Giải SGK Toán 11 Cánh diều Bài 1. Các số đặc trưng đo xu thế trung tâm cho mẫu số liệu ghép nhóm có đáp án

Sau bài học này, chúng ta sẽ giải quyết được câu hỏi trên như sau:

Bảng tần số ghép nhóm bao gồm giá trị đại diện và tần số tích lũy như sau:

⦁ Số trung bình cộng của mẫu số liệu ghép nhóm đã cho là:

$\overline{x}=\frac{13\cdot 2+29\cdot 6+48\cdot 10+22\cdot 14+8\cdot 18}{120}\approx 9{,}43.$

⦁ Số phần tử của mẫu là n = 120. Ta có $\frac{n}{2}=\frac{120}{2}=60.$

Mà 42 < 60 < 90 nên nhóm 3 là nhóm đầu tiên có tần số tích lũy lớn hơn hoặc bẳng 60.

Xét nhóm 3 là nhóm [8; 12) có r = 8, d = 4, n$_{3}$ = 48 và nhóm 2 là nhóm [4; 8) có cf$_{2}$ = 42.

Áp dụng công thức, ta có trung vị của mẫu số liệu đã cho là:

${M}_{e}=8+(\frac{60-42}{48})\cdot 4=9{,}5.$

Do đó tứ phân vị thứ hai là Q$_{2}$ = M$_{e}$ = 9,5.

⦁ Ta có: $\frac{n}{4}=\frac{120}{4}=30$ mà 13 < 30 < 42. Suy ra nhóm 2 là nhóm đầu tiên có tần số tích luỹ lớn hơn hoặc bằng 30.

Xét nhóm 2 là nhóm [4; 8) có s = 4; h = 4; n$_{2}$ = 29 và nhóm 1 là nhóm [0; 4) có cf$_{1}$ = 13.

Áp dụng công thức, ta có tứ phân vị thứ nhất là:

${Q}_{1}=4+(\frac{30-13}{29})\cdot 4\approx 6$ (năm).

⦁ Ta có: $\frac{n}{2}=\frac{120}{2}=60$ mà 42 < 60 < 90. Suy ra nhóm 3 là nhóm đầu tiên có tần số tích luỹ lớn hơn hoặc bằng 60.

Xét nhóm 3 là nhóm [8; 12) có r = 8; d = 4; n$_{3}$ = 48 và nhóm 2 là nhóm [4; 8) có cf$_{2}$ = 42.

Áp dụng công thức, ta có tứ phân vị thứ hai là:

${Q}_{2}={M}_{e}=8+(\frac{60-42}{48})\cdot 4=9{,}5$ (năm).

⦁ Ta có: $\frac{3n}{4}=\frac{3\cdot 120}{4}=90$ mà cf$_{3}$ = 90. Suy ra nhóm 3 là nhóm đầu tiên có tần số tích luỹ lớn hơn hoặc bằng 90.

Xét nhóm 3 là nhóm [8; 12) có r = 8; d = 4; n$_{3}$ = 48 và nhóm 2 là nhóm [4; 8) có cf$_{2}$ = 42.

Áp dụng công thức, ta có tứ phân vị thứ ba là:

${Q}_{3}=8+(\frac{90-42}{48})\cdot 4=12$ (năm).

Vậy tứ phân vị của mẫu số liệu trên là:

${Q}_{1}\approx 6$ (năm); ${Q}_{2}=9{,}5$ (năm) và ${Q}_{3}=12$ (năm).

a) Có 48 ô tô có độ tuổi từ 8 đến dưới 12;

b) Có 22 ô tô có độ tuổi từ 12 đến dưới 16;

c) Có 8 ô tô có độ tuổi từ 16 đến dưới 20.

Từ Bảng 1, ta thấy:

⦁ Mẫu số liệu đó gồm 120 số liệu và 5 nhóm.

⦁ Tần số của nhóm 1, 2, 3, 4, 5 lần lượt là: 13; 29; 48; 22; 8.

Từ mẫu số liệu đã cho ta thấy giá trị nhỏ nhất là 160, giá trị lớn nhất là 175. Do đó ta chia mẫu số liệu đã cho thành 5 nhóm như sau:

[160; 163); [163; 166); [166; 169); [169; 172); [172; 175).

