Giải SGK Toán 11 Cánh Diều Bài tập cuối chương 1 có đáp án

Đáp án đúng là: C

Cách 1. Dựa vào đồ thị hàm số:

** **Đồ thị hàm số y = sinx (hình vẽ):

Quan sát đồ thị trên, ta thấy hàm số y = sinx đồng biến trên khoảng $\left( { - \frac{\pi }{2};\frac{\pi }{2}} \right)$.

Cách 2. Dùng tính chất của hàm số y = sinx:

Hàm số y = sinx đồng biến trên mỗi khoảng $\left( { - \frac{\pi }{2} + k2\pi ;\frac{\pi }{2} + k2\pi } \right)$ với k ∈ ℤ.

Do đó hàm số y = sinx đồng biến trên khoảng $\left( { - \frac{\pi }{2};\frac{\pi }{2}} \right)$.

Đáp án đúng là: D

Cách 1. Dùng đồ thị hàm số:

Xét đồ thị hàm số y = sinx:

Xét đồ thị hàm số y = cosx:

Xét đồ thị hàm số y = tanx:

Xét đồ thị hàm số y = cotx:

Quan sát các đồ thị trên, ta thấy hàm số y = cotx nghịch biến trên khoảng (π; 2π).

Cách 2. Dùng tính chất của hàm số lượng giác:

Do (π; 2π) = (0 + π; π + π)

Mà hàm số y = cotx nghịch biến trên mỗi khoảng (kπ; π + kπ) với k ∈ ℤ.

Do đó hàm số y = cotx nghịch biến trên khoảng (π; 2π).

Đáp án đúng là: A

Ta có: tan2a = tan[(a + b) + (a – b)]

$= \frac{{\tan \left( {a + b} \right) + \tan \left( {a - b} \right)}}{{1 - \tan \left( {a + b} \right)\tan \left( {a - b} \right)}} = \frac{{3 + \left( { - 3} \right)}}{{1 - 3.\left( { - 3} \right)}} = 0$.

Đáp án đúng là: B

Ta có: cos2a = 2cos$^{2}$a – 1 = $2.{\left( {\frac{1}{4}} \right)^2} - 1 = 2.\frac{1}{{16}} - 1 = - \frac{7}{8}$.

Đáp án đúng là: A

Áp dụng công thức biến đổi tích thành tổng, ta có:

$$cos\left( {a + b} \right)cos\left( {a--b} \right) = \frac{1}{2}\left[ {\cos \left( {a + b + a - b} \right) + \cos \left( {a + b - a + b} \right)} \right]$$

$$= \frac{1}{2}\left[ {\cos 2a + \cos 2b} \right]$$

Ta lại có:

cos2a = 2cos$^{2}$a – 1 = $2.{\left( {\frac{3}{5}} \right)^2} - 1 = 2.\frac{9}{{25}} - 1 = - \frac{7}{{25}}$;

cos2b = 2cos$^{2}$b – 1 = $2.{\left( { - \frac{4}{5}} \right)^2} - 1 = 2.\frac{{16}}{{25}} - 1 = \frac{7}{{25}}$;

Do đó $cos\left( {a + b} \right)cos\left( {a--b} \right) = \frac{1}{2}\left[ {\cos 2a + \cos 2b} \right] = \frac{1}{2}.\left( { - \frac{7}{{25}} + \frac{7}{{25}}} \right) = 0$.

Đáp án đúng là: C

Áp dụng công thức biến đổi tổng thành tích, ta có:

$\sin \left( {a + \frac{\pi }{4}} \right) + \sin \left( {a - \frac{\pi }{4}} \right)$

$= 2\sin \left( {\frac{{a + \frac{\pi }{4} + a - \frac{\pi }{4}}}{2}} \right)\cos \left( {\frac{{a + \frac{\pi }{4} - a + \frac{\pi }{4}}}{2}} \right)$

$= 2\sin a\cos \frac{\pi }{4} = 2.\left( { - \frac{{\sqrt 2 }}{3}} \right).\frac{{\sqrt 2 }}{2} = - \frac{2}{3}$.

