Giải SGK Chuyên đề Toán 12 Bài 1. Biến ngẫu nhiên rời rạc và các số đặc trưng

Sau khi học xong bài này, ta giải quyết được bài toán này như sau:

+) Giả sử ở vòng 1 bạn Minh chọn câu hỏi loại I

Gọi X là số điểm Minh nhận được.

Số điểm trung bình mà Minh nhận được là E(X).

Gọi A là biến cố: “Minh trả lời đúng câu hỏi loại I”; B là biến cố: “Minh trả lời đúng câu hỏi loại II”.

Theo đề ta có P(A) = 0,8; P(B) = 0,6.

Vòng 1: Minh bốc ngẫu nhiên một câu hỏi loại I. Có hai khả năng

- Nếu trả lời sai thì Minh nhận 0 điểm. Cuộc chơi kết thúc tại đây.

Ta có {X = 0} = . Do đó P(X = 0) = .

- Nếu trả lời đúng thì Minh nhận 20 điểm và Minh sẽ bước vào vòng 2.

Vòng 2: Minh bốc ngẫu nhiên một câu hỏi loại II. Khi đó có hai khả năng:

- Nếu trả lời sai, Minh không có điểm và phải dừng cuộc chơi với tổng số điểm nhận được là 20 + 0 = 20 điểm.

Ta có {X = 20} = . Theo giả thiết A và B là hai biến cố độc lập nên A và cũng độc lập.

Theo công thức nhân xác suất cho hai biến cố độc lập ta có:

P(X = 20) = .

- Nếu trả lời đúng Minh nhận 80 điểm. Cuộc thi kết thúc tại đây và tổng số điểm Minh nhận được là: 20 + 80 = 100 điểm.

Ta có {X = 100} = AB. Theo giả thiết A và B là hai biến cố độc lập.

Theo công thức nhân xác suất cho hai biến cố độc lập ta có:

P(X = 100) = P(AB) = P(A).P(B) = 0,8.0,6 = 0,48.

Bảng phân bố xác suất của X

Từ đó E(X) = 0.0,2 + 20.0,32 + 100.0,48 = 54,4.

Vậy nếu chọn câu hỏi loại I ở vòng 1 thì trung bình Minh được 54,4 điểm.

+) Giả sử ở vòng 1 bạn Minh chọn câu hỏi loại II

Gọi Y là số điểm Minh nhận được. Ta lập bảng phân bố xác suất của Y.

Gọi A là biến cố “Minh trả lời đúng câu hỏi loại I”; B là biến cố “Minh trả lời đúng câu hỏi loại II”.

Theo đề có P(A) = 0,8; P(B) = 0,6.

+) Nếu trả lời sai: Minh được 0 điểm. Cuộc chơi kết thúc tại đây.

Vậy P(Y = 0) = .

+) Nếu trả lời đúng Minh nhận 80 điểm và Minh sẽ bước vào vòng 2, bốc ngẫu nhiên một câu hỏi loại I.

Nếu trả lời sai, Minh không có điểm và phải dừng cuộc chơi với số điểm nhận được là 80 + 0 = 80 điểm. Theo giả thiết A và B là hai biến cố độc lập. Theo công thức nhân xác suất cho hai biến cố độc lập ta có:

P(Y = 80) = .

Nếu trả lời đúng Minh nhận 20 điểm. Cuộc chơi kết thúc tại đây và Minh được 20 + 80 = 100 điểm. Theo công thức nhân xác suất cho hai biến cố độc lập ta có:

P(Y = 100) = P(BA) = P(B).P(A) = 0,6.0,8 = 0,48.

Bảng phân bố xác suất của Y là

Ta có E(Y) = 0.0,4 + 80.0,12 + 100.0,48 = 57,6.

Vậy trung bình Minh được 57,6 điểm.

Ta có E(X) = 54,4. Vì E(Y) > E(X) nên nếu ở vòng I Minh chọn câu hỏi loại II thì về trung bình Minh được nhiều điểm hơn. Vậy ở vòng 1, Minh nên chọn câu hỏi loại II.