Bảng tần số ghép nhóm như sau:

a) Có 6 giá trị không vượt quá giá trị đầu mút phải 163 của nhóm 1.

b) Có 6 + 12 = 18 giá trị không vượt quá giá trị đầu mút phải 166 của nhóm 2.

c) Có 18 + 10 = 28 giá trị không vượt quá giá trị đầu mút phải 169 của nhóm 3.

d) Có 28 + 5 = 33 giá trị không vượt quá giá trị đầu mút phải 172 của nhóm 4.

e) Có 33 + 3 = 36 giá trị không vượt quá giá trị đầu mút phải 175 của nhóm 5.

Bảng tần số ghép nhóm bao gồm cả tần số tích lũy như sau:

a) Trung điểm x$_{1}$ (giá trị đại diện) của nửa khoảng ứng với nhóm 1 là:

${x}_{1}=\frac{160+163}{2}=161{,}5.$

b) Giá trị đại diện của nửa khoảng ứng với nhóm 2 là:

${x}_{2}=\frac{163+166}{2}=164{,}5.$

Giá trị đại diện của nửa khoảng ứng với nhóm 3 là:

${x}_{3}=\frac{166+169}{2}=167{,}5.$

Giá trị đại diện của nửa khoảng ứng với nhóm 4 là:

${x}_{4}=\frac{169+172}{2}=170{,}5.$

Giá trị đại diện của nửa khoảng ứng với nhóm 5 là:

${x}_{5}=\frac{172+175}{2}=173{,}5.$

Ta hoàn thiện được Bảng 7 như sau:

c) Số trung bình cộng của mẫu số liệu đã cho là:

$\overline{x}=\frac{6\cdot 161{,}5+12\cdot 164{,}5+10\cdot 167{,}5+5\cdot 170{,}5+3\cdot 173{,}5}{36}=166{,}41(6).$

Ta có bảng giá trị đại diện và tần số ghép nhóm như sau:

Số trung bình cộng của mẫu số liệu đã cho là:

$\overline{x}=\frac{3\cdot 29{,}5+3\cdot 38{,}5+6\cdot 47{,}5+5\cdot 56{,}5+4\cdot 65{,}5+3\cdot 74{,}5+4\cdot 83{,}5+2\cdot 92{,}5}{30}=59{,}2.$

a) Nhóm 3 là nhóm đầu tiên có tần số tích lũy lớn hơn hoặc bằng $\frac{n}{2}=\frac{99}{2}=49{,}5$ do cf$_{3}$ = 60 > 49,5.

b) Đầu mút trái r của nhóm 3 là r = 37,5.

Độ dài d của nhóm 3 là d = 42,5 – 37,5 = 5.

Tần số n$_{3}$ của nhóm 3 là n$_{3}$ = 20.

Tần số tích lũy cf$_{2}$ của nhóm 2 là cf$_{2}$ = 40.

c) Ta có: ${M}_{e}=37{,}5+(\frac{49{,}5-40}{20})\cdot 5=39{,}875.$

Ta có bảng tần số tích lũy như sau:

Số phần tử của mẫu là n = 120. Ta có $\frac{n}{2}=\frac{120}{2}=60.$

Mà 42 < 60 < 90 nên nhóm 3 là nhóm đầu tiên có tần số tích lũy lớn hơn hoặc bẳng 60.

Xét nhóm 3 là nhóm [8; 12) có r = 8, d = 4, n$_{3}$ = 48 và nhóm 2 là nhóm [4; 8) có cf$_{2}$ = 42.

Áp dụng công thức, ta có trung vị của mẫu số liệu đã cho là:

${M}_{e}=8+(\frac{60-42}{48})\cdot 4=9{,}5.$

a) Số phần tử của mẫu là n = 40. Ta có $\frac{n}{2}=\frac{40}{2}=20.$

Mà 19 < 20 < 32 nên nhóm 3 là nhóm đầu tiên có tần số tích lũy lớn hơn hoặc bẳng 20.

Xét nhóm 3 là nhóm [120; 180) có r = 120, d = 60, n$_{3}$ = 13 và nhóm 2 là nhóm [60; 120) có cf$_{2}$ = 19.

Áp dụng công thức, ta có trung vị của mẫu số liệu đã cho là:

${M}_{e}=120+(\frac{20-19}{13})\cdot 60\approx 125$ (phút).

b) • Nhóm 2 là nhóm đầu tiên có tần số tích lũy lớn hơn hoặc bằng $\frac{n}{4}=\frac{40}{4}=10$ do cf$_{2}$ = 19 > 10.