Đáp án đúng là: C

Cách 1. Giải phương trình lượng giác

cosx = 0

$\Leftrightarrow x = \frac{\pi }{2} + k\pi \,\,\,\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)$

Do x ∈ [0; 10π] nên ta có: $0 \le \frac{\pi }{2} + k\pi \, \le 10\pi$

$$\Leftrightarrow 0 \le \frac{1}{2} + k \le 10 \Leftrightarrow - \frac{1}{2} \le k \le \frac{{19}}{2}$$

Mà k ∈ ℤ nên k ∈ {0; 1; 2; …; 9}, khi đó ta tìm được 10 giá trị của x.

Vậy phương trình cosx = 0 có 10 nghiệm trên đoạn [0; 10π].

Cách 2. Dùng đồ thị hàm số

Quan sát đồ thị ta thấy đồ thị hàm số y = cosx cắt trục hoành tại 10 điểm A, B, C, …, K trên đoạn [0; 10π].

Vậy phương trình cosx = 0 có 10 nghiệm trên đoạn [0; 10π].

Đáp án đúng là: D

Cách 1. Giải phương trình lượng giác

sinx = 0

Û x = kπ (k ∈ ℤ)

Do x ∈ [0; 10π] nên ta có: 0 ≤ kπ ≤ 10π

Û 0 ≤ k ≤ 10

Mà k ∈ ℤ nên k ∈ {0; 1; 2; …; 10}, khi đó ta tìm được 11 giá trị của x.

Vậy phương trình sinx = 0 có 11 nghiệm trên đoạn [0; 10π].

Cách 2. Dùng đồ thị hàm số

Quan sát đồ thị ta thấy đồ thị hàm số y = sinx cắt trục hoành tại 11 điểm A ≡ O, B, C, …, M trên đoạn [0; 10π].

Vậy phương trình sinx = 0 có 11 nghiệm trên đoạn [0; 10π].

Đáp án đúng là: A

Ta có: cotx = ‒1

$\Leftrightarrow x = - \frac{\pi }{4} + k\pi \,\,\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)$.

Đáp án đúng là: C

Cách 1. Giải phương trình lượng giác:

Ta có:

$\sin \left( {x + \frac{\pi }{4}} \right) = \frac{{\sqrt 2 }}{2}$

$\Leftrightarrow \sin \left( {x + \frac{\pi }{4}} \right) = \sin \frac{\pi }{4}$

$$\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x + \frac{\pi }{4} = \frac{\pi }{4} + k2\pi \\x + \frac{\pi }{4} = \pi - \frac{\pi }{4} + k2\pi \end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = k2\pi \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\left( 1 \right)\\x = \frac{\pi }{2} + k2\pi \,\,\,\,\,\,\left( 2 \right)\end{array} \right.\,\,\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)$$

• Do x ∈ [0; π] nên từ (1) ta có: 0 ≤ k2π ≤ π

Û 0 ≤ 2k ≤ 1

$\Leftrightarrow 0 \le k \le \frac{1}{2}$

Mà k ∈ ℤ nên k = 0, khi đó ta tìm được 1 giá trị của x (x = 0) trong trường hợp này.

• Do x ∈ [0; π] nên từ (2) ta có: $0 \le \frac{\pi }{2} + k2\pi \le \pi$

$$\Leftrightarrow 0 \le \frac{1}{2} + 2k \le 1$$

$$\Leftrightarrow - \frac{1}{2} \le 2k \le \frac{1}{2} \Leftrightarrow - \frac{1}{4} \le k \le \frac{1}{4}$$

Mà k ∈ ℤ nên k = 0, khi đó ta tìm được 1 giá trị của x $\left( {x = \frac{\pi }{2}} \right)$ trong trường hợp này.

Vậy phương trình $\sin \left( {x + \frac{\pi }{4}} \right) = \frac{{\sqrt 2 }}{2}$ có hai nghiệm trên đoạn [0; π].

Cách 2. Dùng đồ thị hàm số

Đặt $x + \frac{\pi }{4} = \alpha$. Khi đó ta có phương trình $\sin \alpha = \frac{{\sqrt 2 }}{2}$.