Các giá trị của X thuộc tập {0; 1; 2; 3}.

Ta cần tính P(X = 0), P(X = 1), P(X = 2), P(X = 3).

Số kết quả có thể là .

+) Biến cố (X = 0) là biến cố: “Chọn được 3 học sinh nữ”.

Số kết quả thuận lợi cho biến cố (X = 0) là .

Vậy .

+) Biến cố (X = 1) là biến cố: “Chọn được 1 học sinh nam và 2 học sinh nữ”.

Có cách chọn 1 học sinh nam trong 10 học sinh nam và cách chọn 2 học sinh nữ trong 6 học sinh nữ.

Theo quy tắc nhân ta có 10.15 = 150 cách chọn 1 học sinh nam và 2 học sinh nữ.

Vậy số kết quả thuận lợi cho biến cố (X = 1) là 150.

Do đó P(X = 1) = .

+) Biến cố (X = 2) là biến cố: “Chọn được 2 học sinh nam và 1 học sinh nữ”.

Có cách chọn 2 học sinh nam trong 10 học sinh nam và cách chọn 1 học sinh nữ trong 6 học sinh nữ. Theo quy tắc nhân ta có 45.6 = 270 cách chọn 2 học sinh nam và 1 học sinh nữ.

Vậy số kết quả thuận lợi cho biến cố (X = 2) là 270.

Do đó .

+) Biến cố (X = 3) là biến cố: “Chọn được 3 học sinh nam”.

Số kết quả thuận lợi cho biến cố (X = 3) là .

Do đó .

Vậy bảng phân bố xác suất của X là:

Tập các giá trị có thể của X là {3; 4; …; 20}.

Số kết quả có thể là .

Biến cố (X = k) là biến cố: “Trong 3 quả cầu lấy ra có 1 quả cầu đánh số k và 2 quả cầu đánh số nhỏ hơn k”.

Giai đoạn 1: Chọn quả cầu mang số k: Có 1 cách chọn.

Giai đoạn 2: Chọn 2 quả cầu trong tập {1; 2; …; k – 1}: Có cách chọn.

Vậy số kết quả thuận lợi là: .

Vậy .

Bảng phân bố xác suất của X là:

Biến cố: “Người chơi thắng” là biến cố hợp của hai biến cố A = {X = 19} và B = {X = 20}.

Theo công thức cộng hai biến cố xung khắc ta có xác suất thắng của người chơi là:

P(A ∪ B) = P(A) + P(B) = P(X = 19) + P(X = 20) ≈ 0, 134 + 0,15 = 0,284.

Tổng số vụ vi phạm Luật Giao thông là:

0.10 + 1.20 + 2.23 + 3.25 + 4.15 + 7.5 = 236 vụ.

Trung bình trong 98 buổi tối thứ Bảy có số vụ vi phạm Luật Giao thông là:

236 : 98 ≈ 2,408 vụ.

Gọi X là số vụ vi phạm Luật Giao thông trên đoạn đường AB vào tối thứ Bảy. Khi đó X là biến ngẫu nhiên rời rạc có bảng phân bố xác suất như sau:

Ta có E(X) = 0.0,1 + 1.0,2 + 2.0,25 + 3.0,25 + 4.0,15 + 5.0,05 = 2,3.

Vậy trên đoạn đường AB vào tối thứ Bảy có trung bình 2,3 vụ vi phạm Luật Giao thông.

Giả sử ở vòng 1 Minh chọn câu hỏi loại II. Gọi Y là số điểm Minh nhận được. Ta lập bảng phân bố xác suất của Y.

Gọi A là biến cố “Minh trả lời đúng câu hỏi loại I”; B là biến cố “Minh trả lời đúng câu hỏi loại II”.

Theo đề có P(A) = 0,8; P(B) = 0,6.

+) Nếu trả lời sai: Minh được 0 điểm. Cuộc chơi kết thúc tại đây.