⦁ Đầu mút trái s của nhóm 2 là s = 60;

Độ dài h của nhóm 2 là h = 60;

Tần số n$_{2}$ của nhóm 2 là n$_{2}$ = 13;

Tần số tích luỹ cf$_{1}$ của nhóm 1 là cf$_{1}$ = 6.

Giá trị Q$_{1}$ là: ${Q}_{1}=60+(\frac{10-6}{13})\cdot 60\approx 78$ (phút).

c) • Nhóm 3 là nhóm đầu tiên có tần số tích lũy lớn hơn hoặc bằng $\frac{3n}{4}=\frac{3\cdot 40}{4}=30$ do cf$_{3}$ = 32 > 30.

• Đầu mút trái t của nhóm 3 là t = 120;

Độ dài l của nhóm 3 là l = 60;

Tần số n$_{3}$ của nhóm 3 là n$_{3}$ = 13;

Tần số tích luỹ cf$_{2}$ của nhóm 2 là cf$_{2}$ = 19.

Giá trị Q$_{3}$ là: ${Q}_{3}=120+(\frac{30-19}{13})\cdot 60\approx 171$ (phút).

Ta có bảng tần số tích lũy như sau:

Số phần tử của mẫu là n = 120.

⦁ Ta có: $\frac{n}{4}=\frac{120}{4}=30$ mà 13 < 30 < 42. Suy ra nhóm 2 là nhóm đầu tiên có tần số tích luỹ lớn hơn hoặc bằng 30.

Xét nhóm 2 là nhóm [4; 8) có s = 4; h = 4; n$_{2}$ = 29 và nhóm 1 là nhóm [0; 4) có cf$_{1}$ = 13.

Áp dụng công thức, ta có tứ phân vị thứ nhất là:

${Q}_{1}=4+(\frac{30-13}{29})\cdot 4\approx 6$ (năm).

⦁ Ta có: $\frac{n}{2}=\frac{120}{2}=60$ mà 42 < 60 < 90. Suy ra nhóm 3 là nhóm đầu tiên có tần số tích luỹ lớn hơn hoặc bằng 60.

Xét nhóm 3 là nhóm [8; 12) có r = 8; d = 4; n$_{3}$ = 48 và nhóm 2 là nhóm [4; 8) có cf$_{2}$ = 42.

Áp dụng công thức, ta có tứ phân vị thứ hai là:

${Q}_{2}={M}_{e}=8+(\frac{60-42}{48})\cdot 4=9{,}5$ (năm).

⦁ Ta có: $\frac{3n}{4}=\frac{3\cdot 120}{4}=90$ mà cf$_{3}$ = 90. Suy ra nhóm 3 là nhóm đầu tiên có tần số tích luỹ lớn hơn hoặc bằng 90.

Xét nhóm 3 là nhóm [8; 12) có r = 8; d = 4; n$_{3}$ = 48 và nhóm 2 là nhóm [4; 8) có cf$_{2}$ = 42.

Áp dụng công thức, ta có tứ phân vị thứ ba là:

${Q}_{3}=8+(\frac{90-42}{48})\cdot 4=12$ (năm).

Vậy tứ phân vị của mẫu số liệu trên là:

${Q}_{1}\approx 6$ (năm); ${Q}_{2}=9{,}5$ (năm) và ${Q}_{3}=12$ (năm).

Từ bảng tần số ghép nhóm và tần số tích lũy ta có:

a) Nhóm 3 là nhóm [50; 60) có tần số lớn nhất.

b) Nhóm [50; 60) có đầu mút trái là 50, độ dài là 10.

Ta thấy nhóm 3 là nhóm [50; 60) có tần số lớn nhất với u = 50, g = 10 và n$_{3}$ = 16.

Nhóm 2 là nhóm [40; 50) có n$_{2}$ = 10 và nhóm 4 là nhóm [60; 70) có n$_{4}$ = 8.