Xét đường thẳng $y = \frac{{\sqrt 2 }}{2}$ và đồ thị hàm số y = sinα trên đoạn [0; π]:

Từ đồ thị hàm số trên ta thấy đường thẳng $y = \frac{{\sqrt 2 }}{2}$ cắt đồ thị số y = sinα trên đoạn [0; π] tại hai điểm có hoành độ lần lượt là ${\alpha _1} = \frac{\pi }{4}$ và ${\alpha _2} = \frac{{3\pi }}{4}$.

Mà $x + \frac{\pi }{4} = \alpha$, khi đó ta sẽ tìm được 2 giá trị x là x$_{1}$ = 0 và ${x_2} = \frac{\pi }{2}$.

Vậy phương trình $\sin \left( {x + \frac{\pi }{4}} \right) = \frac{{\sqrt 2 }}{2}$ có hai nghiệm trên đoạn [0; π].

Ta có: 3cosx + 2 = 0

$\Leftrightarrow \cos x = - \frac{2}{3}$.

Đường thẳng $y = - \frac{2}{3}$ và đồ thị hàm số y = cosx trên đoạn $\left[ { - \frac{{5\pi }}{2};\frac{{5\pi }}{2}} \right]$:

Từ đồ thị, ta thấy đường thẳng $y = - \frac{2}{3}$ cắt đồ thị hàm số y = cosx trên đoạn $\left[ { - \frac{{5\pi }}{2};\frac{{5\pi }}{2}} \right]$ tại 4 điểm A, B, C, D.

Vậy phương trình 3cosx + 2 = 0 có 4 nghiệm trên đoạn $\left[ { - \frac{{5\pi }}{2};\frac{{5\pi }}{2}} \right]$.

$\sin \left( {2x - \frac{\pi }{6}} \right) = - \frac{{\sqrt 3 }}{2}$

$\Leftrightarrow \sin \left( {2x - \frac{\pi }{6}} \right) = \sin \left( { - \frac{\pi }{3}} \right)$

$\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}2x - \frac{\pi }{6} = - \frac{\pi }{3} + k2\pi \\2x - \frac{\pi }{6} = \pi - \left( { - \frac{\pi }{3}} \right) + k2\pi \end{array} \right.$$\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}2x = - \frac{\pi }{3} + \frac{\pi }{6} + k2\pi \\2x = \pi + \frac{\pi }{3} + \frac{\pi }{6} + k2\pi \end{array} \right.$

$\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}2x = - \frac{\pi }{6} + k2\pi \\2x = \frac{{3\pi }}{2} + k2\pi \end{array} \right.$$\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = - \frac{\pi }{{12}} + k\pi \\x = \frac{{3\pi }}{4} + k\pi \end{array} \right.\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)$.

Vậy phương trình đã cho có các nghiệm là $x = - \frac{\pi }{{12}} + k\pi$ và $x = \frac{{3\pi }}{4} + k\pi$ với k ∈ ℤ

$\cos \left( {\frac{{3x}}{2} + \frac{\pi }{4}} \right) = \frac{1}{2}$

$\Leftrightarrow \cos \left( {\frac{{3x}}{2} + \frac{\pi }{4}} \right) = \cos \frac{\pi }{3}$

$\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\frac{{3x}}{2} + \frac{\pi }{4} = \frac{\pi }{3} + k2\pi \\\frac{{3x}}{2} + \frac{\pi }{4} = - \frac{\pi }{3} + k2\pi \end{array} \right.$$\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\frac{{3x}}{2} = \frac{\pi }{3} - \frac{\pi }{4} + k2\pi \\\frac{{3x}}{2} = - \frac{\pi }{3} - \frac{\pi }{4} + k2\pi \end{array} \right.$

$\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\frac{{3x}}{2} = \frac{\pi }{{12}} + k2\pi \\\frac{{3x}}{2} = - \frac{{7\pi }}{{12}} + k2\pi \end{array} \right.$$\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \frac{\pi }{{18}} + k\frac{{4\pi }}{3}\\x = - \frac{{7\pi }}{{18}} + k\frac{{4\pi }}{3}\end{array} \right.\,\,\,\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)$.

