Giải SGK Chuyên đề Toán 12 Bài 4. Vận dụng đạo hàm để giải quyết một số bài toán tối ưu

Kí hiệu v1 là vận tốc chèo thuyền (v1 = 3 km/h) và v2 là vận tốc đi bộ (v2 = 5 km/h).

Kí hiệu S1 là quãng đường người đánh cá chèo thuyền và S2 là quãng đường người đánh cá đi bộ dọc bờ biển.

Thời gian người đánh cá chèo thuyền là (giờ).

Thời gian người đó đi bộ là (giờ).

Nếu anh ấy chèo thuyền đến P rồi đi bộ về nhà thì hết (giờ).

Xét ∆APQ vuông tại P, theo định lí Pythagore ta có:

AQ2 = AP2 + PQ2 = 22 + PQ2 = 4 + PQ2.

Suy ra

Lại có QB = PB – PQ = 6 – PQ (km).

Vậy tổng thời gian để anh ấy chèo thuyền đến Q rồi đi bộ về nhà là:

Ta luôn có y ≥ 0 và dễ thấy y = 0 tại x = x1 = 0 và x = x2 (hình vẽ).

Xét trên khoảng [0; x2].

Đạo hàm của hàm y là

Ta có

Vận dụng phương pháp tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số trên một đoạn, ta có:

Vì giá trị là giá trị lớn nhất trong ba giá trị trên, nên giá trị lớn nhất của y là đạt được khi

Từ hình vẽ, ta có vx = v0.cosα, mà x = vx.t nên

Thay v0 = 9 m/s và g = 9,8 m/s2 vào (*) và (**) ta được:

tại

Vậy vật đạt độ cao nhất trên quỹ đạo là tại thời điểm (s).

Từ câu a, ta có hình vẽ như sau:

Khi đó, tầm ném xa của vật là

Xét hàm số trên đoạn [0°; 90°].

Đạo hàm của hàm L là

Ta có

Vận dụng phương pháp tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số trên một đoạn, ta có:

Vì giá trị L(45°) là giá trị lớn nhất trong ba giá trị trên, nên giá trị nhỏ nhất của L đạt được khi α = 45°.

Vậy để tầm ném xa của vật đạt giá trị lớn nhất thì góc ném là 45°.

Từ hình vẽ, với 0 ≤ x ≤ c ta có: và

Thời gian ánh sáng di chuyển từ A đến P là:

Thời gian ánh sáng di chuyển từ P đến B là:

Khi đó, tổng thời gian tia sáng đi từ A đến B theo đường gấp khúc APB là:

Xét hàm số trên đoạn [0; c].

Đạo hàm của hàm T(x) là:

Ta có

Giả sử x = x0 thỏa mãn

Vận dụng phương pháp tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số trên một đoạn, ta có:

Ta có T(x0) là giá trị nhỏ nhất trong các giá trị T(0), T(x0), T(c).

Vậy T(x) nhỏ nhất khi góc tới i và góc khúc xạ r thỏa mãn phương trình

Gọi x (triệu đồng) là số tiền giảm cho mỗi chiếc xe, 0 ≤ x ≤ 31.

Số lượng chiếc xe bán được là: 600 + 200x (chiếc).

Hàm chi phí cho 600 + 200x chiếc xe là: (600 + 200x).27 (triệu đồng).

Hàm doanh thu cho 600 + 200x chiếc xe là:

(600 + 200x).(31 – x) (triệu đồng).

Khi đó, lợi nhuận thu được là:

P(x) = (600 + 200x).(31 – x) – (600 + 200x).27

= (600 + 200x)(4 – x) = 2 400 + 200x – 200x2 (triệu đồng).

Để tối đa hóa lợi nhuận, thì ta phải tìm giá trị lớn nhất của hàm P(x) với 0 ≤ x ≤ 31.

Ta có P’(x) = 200 – 400x = 0 khi x = 0,5.

Khi đó P(0,5) = 2 450 (triệu đồng) là giá trị lớn nhất của hàm lợi nhuận, đạt được khi x = 0,5. Tức là mỗi chiếc xe nên giảm giá 0,5 triệu đồng.

Vậy doanh nghiệp nên định giá bán mới là 30,5 triệu đồng để thu được lợi nhuận cao nhất.

Hàm lợi nhuận là:

P(x) = xp(x) – C(x)

= x.(1 700 – 7x) – (16 000 + 500x – 1,64x2 + 0,004x3)

= 1 700x – 7x2 – 16 000 – 500x + 1,64x2 – 0,004x3

= – 0,004x3 – 5,36x2 + 1 200x – 16 000.

Ta cần tìm x để P(x) là lớn nhất.

Ta có P’(x) = – 0,012x2 – 10,72x + 1 200.

P’(x) = 0 ⇔ – 0,012x2 – 10,72x + 1 200 = 0

⇔ x ≈ 100,6.

Ta có P(100) = 46 400 và P(101) = 46 401,436 nên P(100) < P(101).

Do số đơn vị hàng hóa phải là số nguyên dương nên để lợi nhuận lớn nhất thì mức sản xuất là x = 100 đơn vị hàng hóa.

Gọi x (m) là chiều rộng của hình chữ nhật, 0 < x < 10.

Khi đó, bán kính của phần cửa sổ nửa hình tròn là (m).

