1,8.

a) Khi kí hợp đồng 3 năm tương đương với 12 quý ta có:

+) Theo phương án 1: u$_{3}$ = 120 + (3 – 1).18 = 156 (triệu đồng)

Tổng số tiền lương nhận được sau 3 năm là:

${S_3} = \frac{{3.\left( {120 + 156} \right)}}{2} = 414$ (triệu đồng).

+) Theo phương án 2: u$_{12}$ = 24 + (12 – 1).1,8 = 43,8.

Tổng số tiền lương nhận được sau 3 năm tương ứng với 12 quý là:

${S_{12}} = \frac{{12.\left( {24 + 43{,}8} \right)}}{2} = 406{,}8$ (triệu đồng).

Vậy nếu được tuyển dụng vào doanh nghiệp và kí hợp đồng lao động 3 năm thì nên theo phương án 1.

b) Khi kí hợp đồng 10 năm tương đương với 40 quý ta có:

+) Theo phương án 1: u$_{10}$ = 120 + (10 – 1).18 = 282 (triệu đồng)

Tổng số tiền lương nhận được sau 10 năm là:

${S_{10}} = \frac{{10.\left( {120 + 282} \right)}}{2} = 2\,010$ (triệu đồng).

+) Theo phương án 2: u$_{40}$ = 24 + (40 – 1).1,8 = 94,2.

Tổng số tiền lương nhận được sau 10 năm tương ứng với 40 quý là:

${S_{12}} = \frac{{40.\left( {24 + 94{,}2} \right)}}{2} = 2\,\,364$ (triệu đồng).

Vậy nếu được tuyển dụng vào doanh nghiệp và kí hợp đồng lao động 10 năm thì nên theo phương án 2.