Vậy phương trình đã cho có các nghiệm là $x = \frac{\pi }{{18}} + k\frac{{4\pi }}{3}$ và $x = - \frac{{7\pi }}{{18}} + k\frac{{4\pi }}{3}$ với k ∈ ℤ

sin3x – cos5x = 0

Û sin3x = cos5x

$\Leftrightarrow \cos \left( {\frac{\pi }{2} - 3x} \right) = \cos 5x$

$\Leftrightarrow \cos 5x = \cos \left( {\frac{\pi }{2} - 3x} \right)$

$\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}5x = \frac{\pi }{2} - 3x + k2\pi \\5x = - \left( {\frac{\pi }{2} - 3x} \right) + k2\pi \end{array} \right.$$\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}8x = \frac{\pi }{2} + k2\pi \\5x = - \frac{\pi }{2} + 3x + k2\pi \end{array} \right.$

$\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \frac{\pi }{{16}} + k\frac{\pi }{4}\\2x = - \frac{\pi }{2} + k2\pi \end{array} \right.$$\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \frac{\pi }{{16}} + k\frac{\pi }{4}\\x = - \frac{\pi }{4} + k\pi \end{array} \right.\,\,\,\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)$.

Vậy phương trình đã cho có các nghiệm là $x = \frac{\pi }{{16}} + k\frac{\pi }{4}$ và $x = - \frac{\pi }{4} + k\pi$ với k ∈ ℤ

${\cos ^2}x = \frac{1}{4}$

$\Leftrightarrow \frac{{1 + \cos 2x}}{2} = \frac{1}{4}$

$\Leftrightarrow \frac{{1 + \cos 2x}}{2} = \frac{1}{4}$

$\Leftrightarrow \cos 2x = - \frac{1}{2}$

$\Leftrightarrow \cos 2x = \cos \frac{{2\pi }}{3}$

$$\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}2x = \frac{{2\pi }}{3} + k2\pi \\2x = - \frac{{2\pi }}{3} + k2\pi \end{array} \right.$$

$$\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \frac{\pi }{3} + k\pi \\x = - \frac{\pi }{3} + k\pi \end{array} \right.\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)$$

Vậy phương trình đã cho có các nghiệm là $x = \pm \frac{\pi }{3} + k\pi$ với k ∈ ℤ

$\sin x - \sqrt 3 \cos x = 0$

$\Leftrightarrow \frac{1}{2}\sin x - \frac{{\sqrt 3 }}{2}\cos x = 0$

$\Leftrightarrow \sin x\cos \frac{\pi }{3} - \cos x\sin \frac{\pi }{3} = 0$ (do $\cos \frac{\pi }{3} = \frac{1}{2}$ và $\sin \frac{\pi }{3} = \frac{{\sqrt 3 }}{2}$)

$$\Leftrightarrow \sin \left( {x - \frac{\pi }{3}} \right) = 0$$

$$\Leftrightarrow x - \frac{\pi }{3} = k\pi \,\,\,\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)$$

$\Leftrightarrow x = \frac{\pi }{3} + k\pi \,\,\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)$.

Vậy phương trình đã cho có các nghiệm là $x = \frac{\pi }{3} + k\pi \,$với k ∈ ℤ

sinx + cosx = 0

Û cosx = ‒sinx

Û cosx = sin(‒x)

$\Leftrightarrow \cos x = \cos \left[ {\frac{\pi }{2} - \left( { - x} \right)} \right]$

$\Leftrightarrow \cos x = \cos \left( {\frac{\pi }{2} + x} \right)$

$\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \frac{\pi }{2} + x + k2\pi \\x = - \frac{\pi }{2} - x + k2\pi \end{array} \right.$$\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}0x = \frac{\pi }{2} + k2\pi \,\,\,\left( {v\^o {\rm{ }}l\'i } \right)\\2x = - \frac{\pi }{2} + k2\pi \end{array} \right.$

$\Leftrightarrow x = - \frac{\pi }{4} + k\pi \,\,\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)$.

Vậy phương trình đã cho có các nghiệm là $x = - \frac{\pi }{4} + k\pi$ với k ∈ ℤ.