Vậy P(Y = 0) = .

+) Nếu trả lời đúng Minh nhận 80 điểm và Minh sẽ bước vào vòng 2, bốc ngẫu nhiên một câu hỏi loại I.

Nếu trả lời sai, Minh không có điểm và phải dừng cuộc chơi với số điểm nhận được là 80 + 0 = 80 điểm. Theo giả thiết A và B là hai biến cố độc lập. Theo công thức nhân xác suất cho hai biến cố độc lập ta có:

P(Y = 80) = .

Nếu trả lời đúng Minh nhận 20 điểm. Cuộc chơi kết thúc tại đây và Minh được 20 + 80 = 100 điểm. Theo công thức nhân xác suất cho hai biến cố độc lập ta có:

P(Y = 100) = P(BA) = P(B).P(A) = 0,6.0,8 = 0,48.

Bảng phân bố xác suất của Y là

Ta có E(Y) = 0.0,4 + 80.0,12 + 100.0,48 = 57,6.

Vậy trung bình Minh được 57,6 điểm.

Gọi X và Y tương ứng là doanh thu theo phương án 1 và phương án 2.

Ta có E(X) = .

Doanh thu trung bình hai phương án là như nhau.

;

.

;

.

Có E(X) = 0.0,16 + 1.0,18 + 2.0,25 + 3.0,28 + 4.0,13 = 2,04.

Có V(X) = (0 – 2,04)2.0,16 + (1 – 2,04)2.0,18 + (2 – 2,04)2.0,25 + (3 – 2,04)2.0,28 + (4 – 2,04)2.0,13 = 1,6184.

.

Theo công thức (2) trong SGK ta có:

V(X) = 02.0,16 + 12.0,18 + 22.0,25 + 32.0,28 + 42.0,13 – (2,04)2 = 1,6184.

Gọi E là biến cố: “Ít nhất một ca cấp cứu vào tối thứ Bảy”.

Biến cố đối là biến cố: “Không có ca cấp cứu vào tối thứ Bảy”.

Vậy .

Do đó .

Gọi B là biến cố: “Có hơn 3 ca cấp cứu vào tối thứ Bảy”.

Khi đó P(B) = P(X = 4) + P(X = 5) = 0,08 + 0,02 = 0,1.

Ta có E(X) = 0.0,12 + 1.0,28 + 2.0,31 + 3.0,19 + 4.0,08 + 5.0,02 = 1,89.

V(X) = 02.0,12 + 12.0,28 + 22.0,31 + 32.0,19 + 42.0,08 + 52.0,02 – 1,892 = 1,4379.

.

Gọi E là biến cố: “Xảy ra ít nhất 2 cuộc gọi”.

Biến cố đối là: “Xảy ra nhiều nhất 1 cuộc gọi”.

Khi đó .

Vậy .

Gọi B là biến cố: “Xảy ra nhiều nhất 3 cuộc gọi đến trung tâm cứu hộ đó”.

Khi đó P(B) = P(X = 0) + P(X = 1) + P(X = 2) + P(X = 3)

= 0,25 + 0,2 + 0,15 + 0,15 = 0,75.

E(X) = 0.0,25 + 1.0,2 + 2.0,15 + 3.0,15 + 4.0,13 + 5.0,12 = 2,07.

V(X) = 02.0,25 + 12.0,2 + 22.0,15 + 32.0,15 + 42.0,13 + 52.0,12 – 2,072 = 2,9451.

.

Gọi X là số thẻ đỏ trong ba thẻ rút ra.

Giá trị của X thuộc tập {0; 1; 2; 3}. Ta đi tính P(X = 0), P(X = 1), P(X = 2), P(X = 3).

Số kết quả có thể là: .

Biến cố {X = 0} là: “Rút được 3 thẻ xanh”.

Số kết quả thuận lợi cho biến cố {X = 0} là .

Do đó P(X = 0) = .