Áp dụng công thức, ta có mốt của mẫu số liệu là: ${M}_{o}=50+(\frac{16-10}{2\cdot 16-10-8})\cdot 10\approx 54{,}3.$

a) Bảng tần số ghép nhóm cho mẫu số liệu trên như sau:

b) Bảng tần số ghép nhóm bao gồm giá trị đại diện và tần số tích lũy như sau:

⦁ Số trung bình cộng của mẫu số liệu ghép nhóm đã cho là:

$\overline{x}=\frac{42{,}5\cdot 4+47{,}5\cdot 11+52{,}5\cdot 7+57{,}5\cdot 8+62{,}5\cdot 8+67{,}5\cdot 2}{40}=53{,}875.$

⦁ Số phần tử của mẫu là n = 40. Ta có $\frac{n}{2}=\frac{40}{2}=20.$

Mà 15 < 20 < 22 nên nhóm 3 là nhóm đầu tiên có tần số tích lũy lớn hơn hoặc bằng 20.

Xét nhóm 3 là nhóm [50; 55) có r = 50, d = 5, n$_{3}$ = 7 và nhóm 2 là nhóm [45; 50) có cf$_{2}$ = 15.

Áp dụng công thức, ta có trung vị của mẫu số liệu là:

${M}_{e}=50+\frac{20-15}{7}\cdot 5\approx 53{,}6$ (km/h).

Do đó tứ phân vị thứ hai là Q$_{2}$ = M$_{e}$ ≈ 53,6 (km/h).

⦁ Ta có $\frac{n}{4}=\frac{40}{4}=10$. Mà 4 < 10 < 15 nên nhóm 2 là nhóm đầu tiên có tần số tích lũy lớn hơn hoặc bằng 10.

Xét nhóm 2 là nhóm [45; 50) có s = 45; h = 5; n$_{2}$ = 11 và nhóm 1 là nhóm [40; 45) có cf$_{1}$ = 4.

Áp dụng công thức, ta có tứ phân vị thứ nhất là:

${Q}_{1}=45+\frac{10-4}{11}\cdot 5\approx 47{,}7$ (km/h).

⦁ Ta có $\frac{3n}{4}=\frac{3\cdot 40}{4}=30$. Mà cf$_{4}$ = 30 nên nhóm 4 là nhóm đầu tiên có tần số tích lũy lớn hơn hoặc bằng 30.

Xét nhóm 4 là nhóm [55; 60) có t = 55; l = 5; n$_{4}$ = 8 và nhóm 3 là nhóm [50; 55) có cf$_{1}$ = 22.

Áp dụng công thức, ta có tứ phân vị thứ ba là:

${Q}_{3}=55+\frac{30-22}{8}\cdot 5=60$ (km/h).

c) Nhóm 2 là nhóm [45; 50) có tần số lớn nhất với u = 45, g = 5, n$_{2}$ = 11 và nhóm 1 có tần số n$_{1}$= 4, nhóm 3 có tần số n$_{3}$ = 7.

Áp dụng công thức, ta có mốt của mẫu số liệu là:

${M}_{o}=45+\frac{11-4}{2\cdot 11-4-7}\cdot 5\approx 48{,}2$ (km/h).

a) Bảng tần số ghép nhóm cho mẫu số liệu trên như sau:

b) Bảng tần số ghép nhóm bao gồm giá trị đại diện và tần số tích lũy như sau:

⦁ Số trung bình cộng của mẫu số liệu ghép nhóm đã cho là:

$\overline{x}=\frac{17{,}5\cdot 1+22{,}5\cdot 0+27{,}5\cdot 0+32{,}5\cdot 1+37{,}5\cdot 10+42{,}5\cdot 17+47{,}5\cdot 0+52{,}5\cdot 1}{30}=40.$

⦁ Số phần tử của mẫu là n = 30. Ta có $\frac{n}{2}=\frac{30}{2}=15.$

Mà 12 < 15 < 29 nên nhóm 6 là nhóm đầu tiên có tần số tích lũy lớn hơn hoặc bằng 15.

Xét nhóm 6 là nhóm [40; 45) có r = 40, d = 5, n$_{6}$ = 17 và nhóm 5 là nhóm [35; 40) có cf$_{5}$ = 12.

Áp dụng công thức, ta có trung vị của mẫu số liệu là:

${M}_{e}=40+\frac{15-12}{17}\cdot 5\approx 40{,}9$ (kg).

Do đó tứ phân vị thứ hai là Q$_{2}$ = M$_{e}$ ≈ 40,9 (kg).

⦁ Ta có $\frac{n}{4}=\frac{30}{4}=7{,}5$. Mà 2 < 7,5 < 12 nên nhóm 5 là nhóm đầu tiên có tần số tích lũy lớn hơn hoặc bằng 7,5.