Diện tích của phần cửa sổ nửa hình tròn là:

Độ dài mép ngoài của phần cửa nửa đường tròn chính là nửa chu vi đường tròn và bằng:

Độ dài mép ngoài của phần cửa hình chữ nhật và cũng là chu vi hình chữ nhật, bằng:

Chiều dài của phần cửa sổ hình chữ nhật là

Diện tích của phần cửa sổ hình chữ nhật là:

Diện tích của cửa sổ là:

Xét hàm trên khoảng (0; 10).

Ta có

Lập bảng biến thiên của hàm số trên khoảng (0; 10):

	0				10
		+	0	–
	0		14,90		–67,81

Từ bảng biến thiên, ta có khi

Vậy các kích thước của hình chữ nhật lần lượt là khoảng 2,98 m và

Gọi x (km) là khoảng cách từ điểm B đến vị trí S, 0 ≤ x ≤ 4.

Từ hình vẽ ta có: AS = 4 – x (km) và (km).

Chi phí kéo đường dây điện từ A đến S (đặt ngầm dưới đất) là: 3 000(4 – x) (USD).

Chi phí kéo đường dây điện từ S đến C (đặt ngầm dưới nước) là: (USD).

Khi đó, tổng chi phí kéo đường dây điện từ A đến C là:

Ta cần tìm x để C(x) đạt giá trị nhỏ nhất.

Ta có

Từ giả thiết x ≥ 0 ta suy ra 25x2 = 3(1 + x2), hay 22x2 = 3, do đó

Vận dụng phương pháp tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số trên một đoạn, ta có:

Vì giá trị là giá trị nhỏ nhất trong ba giá trị trên, nên giá trị nhỏ nhất của C(x) đạt được khi

Vậy vị trí của điểm S cách B một khoảng 369 mét thì chi phí kéo đường dây điện là nhỏ nhất.

Hàm doanh thu khi chở x khách hàng là:

= 450 000x – 7 500x2 + 31,25x3 (đồng) với 0 ≤ x ≤ 60.

Đạo hàm của hàm R(x) là: R’(x) = 450 000 – 15 000x + 93,75x2.

R’(x) = 0 ⇔ 450 000 – 15 000x + 93,75x2 = 0

⇔ x = 120 (không thuộc [0; 60]) hoặc x = 40 (thỏa mãn).

Vận dụng phương pháp tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số trên một đoạn, ta có:

R(0) = 0; R(40) = 8 000 000; R(60) = 6 750 000.

Vì giá trị R(40) là giá trị lớn nhất trong ba giá trị trên, nên giá trị lớn nhất của R(x) đạt được khi x = 40.

Vậy xe có doanh thu cao nhất khi chở 40 hành khách và doanh thu đó bằng 8 000 000 đồng.

Đổi 5 ℓ = 5 dm3 = 0,005 m3.

Gọi x (m) là bán kính của đáy thùng đựng sơn hình trụ, x > 0.

Khi đó, chiều cao của thùng đựng sơn hình trụ là:

Diện tích xung quanh của thùng đựng sơn hình trụ là:

Diện tích đáy của thùng đựng sơn hình trụ là: Sđáy = πx2 (m2).

Giá sản xuất mặt xung quanh của một thùng đựng sơn là: (nghìn đồng).

Giá sản xuất hai mặt đáy của một thùng đựng sơn là: 120.2πx2 = 240πx2 (nghìn đồng).

Chi phí sản xuất một thùng sơn là: (nghìn đồng) với x > 0.

Ta có

Lập bảng biến thiên của hàm số trên khoảng (0; +∞).

	0				+∞
		–	0	+
			17,20105

Từ bảng biến thiên, ta có khi

Khi đó, chi phí thấp nhất để sản xuất một thùng sơn là khoảng 17,20105 nghìn đồng hay 17 201,05 đồng.

Ta có: 1 000 000 : 17 210,05 ≈ 58 135,98.

Vậy công ty có thể sản xuất được tối đa 58 135 thùng sơn.

Hàm doanh thu là: R(x) = x.p(x) = x.(1 500 – 3x) = 1 500x – 3x2 (nghìn đồng).

Hàm lợi nhuận là:

P(x) = R(x) – C(x) = 1 500x – 3x2 – (18 000 + 500x – 1,6x2 + 0,004x3)

= 1 500x – 3x2 – 18 000 – 500x + 1,6x2 – 0,004x3

= – 0,004x3 – 1,4x2 + 1 000x – 18 000.

Vậy công thức của hàm lợi nhuận là P(x) = – 0,004x3 – 1,4x2 + 1 000x – 18 000 (nghìn đồng).

Xét hàm lợi nhuận P(x) = – 0,004x3 – 1,4x2 + 1 000x – 18 000 (nghìn đồng) với x ≥ 0.

Ta có P’(x) = –0,012x2 – 2,8x + 1 000.

P’(x) = 0 ⟺ –0,012x2 – 2,8x + 1 000 = 0 ⇔ x ≈ 194,7.

Ta có P(194) = 94 104,064 và P(195) = 94 105,5 nên P(194) < P(105).

Do số đơn vị hàng hóa phải là số nguyên dương nên để lợi nhuận lớn nhất thì mức sản xuất là x = 195 đơn vị hàng hóa.