Giải SGK Toán 11 CD Bài 1. Dãy số có đáp án

Lời giải:

Các số 1, 1, 2, 3, 5, 8, 21 được viết theo quy tắc trên gợi nên khái niệm “dãy số” trong toán học. Bài học ngày hôm nay sẽ tìm hiểu về khái niệm này.

Lời giải:

Quãng đường vật chuyển động được trong thời gian 1 giây là: 20 . 1 = 20 (m).

Quãng đường vật chuyển động được trong thời gian 2 giây là: 20 . 2 = 40 (m).

Quãng đường vật chuyển động được trong thời gian 3 giây là: 20 . 3 = 60 (m).

Quãng đường vật chuyển động được trong thời gian 4 giây là: 20 . 4 = 80 (m).

Quãng đường vật chuyển động được trong thời gian 5 giây là: 20 . 5 = 100 (m).

Vậy các số chỉ quãng đường (đơn vị: mét) vật chuyển động được lần lượt trong thời gian 1 giây, 2 giây, 3 giây, 4 giây, 5 giây theo hàng ngang là: 20, 40, 60, 80, 100.

Lời giải

Số hạng đầu của khai triển là u$_{1}$ = u(1) = 1$^{3}$ = 1.

Số hạng cuối của khai triển là u$_{5}$ = u(5) = 5$^{3}$ = 125.

Dãy số được viết dưới dạng khai triển là: 1; 8; 27; 64; 125.

Lời giải

Ta có: u$_{1}$ = $\frac{1}{1} = 1$; u$_{2}$ = $\frac{1}{2}$; u$_{3}$ = $\frac{1}{3}$; ... u$_{n}$ = $\frac{1}{n}$; ...

Lời giải

a) Năm số hạng đầu của dãy số là: u$_{1}$ = 1$^{2}$ = 1; u$_{2}$ = 2$^{2}$ = 4; u$_{3}$ = 3$^{2}$ = 9; u$_{4}$ = 4$^{2}$ = 16, u$_{5}$ = 5$^{2}$ = 25.

Số hạng tổng quát của dãy số u$_{n}$ là u$_{n}$ = n$^{2}$ với n ∈ ℕ.

b) Dạng khai triển của dãy số u$_{1}$ = 1; u$_{2}$ = 4; u$_{3}$ = 9; u$_{4}$ = 16, u$_{5}$ = 25, ..., u$_{n}$ = n$^{2}$, ...

Lời giải

a) Cách xác định mỗi số hạng của các dãy số đã cho là:

- Dãy số (1) được xác định bằng cách liệt kê.

- Dãy số (2) được xác định bằng cách diễn đạt bằng lời cách xác định mỗi số hạng của dãy số đó.

- Dãy số (3) được xác định bằng cách cho công thức của số hạng tổng quát của dãy số đó.

- Dãy số (4) được xác định bằng cách cho bằng phương pháp quy hồi.

b) Từ ý a) ta có thể thấy dãy số có thể cho bằng 4 phương pháp: liệt kê, diễn đạt bằng lời các xác định mỗi số hạng của dãy số đó, cho công thức của số hạng tổng quát của dãy số đó, cho bằng phương pháp quy hồi.

Lời giải

Ta có: ${u_3} = \frac{{3 - 3}}{{3.3 + 1}} = 0$;

${u_{333}} = \frac{{333 - 3}}{{3.333 + 1}} = 0{,}33$.

Dãy số dưới dạng khai triển là: ${u_1} = - \frac{1}{2};{u_2} = - \frac{1}{7};{u_3} = 0,{u_4} = \frac{1}{{13}};...;{u_n} = \frac{{n - 3}}{{3.n + 1}};...$

Lời giải

Ta có: u$_{n+1}$ = (n + 1)$^{2}$ = n$^{2}$ + 2n + 1.

Xét hiệu: u$_{n+1}$ – u$_{n}$ = n$^{2}$ + 2n + 1 – n$^{2}$ = 2n + 1 > 0 với mọi n ∈ ℕ$^{*}$.

Vậy u$_{n+1}$ > u$_{n}$.

Lời giải

Ta có: ${u_{n + 1}} = \frac{1}{{{3^{n + 1}}}}$

Xét hiệu ${u_{n + 1}} - {u_n} = \frac{1}{{{3^{n + 1}}}} - \frac{1}{{{3^n}}} = - \frac{2}{3}.\frac{1}{{{3^n}}} < 0$

Suy ra u$_{n+1}$ < u$_{n}$.

Vậy dãy số giảm.

Lời giải

Xét hiệu u$_{n}$ – 2 = $1 + \frac{1}{n}$ - 2 = $\frac{1}{n} - 1$

Vì n ∈ ℕ$^{*}$ nên n ≥ 1 suy ra $\frac{1}{n} \le 1$ do đó: $\frac{1}{n} - 1 \le 0$.

Vậy u$_{n}$ – 2 ≤ 0 hay u$_{n}$ ≤ 2.