Để độ sâu của mực nước là 15 m thì:

$h = 3\cos \left( {\frac{{\pi t}}{6} + 1} \right) + 12 = 15$

$$\Leftrightarrow \cos \left( {\frac{{\pi t}}{6} + 1} \right) = 1$$

$$\Leftrightarrow \frac{{\pi t}}{6} + 1 = k2\pi \,\,\,\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)$$

$$\Leftrightarrow t = - \frac{6}{\pi }\,\, + 12k\,\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)$$

Do 0 ≤ t < 24 nên $0 \le - \frac{6}{\pi }\,\, + 12k\, < 24$

$\Leftrightarrow \frac{6}{\pi } \le 12k < 24 + \frac{6}{\pi }$

$\Leftrightarrow \frac{1}{{2\pi }} \le k < 2 + \frac{1}{{2\pi }}$

Mà k ∈ ℤ nên k ∈ {1; 2}.

Với k = 1 thì $t = - \frac{6}{\pi } + 12.1 \approx 10{,}09$ (giờ);

Với k = 2 thì $t = - \frac{6}{\pi } + 12.2 \approx 22{,}09$ (giờ).

Vậy lúc 10,09 giờ và 22,09 giờ thì mực nước có độ sâu là 15 m.

Để độ sâu của mực nước là 9 m thì:

$h = 3\cos \left( {\frac{{\pi t}}{6} + 1} \right) + 12 = 9$

$$\Leftrightarrow \cos \left( {\frac{{\pi t}}{6} + 1} \right) = - 1$$

$$\Leftrightarrow \frac{{\pi t}}{6} + 1 = \pi + k2\pi \,\,\,\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)$$

$$\Leftrightarrow t = 6 - \frac{6}{\pi } + 12k\,\,\,\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)$$

Do 0 ≤ t < 24 nên $0 \le 6 - \frac{6}{\pi } + 12k < 24$

$\Leftrightarrow - 6 + \frac{6}{\pi } \le 12k < 18 + \frac{6}{\pi }$

$\Leftrightarrow - \frac{1}{2} + \frac{1}{{2\pi }} \le k < \frac{3}{2} + \frac{1}{{2\pi }}$

Mà k ∈ ℤ nên k ∈ {0; 1}.

Với k = 0 thì $t = 6 - \frac{6}{\pi } + 12.0 \approx 4{,}09$ (giờ);

Với k = 1 thì $t = 6 - \frac{6}{\pi } + 12.1 \approx 16{,}09$ (giờ).

Vậy lúc 4,09 giờ và 16,09 giờ thì mực nước có độ sâu là 9 m.

Để độ sâu của mực nước là 10,5 m thì:

$h = 3\cos \left( {\frac{{\pi t}}{6} + 1} \right) + 12 = 10{,}5$

$$\Leftrightarrow \cos \left( {\frac{{\pi t}}{6} + 1} \right) = - \frac{1}{2}$$

$$\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\frac{{\pi t}}{6} + 1 = \frac{{2\pi }}{3} + k2\pi \\\frac{{\pi t}}{6} + 1 = - \frac{{2\pi }}{3} + k2\pi \,\,\,\end{array} \right.\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)$$

$$\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}t = 4 - \frac{6}{\pi } + 12k\,\,\,\,\,\left( 1 \right)\\t = - 4 - \frac{6}{\pi } + 12k\,\,\,\left( 2 \right)\,\,\,\end{array} \right.\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)$$

• Do 0 ≤ t < 24 nên từ (1) ta có: $0 \le 4 - \frac{6}{\pi } + 12k < 24$

$\Leftrightarrow - 4 + \frac{6}{\pi } \le 12k < 20 + \frac{6}{\pi }$

$\Leftrightarrow - \frac{1}{3} + \frac{1}{{2\pi }} \le k < \frac{5}{3} + \frac{1}{{2\pi }}$

Mà k ∈ ℤ nên k ∈ {0; 1}.

Với k = 0 thì $t = 4 - \frac{6}{\pi } + 12.0 \approx 2{,}09$ (giờ);

Với k = 1 thì $t = 4 - \frac{6}{\pi } + 12.1 \approx 14{,}09$ (giờ).

