Giải SGK Toán 11 CD Bài 1. Định nghĩa đạo hàm, ý nghĩa hình học của đạo hàm có đáp án

Sau bài học này chúng ta sẽ trả lời được câu hỏi trên như sau:

Đại lượng biểu thị tốc độ nhanh chậm của chuyển động tại một thời điểm là v(x$_{0}$), là đạo hàm của hàm số theo thời gian biểu thị quỹ đạo chuyển động của tên lửa.

Ta có vận tốc tức thời tại thời điểm x$_{0}$ của viên bi là $v({x}_{0})=\underset{{x}_{1}\rightarrow {x}_{0}}{\lim }\frac{f({x}_{1})-f({x}_{0})}{{x}_{1}-{x}_{0}}$ với $f(x)=\frac{1}{2}g{x}^{2}.$

Vận tốc tức thời của viên bi tại thời điểm x$_{0}$ =1 (s) là:

$v({x}_{0})=v(1)=\underset{{x}_{1}\rightarrow 1}{\lim }\frac{f({x}_{1})-f(1)}{{x}_{1}-1}=\underset{{x}_{1}\rightarrow 1}{\lim }\frac{\frac{1}{2}g{x}_{1}^{2}-\frac{1}{2}g\cdot {1}^{2}}{{x}_{1}-1}$

$=\underset{{x}_{1}\rightarrow 1}{\lim }\frac{\frac{1}{2}g({x}_{1}^{2}-1)}{{x}_{1}-1}=\underset{{x}_{1}\rightarrow 1}{\lim }\frac{\frac{1}{2}g({x}_{1}-1)({x}_{1}+1)}{{x}_{1}-1}$

$=\underset{{x}_{1}\rightarrow 1}{\lim }\frac{1}{2}g({x}_{1}+1)=\frac{1}{2}g(1+1)=g\approx 9{,}8$ (m/s).

⦁ Xét ∆x là số gia của biến số tại điểm x$_{0}$ = 2.

Ta có: $Δy=f(2+Δx)-f(2)\ =\frac{1}{2+Δx}-\frac{1}{2}$

$=\frac{2}{2\cdot (2+Δx)}-\frac{2+Δx}{2\cdot (2+Δx)}=\frac{-Δx}{2\cdot (2+Δx)}$

Suy ra $\frac{Δy}{Δx}=\frac{\frac{-Δx}{2(2+Δx)}}{Δx}=-\frac{1}{2(2+Δx)}$

⦁ Ta thấy $\underset{Δx\rightarrow 0}{\lim }\frac{Δy}{Δx}=\underset{Δx\rightarrow 0}{\lim }\frac{-1}{2(2+Δx)}=\frac{-1}{2(2+0)}=\frac{-1}{4}.$

Vậy ${f}^{'}(2)\ =\frac{-1}{4}.$

⦁ Xét ∆x là số gia của biến số tại điểm x.

Ta có ∆y = f(x + ∆x) – f(x) = (x + ∆x)$^{3}$ – x$^{3}$

= x$^{3}$ + 3x$^{2}$∆x + 3x(∆x)$^{2}$ + (∆x)$^{3}$ – x$^{3}$

= 3x$^{2}$∆x + 3x(∆x)$^{2}$ + (∆x)$^{3}$

= ∆x[3x$^{2}$ + 3x∆x + (∆x)$^{2}$]

Suy ra $\frac{Δy}{Δx}=\frac{Δx[3{x}^{2}+3xΔx+{(Δx)}^{2}]}{Δx}=3{x}^{2}+3xΔx+{(Δx)}^{2}.$

⦁ Ta thấy $\underset{Δx\rightarrow 0}{\lim }\frac{Δy}{Δx}=\underset{Δx\rightarrow 0}{\lim }[3{x}^{2}+3x\cdot Δx+{(Δx)}^{2}]=3{x}^{2}+3Δx\cdot 0+{0}^{2}=3{x}^{2}.$

Vậy f’(x) = 3x$^{2}$.

a) Từ M$_{0}$(x$_{0}$; y$_{0}$) và M(x$_{M}$; y$_{M}$) ta có $\overrightarrow{{M}_{0}M}=({x}_{M}-{x}_{0};{y}_{M}-{y}_{0})$

Đường cát tuyến M$_{0}$M nhận $\overrightarrow{{M}_{0}M}=({x}_{M}-{x}_{0};{y}_{M}-{y}_{0})$ làm vectơ chỉ phương nên có hệ số góc là ${k}_{M}=\frac{{y}_{M}-{y}_{0}}{{x}_{M}-{x}_{0}}=\frac{f({x}_{M})-f({x}_{0})}{{x}_{M}-{x}_{0}}$

Khi đó ${k}_{0}=\underset{{x}_{M}\rightarrow {x}_{0}}{\lim }{k}_{M}=\underset{{x}_{M}\rightarrow {x}_{0}}{\lim }\frac{f({x}_{M})-f({x}_{0})}{{x}_{M}-{x}_{0}}={f}^{'}({x}_{0}).$

Vậy k$_{0}$ = f’(x$_{0}$).