Biến cố {X = 1}: “Rút được 1 thẻ đỏ và 2 thẻ xanh”.

Số kết quả thuận lợi cho biến cố {X = 1} là .

Do đó P(X = 1) = .

Biến cố {X = 2}: “Rút được 2 thẻ đỏ và 1 thẻ xanh”.

Số kết quả thuận lợi cho biến cố {X = 2} là .

Do đó P(X = 2) = .

Biến cố {X = 3}: “Rút được 3 thẻ đỏ”.

Số kết quả thuận lợi cho biến cố {X = 3} là .

Do đó P(X = 3) = .

Bảng phân bố xác suất của X là

Có E(X) = .

Gọi Y là số điểm thu được sau khi rút 3 tấm thẻ từ trong túi

Khi đó Y sẽ nhận các giá trị trong tập {24; 21; 18; 15}

Ta có: P(Y = 24) = P(X = 0) = ;

P(Y = 21) = P(X = 1) = ;

P(Y = 18) = P(X = 2) = ;

P(Y = 15) = P(X = 3) = ;

Ta có bảng phân bố xác suất của Y là

Y	24	21	18	15
P

Xác suất bắn trúng bia của An và của Bình trong mỗi phát bắn tương ứng là 0,4 và 0,5.

Nên xác suất bắn không trúng bia của An và Bình trong mỗi phát bắn tương ứng là 0,6 và 0,5.

Gọi X là số phát bắn trúng bia của An.

Giá trị của X thuộc tập {0; 1; 2}.

Ta đi tính P(X = 0); P(X = 1); P(X = 2).

Biến cố {X = 0}: “Cả hai phát bắn đều trượt”.

Khi đó P(X = 0) = 0,6.0,6 = 0,36.

Biến cố {X = 1}: “Có 1 phát bắn trúng bia”.

Khi đó P(X = 1) = 0,4.0,6 + 0,6.0,4 = 0,48.

Biến cố {X = 2}: “Cả hai phát bắn đều trúng”.

Khi đó P(X = 2) = 0,4.0,4 = 0,16.

Y là số phát bắn trúng bia của Bình

Giá trị của Y thuộc tập {0; 1; 2}.

Ta đi tính P(Y = 0); P(Y = 1); P(Y = 2).

Biến cố {Y = 0}: “Cả hai phát bắn đều trượt”.

Khi đó P(Y = 0) = 0,5.0,5 = 0,25.

Biến cố {Y = 1}: “Có 1 phát bắn trúng bia”.

Khi đó P(Y = 1) = 0,5.0,5 + 0,5.0,5 = 0,5.

Biến cố {Y = 2}: “Cả hai phát bắn đều trúng”.

Khi đó P(Y = 2) = 0,5.0,5 = 0,25.

Bảng phân bố xác suất của X là

Bảng phân bố xác suất của Y là

E(X) = 0.0,36 + 1.0,48 + 2.0,16 = 0,8.

Xác suất bắn trúng bia của An và của Bình trong mỗi phát bắn tương ứng là 0,4 và 0,5.

Nên xác suất bắn không trúng bia của An và Bình trong mỗi phát bắn tương ứng là 0,6 và 0,5.

V(X) = 02.0,36 + 12.0,48 + 22.0,16 – 0,82 = 0,48.

E(Y) = 0.0,25 + 1.0,5 + 2.0,25 = 1.

V(Y) = 02.0,25 + 12.0,5 + 22.0,25 – 12 = 0,5.

Kí hiệu Aij là biến cố: “Chọn được quả cầu ghi số i và quả cầu ghi số j”.

Giá trị của X thuộc tập {2; 3; 4; 5; 6; 7}.

Ta có P(X = 2) = P(A11) = .

P(X = 3) = P(A12) = .

P(X = 4) = P(A13) + P(A22) = .

P(X = 5) = P(A14) + P(A23) = .

P(X = 6) = P(A24) + P(A33) = .

P(X = 7) = P(A34) =

Bảng phân bố xác suất của X là