• Do 0 ≤ t < 24 nên từ (2) ta có: $0 \le - 4 - \frac{6}{\pi } + 12k < 24$

$\Leftrightarrow 4 + \frac{6}{\pi } \le 12k < 28 + \frac{6}{\pi }$

$\Leftrightarrow \frac{1}{3} + \frac{1}{{2\pi }} \le k < \frac{7}{3} + \frac{1}{{2\pi }}$

Mà k ∈ ℤ nên k ∈ {1; 2}.

Với k = 1 thì $t = - 4 - \frac{6}{\pi } + 12.1 \approx 6{,}09$ (giờ);

Với k = 2 thì $t = - 4 - \frac{6}{\pi } + 12.2 \approx 18{,}09$ (giờ).

Vậy lúc 2,09 giờ, 6,09 giờ, 14,09 giờ và 18,09 giờ thì mực nước có độ sâu là 10,5 m.

Hai vị trí O và A là hai vị trí chân cầu, tại hai vị trí này ta có: y = 0

$\Leftrightarrow 4{,}8.\sin \frac{x}{9} = 0$

$\Leftrightarrow \sin \frac{x}{9} = 0$

$\Leftrightarrow \frac{x}{9} = k\pi \,\,\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)$

$\Leftrightarrow x = 9k\pi \,\,\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)$

Quan sát đồ thị ta thấy, đồ thị hàm số $y = 4{,}8.\sin \frac{x}{9}$ cắt trục hoành tại điểm O và A liên tiếp nhau với x ≥ 0.

Xét k = 0, ta có x$_{1}$ = 0;

Xét k = 1, ta có x$_{2}$ = 9π.

Mà x$_{1}$ = 0 nên đây là hoành độ của O, do đó x$_{2}$ = 9π là hoành độ của điểm A.

Khi đó OA = 9π ≈ 28,3.

Vậy chiều rộng của con sông xấp xỉ 28,3 m.

Do sà lan có độ cao 3,6 m so với mực nước sông nên khi sà lan đi qua gầm cầu thì ứng với y = 3,6.

$\Leftrightarrow 4{,}8.\sin \frac{x}{9} = 3{,}6$

$\Leftrightarrow \sin \frac{x}{9} = \frac{3}{4}$

$\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\frac{x}{9} \approx 0{,}848 + k2\pi \\\frac{x}{9} \approx \pi - 0{,}848 + k2\pi \end{array} \right.$

(Dùng máy tính cầm tay (chuyển về chế độ “radian”) bấm liên tiếp ta được kết quả gần đúng là 0,848)

$\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x \approx 7{,}632 + 18k\pi \\x \approx 9\pi - 7{,}632 + 18k\pi \end{array} \right.\,\,\,\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)$

Xét k = 0, ta có x$_{1}$ ≈ 7,632; x$_{2}$ ≈ 20,642.

Ta biểu diễn các giá trị x vừa tìm được trên hệ trục tọa độ vẽ đồ thị hàm số $y = 4{,}8.\sin \frac{x}{9}$ như sau:

Khi đó để sà lan có thể đi qua được gầm cầu thì khối hàng hóa có độ cao 3,6 m phải có chiều rộng nhỏ hơn độ dài đoạn thẳng BC trên hình vẽ.

Mà BC ≈ 20,642 – 7,632 = 13,01 (m) < 13,1 (m).

Vậy chiều rộng của khối hàng hoá đó phải nhỏ hơn 13,1 m.

Giả sử sà lan chở khối hàng được mô tả bởi hình chữ nhật MNPQ:

Khi đó QP = 9; OA = 28,3 và OQ = PA.

Mà OQ + QP + PA = OA

Þ OQ + 9 + OQ ≈ 28,3

Þ OQ ≈ 9,65

Khi đó ${y_M} = 4{,}8.\sin \frac{{{x_M}}}{9} = 4{,}8.\sin \frac{{OQ}}{9} \approx 4{,}8.\sin \frac{{9{,}65}}{9} \approx 4{,}22$ (m) < 4,3 (m).

Vậy để sà lan có thể đi qua được gầm cầu thì chiều cao của khối hàng hoá đó phải nhỏ hơn 4,3 m.