Xét nhóm 5 là nhóm [35; 40) có s = 35; h = 5; n$_{5}$ = 10 và nhóm 4 là nhóm [30; 35) có cf$_{4}$ = 2.

Áp dụng công thức, ta có tứ phân vị thứ nhất là:

${Q}_{1}=35+\frac{7{,}5-2}{10}\cdot 5=37{,}75$ (kg).

⦁ Ta có . Mà 12 < 22,5 < 29 nên nhóm 6 là nhóm đầu tiên có tần số tích lũy lớn hơn hoặc bằng 22,5.

Xét nhóm 6 là nhóm [40; 45) có t = 40; l = 5; n$_{4}$ = 17 và nhóm 5 là nhóm [35; 40) có cf$_{5}$ = 12.

Áp dụng công thức, ta có tứ phân vị thứ ba là:

${Q}_{3}=40+\frac{22{,}5-12}{17}\cdot 5\approx 43{,}1$ (kg).

c) Nhóm 6 là nhóm [40; 45) có tần số lớn nhất với u = 40, g = 5, n$_{6}$ = 17 và nhóm 5 có tần số n$_{5}$= 10, nhóm 7 có tần số n$_{7}$ = 0.

Áp dụng công thức, ta có mốt của mẫu số liệu là:

${M}_{o}=40+\frac{17-10}{2\cdot 17-10-0}\cdot 5\approx 41{,}5$ (kg).

a) Bảng tần số ghép nhóm bao gồm giá trị đại diện và tần số tích lũy như sau:

⦁ Số trung bình cộng của mẫu số liệu ghép nhóm đã cho là:

$\overline{x}=\frac{35\cdot 4+45\cdot 10+55\cdot 14+65\cdot 6+75\cdot 4+85\cdot 2}{40}=55{,}5.$

⦁ Số phần tử của mẫu là n = 40. Ta có $\frac{n}{2}=\frac{40}{2}=20.$

Mà 14 < 20 < 28 nên nhóm 3 là nhóm đầu tiên có tần số tích lũy lớn hơn hoặc bằng 20.

Xét nhóm 3 là nhóm [50; 60) có r = 50, d = 10, n$_{3}$ = 14 và nhóm 2 là nhóm [40; 50) có cf$_{2}$ = 14.

Áp dụng công thức, ta có trung vị của mẫu số liệu là:

${M}_{e}=50+\frac{20-14}{14}\cdot 10\approx 54{,}29$ (cm).

Do đó tứ phân vị thứ hai là Q$_{2}$ = M$_{e}$ ≈ 54,29 (cm).

⦁ Ta có $\frac{n}{4}=\frac{40}{4}=10$. Mà 4 < 10 < 14 nên nhóm 2 là nhóm đầu tiên có tần số tích lũy lớn hơn hoặc bằng 10.

Xét nhóm 2 là nhóm [40; 50) có s = 40; h = 10; n$_{2}$ = 10 và nhóm 1 là nhóm [30; 40) có cf$_{1}$ = 4.

Áp dụng công thức, ta có tứ phân vị thứ nhất là:

${Q}_{1}=40+\frac{10-4}{10}\cdot 10=46$ (cm).

⦁ Ta có $\frac{3n}{4}=\frac{3\cdot 40}{4}=30.$ Mà 28 < 30 < 34 nên nhóm 4 là nhóm đầu tiên có tần số tích lũy lớn hơn hoặc bằng 30.

Xét nhóm 4 là nhóm [60; 70) có t = 60; l = 10; n$_{4}$ = 6 và nhóm 3 là nhóm [50; 60) có cf$_{3}$ = 28.

Áp dụng công thức, ta có tứ phân vị thứ ba là:

${Q}_{3}=60+\frac{30-28}{6}\cdot 10\approx 63{,}33$ (cm).

b) Nhóm 3 là nhóm [50; 60) có tần số lớn nhất với u = 50, g = 10, n$_{3}$ = 14 và nhóm 2 có tần số n$_{2}$= 10, nhóm 4 có tần số n$_{4}$ = 6.

Áp dụng công thức, ta có mốt của mẫu số liệu là:

${M}_{o}=50+\frac{14-10}{2\cdot 14-10-6}\cdot 10\approx 53{,}33$ (cm).