Tiếp tuyến của đồ thị tại điểm có hoành độ bằng 1 có hệ số góc là:

${f}^{'}(1)=\underset{x\rightarrow 1}{\lim }\frac{f(x)-f(1)}{x-1}=\underset{x\rightarrow 1}{\lim }\frac{\frac{1}{x}-\frac{1}{1}}{x-1}=\underset{x\rightarrow 1}{\lim }\frac{\frac{1}{x}-1}{x-1}$

$=\underset{x\rightarrow 1}{\lim }\frac{1-x}{x(x-1)}=\underset{x\rightarrow 1}{\lim }\frac{-1}{x}=\frac{-1}{1}=-1.$

Phương trình tiếp tuyến của đồ thị tại điểm N(1; 1) là: y = –1(x – 1) + 1 hay y = –x + 2.

⦁ Xét ∆x là số gia của biến số tại điểm x$_{0}$ = 1.

Ta có ∆y = f(1 + ∆x) – f(1) = 3(1 + ∆x)$^{3}$ – 1 – (3.1$^{3}$ – 1)

= 3 + 9∆x + 9.(∆x)$^{2}$ + 3(∆x)$^{3}$ – 1 – 2

= 9∆x + 9.(∆x)$^{2}$ + 3(∆x)$^{3}$

= ∆x[9 + 9∆x + 3(∆x)$^{2}$].

Suy ra $\frac{Δy}{Δx}=\frac{Δx[9+9Δx+3{(Δx)}^{2}]}{Δx}=9+9Δx+3{(Δx)}^{2}.$

⦁ Ta thấy $\underset{Δx\rightarrow 0}{\lim }\frac{Δy}{Δx}=\underset{Δx\rightarrow 0}{\lim }[9+9Δx+3{(Δx)}^{2}]=9+9\cdot 0+3\cdot {0}^{2}=9.$

a) Tiếp tuyến của đồ thị (C) tại điểm có hoành độ bằng 2 có hệ số góc là:

${f}^{'}(2)=\underset{x\rightarrow 2}{\lim }\frac{f(x)-f(2)}{x-2}=\underset{x\rightarrow 2}{\lim }\frac{-2{x}^{2}+x-(-2\cdot {2}^{2}+2)}{x-2}$

$=\underset{x\rightarrow 2}{\lim }\frac{-2{x}^{2}+x+6}{x-2}=\underset{x\rightarrow 2}{\lim }\frac{-(x-2)(2x+3)}{x-2}$

$=\underset{x\rightarrow 2}{\lim }[-(2x+3)]=-(2\cdot 2+3)=-7.$

Vậy hệ số góc của tiếp tuyến của đồ thị (C) tại điểm có hoành độ bằng 2 là f’(x) = –7.

a) Xét ∆Q là số gia của biến số tại điểm Q.

Ta có ∆C = C(Q + ∆Q) – C(Q)

= (Q + ∆Q)$^{2}$ + 80(Q + ∆Q) + 3 500 – Q$^{2}$ – 80Q – 3 500

= (∆Q)$^{2}$ + 2Q. ∆Q + 80∆Q.

= ∆Q(∆Q + 2Q + 80).

Suy ra $\frac{ΔC}{ΔQ}=\frac{ΔQ(ΔQ+2Q+80)}{ΔQ}=ΔQ+2Q+80.$

Ta thấy $\underset{ΔQ\rightarrow 0}{\lim }\frac{ΔC}{ΔQ}=\underset{ΔQ\rightarrow 0}{\lim }(ΔQ+2Q+80)=2Q+80.$

Vậy hàm chi phí biên là: C’(Q) = 2Q + 80 (USD).

b) Ta có C’(90) = 2 . 90 + 80 = 260 (USD).

Ý nghĩa: Để sản xuất thêm 1 sản phẩm từ 90 lên 91 sản phẩm cần chi phí biên (chi phí gia tăng) là 260 (USD).