Lời giải

Ta có: ${u_n} = \frac{{{n^2} + 1}}{{2{n^2} + 4}} = \frac{1}{2}\left( {\frac{{{n^2} + 1}}{{{n^2} + 2}}} \right) = \frac{1}{2}\left( {1 - \frac{1}{{{n^2} + 2}}} \right) < \frac{1}{2}$.

Ta lại có: ${u_n} = \frac{{{n^2} + 1}}{{2{n^2} + 4}} > 0$

Do đó $0 < {u_n} < \frac{1}{2}$.

Vì vậy dãy số (u$_{n}$) bị chặn.

Lời giải

a) Ta có: 5 số hạng đầu tiên của dãy (u$_{n}$) là: u$_{1}$ = 2.1$^{2}$ + 1 = 3; u$_{2}$ = 2.2$^{2}$ + 1 = 9; u$_{3}$ = 2.3$^{2}$ + 1 = 19; u$_{4}$ = 2.4$^{2}$ + 1 = 33; u$_{5}$ = 2.5$^{2}$ + 1 = 51.

b) Ta có 5 số hạng đầu của dãy u$_{n}$ = $\frac{{{{\left( { - 1} \right)}^n}}}{{2n - 1}}$ là:

${u_1} = \frac{{{{\left( { - 1} \right)}^1}}}{{2.1 - 1}} = \frac{{ - 1}}{1} = 1;{u_2} = \frac{{{{\left( { - 1} \right)}^2}}}{{2.2 - 1}} = \frac{1}{3};{u_3} = \frac{{{{\left( { - 1} \right)}^3}}}{{2.3 - 1}} = \frac{1}{5};{u_4} = \frac{{{{\left( { - 1} \right)}^4}}}{{2.4 - 1}} = \frac{1}{7};{u_5} = \frac{{{{\left( { - 1} \right)}^5}}}{{2.5 - 1}} = - \frac{1}{9}$.

c) Ta có 5 số hàng đầu của dãy u$_{n}$ = $\frac{{{2^n}}}{n}$ là:

u$_{1}$ = $\frac{{{2^1}}}{1} = 2$; u$_{2}$ = $\frac{{{2^2}}}{1} = 4$; u$_{3}$ = $\frac{{{2^3}}}{1} = 8$; u$_{4}$ = $\frac{{{2^4}}}{1} = 16$; u$_{5}$ = $\frac{{{2^5}}}{1} = 32$.

d) Ta có 5 số hạng đầu của dãy u$_{n}$ = ${\left( {1 + \frac{1}{n}} \right)^n}$ là:

u$_{1}$ = ${\left( {1 + \frac{1}{1}} \right)^1} = 2$; u$_{2}$ = ${\left( {1 + \frac{1}{2}} \right)^2} = \frac{9}{4}$; u$_{3}$ = ${\left( {1 + \frac{1}{3}} \right)^3} = \frac{{64}}{{27}}$; u$_{4}$ = ${\left( {1 + \frac{1}{4}} \right)^4} = \frac{{625}}{{256}}$; u$_{5}$ = ${\left( {1 + \frac{1}{5}} \right)^5} = \frac{{7776}}{{3125}}$.

Lời giải

a) Số chấm ở hàng thứ nhất là: u$_{1}$ = 1;

Số chấm ở hàng thứ hai là: u$_{2}$ = 2;

Số chấm ở hàng thứ ba là: u$_{3}$ = 3;

Số chấm ở hàng thứ tư là: u$_{4}$ = 4;

Vậy số chấm ở hàng thứ n là: u$_{n}$ = n.

b) Diện tích của các ô màu ở hàng thứ nhất là: v$_{1}$ = 1 = 1$^{3}$;

Diện tích của các ô màu ở hàng thứ hai là: v$_{2}$ = 8 = 2$^{3}$;

Diện tích của các ô màu ở hàng thứ ba là: v$_{3}$ = 27 = 3$^{3}$;

Diện tích của các ô màu ở hàng thứ tư là: v$_{4}$ = 64 = 4$^{3}$;

Vậy diện tích của các ô màu ở hàng thứ n là: v$_{n}$ = n$^{3}$.

Lời giải

a) Ta có: ${u_{n + 1}} = \frac{{n + 1 - 3}}{{n + 1 + 2}} = \frac{{n - 2}}{{n + 3}}$

Xét hiệu ${u_{n + 1}} - {u_n} = \frac{{n - 2}}{{n + 3}} - \frac{{n - 3}}{{n + 2}} = \frac{{{n^2} - 4 - {n^2} + 9}}{{\left( {n + 3} \right)\left( {n + 2} \right)}} = \frac{5}{{\left( {n + 3} \right)\left( {n + 2} \right)}} > 0,\forall n \in {\mathbb{N}^*}$.

Suy ra u$_{n+1}$ > u$_{n}$

Vì vậy dãy số đa cho là dãy số tăng.

b) Ta có: ${u_{n + 1}} = \frac{{{3^{n + 1}}}}{{{2^{n + 1}}.\left( {n + 1} \right)!}} = \frac{{{{3.3}^n}}}{{2\left( {n + 1} \right){{.2}^n}.n!}} = \frac{3}{{2\left( {n + 1} \right)}}.{u_n}$

Vì n ∈ ℕ$^{*}$ nên $\frac{3}{{2\left( {n + 1} \right)}} < \frac{3}{2}$ suy ra u$_{n+1}$ < u$_{n}$.

Vì vậy dãy số đa cho là dãy số giảm.

c) Ta có: u$_{n+1}$ = (– 1)$^{n+1}$.(2$^{n+1}$ + 1)

+) Nếu n chẵn thì u$_{n+1}$ = – (2.2$^{n}$ + 1) và u$_{n}$ = 2$^{n}$ + 1. Do đó u$_{n+1}$ < u$_{n}$.

Vì vậy với n chẵn thì dãy số đã cho là dãy giảm.

+) Nếu n lẻ thì u$_{n+1}$ = 2.2$^{n}$ + 1 và u$_{n}$ = – (2$^{n}$ + 1). Do đó u$_{n+1}$ > u$_{n}$.

Vì vậy với n chẵn thì dãy số đã cho là dãy tăng.

Lời giải

a) Ta có: n ∈ ℕ$^{*}$ nên n ≥ 1 suy ra n$^{2}$ + 2 ≥ 3

Do đó u$_{n}$ ≥ 3

Vậy dãy số (u$_{n}$) bị chặn dưới bởi 3.

b) Ta có: n ∈ ℕ$^{*}$ nên n ≥ 1 suy ra u$_{n}$ = – 2n + 1 ≤ – 1

Do đó u$_{n}$ ≤ – 1.

Vậy dãy số (u$_{n}$) bị chặn trên bởi – 1.

c) Ta có: ${u_n} = \frac{1}{{{n^2} + n}} = \frac{1}{{n\left( {n + 1} \right)}} = \frac{1}{n} - \frac{1}{{n + 1}}$

Vì n ∈ ℕ$^{*}$ nên n ≥ 1 suy ra $\frac{1}{n} > \frac{1}{{n + 1}} \Rightarrow {u_n} = \frac{1}{n} - \frac{1}{{n + 1}} > 0$

Ta lại có: $\frac{1}{n} \le 1$ và $- \frac{1}{{n + 1}} \le - \frac{1}{2}$ suy ra ${u_n} = \frac{1}{n} - \frac{1}{{n + 1}} \le 1 - \frac{1}{2} = \frac{1}{2}$

Do đó $0 < {u_n} \le \frac{1}{2}$

Vậy dãy số (u$_{n}$) bị chặn.

Lời giải

+) Nếu $\frac{{{u_{n + 1}}}}{{{u_n}}} > 1$ với mọi n ∈ ℕ$^{*}$ thì u$_{n+1}$ > u$_{n}$. Do đó dãy số (u$_{n}$) là dãy số tăng.

+) Nếu (u$_{n}$) là dãy số tăng thì u$_{n+1}$ > u$_{n}$ do đó $\frac{{{u_{n + 1}}}}{{{u_n}}} > 1$.

Lời giải

a) Số tiền chị có trong ngân hàng sau 1 tháng là:

P$_{1}$ = 100 + 100.0,5% + 6 = 100,5 + 6 (triệu đồng).

b) Số tiền chị có trong ngân hàng sau 2 tháng là:

P$_{2}$ = 100,5 + 6 + (100,5 + 6).0,5% + 6= (100,5 + 6)(1 + 0,5%) + 6 = 100,5(1 + 0,5%) + 6.(1 + 0,5%) + 6 (triệu đồng)

Số tiền chị có trong ngân hàng sau 3 tháng là:

P$_{3}$ = (100,5 + 6)(1 + 0,5%) + 6 + [(100,5 + 6)(1 + 0,5%) + 6 ].0,5% + 6

= 100,5.(1 + 0,5%)$^{2}$ + 6(1 + 0,5%)$^{2}$ + 6.(1 + 0,5%) + 6 (triệu đồng).

c) Số tiền chị có trong ngân hàng sau 4 tháng là:

P$_{4}$ = (100,5 + 6)(1 + 0,5%)$^{2}$ + 6.(1 + 0,5%) + 6 + [(100,5 + 6)(1 + 0,5%)$^{2}$ + 6.(1 + 0,5%) + 6]0,5% + 6

= 100,5.(1 + 0,5%)$^{3}$ + 6.(1 + 0,5%)$^{3}$ + 6(1 + 0,5%)$^{2}$ + 6.(1 + 0,5%) + 6

Số tiền chị có trong ngân hàng sau n tháng là:

P$_{n}$ = 100,5.(1 + 0,5%)$^{n-1}$ + 6(1 + 0,5%)$^{n-1}$ + 6(1 + 0,5%)$^{n-2}$ + 6.(1 + 0,5%)$^{n-3}$ + ... + 6 với mọi n ∈ ℕ$^{*}$.