Giải SBT Vật lý 11 KNTT Sự chuyển hoá năng lượng trong dao động điều hoà có đáp án

Đáp án đúng là C

Biên độ tăng gấp đôi thì cơ năng tăng 4 lần, động năng và thế năng phụ thuộc vào vị trí và vận tốc của vật. Chỉ có vận tốc cực đại ${v_{\max }} = A\omega$ tăng gấp đôi.

Đáp án đúng là C

Cơ năng của một chất điểm dao động điều hoà tỉ lệ thuận với bình phương biên độ dao động theo công thức $W = \frac{1}{2}m{\omega ^2}{A^2}$

Đáp án đúng là D

Biên độ, tần số góc, năng lượng toàn phần là ba đại lượng không đổi trong dao động điều hoà.

Đáp án đúng là C

$${W_d} = \frac{1}{2}m{v^2} = \frac{1}{2}m{\left( {x'} \right)^2} = \frac{1}{2}m{\left[ {A\omega \cos \left( {\omega t + \frac{{2\pi }}{3} + \frac{\pi }{2}} \right)} \right]^2}$$

$$= \frac{1}{2}m{A^2}{\omega ^2}{\cos ^2}\left( {\omega t + \frac{{7\pi }}{6}} \right) = \frac{{m{A^2}{\omega ^2}}}{4}\left[ {1 + \cos \left( {2\omega t + \frac{{7\pi }}{3}} \right)} \right]$$

Đáp án đúng là A

Thời gian giữa năm lần liên tiếp động năng bằng thế năng là:

$4 \cdot \frac{T}{4} = 0{,}4 \Rightarrow T = 0{,}4{\rm{\;s}} \Rightarrow f = \frac{1}{{0{,}4}} = 2{,}5{\rm{\;Hz}}$

Đáp án đúng là A

Động năng cực đại bằng cơ năng: ${W_{d\max }} = W = \frac{1}{2}m{\omega ^2}{A^2}$

Tốc độ tại P: ${v_P} = \sqrt {\frac{{2{W_{dP}}}}{m}} = 80{\rm{\;cm/s}}$; tại Q: ${v_Q} = \sqrt {\frac{{2{W_{dQ}}}}{m}} = 60{\rm{\;cm/s}}$.

Do ${v_P} > {v_Q}$ nên li độ $\left| {{x_P}} \right| < \left| {{x_Q}} \right|:\left\{ {\begin{array}{llllllllllllllllllll}{\left| {{x_P}} \right| = A - 4}\\{\left| {{x_Q}} \right| = A - 2}\end{array}} \right.$

$\left\{ {\begin{array}{llllllllllllllllllll}{v_P^2 = {\omega ^2}\left( {{A^2} - x_P^2} \right)}\\{v_Q^2 = {\omega ^2}\left( {{A^2} - x_Q^2} \right)}\end{array} \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{llllllllllllllllllll}{v_P^2 = 8{\omega ^2}\left( {A - 2} \right)}\\{v_Q^2 = 4{\omega ^2}\left( {A - 1} \right)}\end{array}} \right.} \right.$

Giải hệ ta được: $A = 10{\rm{\;cm}}$ và $\omega = 10{\rm{rad}}/{\rm{s}}$.

Quãng đường $PQ = OP + OQ$$= \left( {A - 4} \right) + \left( {A - 2} \right) = 14{\rm{\;cm}}{\rm{.\;}}$

Thời gian vật đi từ P đến Q là ${\rm{\Delta }}t$ với: ${\rm{\Delta }}t = \frac{{{\rm{\Delta }}\varphi }}{\omega }$.

${\rm{\Delta }}\varphi = \pi - \left( {{\varphi _1} + {\varphi _2}} \right) = \frac{\pi }{2}$, với ${\rm{cos}}{\varphi _1} = \frac{{{\rm{OP}}}}{{\rm{A}}};{\rm{cos}}{\varphi _2} = \frac{{{\rm{OQ}}}}{{\rm{A}}} \Rightarrow {\rm{\Delta t}} = \frac{{\rm{T}}}{4} = \frac{\pi }{{20}}$

$\Rightarrow$ Tốc độ trung bình khi vật đi từ P đến Q: $\overline v = \frac{{PQ}}{{{\rm{\Delta }}t}} = \frac{{14}}{{\frac{\pi }{{20}}}} \approx 89{\rm{\;cm/s}}$.

Độ dãn của lò xo khi vật ở vị trí cân bằng: ${\rm{\Delta }}{l_0} = \frac{{\rm{g}}}{{{\omega ^2}}} = \frac{{10}}{{500}} = 2{\rm{\;cm}}$.

Biên độ dao động $A = 4{\rm{\;cm}}$.

Do $A > {\rm{\Delta }}{l_0}$ nên ${F_{{\rm{min}}}} = 0$ (lúc lò xo không biến dạng).

Độ cứng của lò xo: $k = \frac{{mg}}{{{\rm{\Delta }}{l_0}}} = \frac{{0{,}1 \cdot 10}}{{0{,}02}} = 50{\rm{\;N/m}}$.

Lực đàn hồi cực đại ${F_{{\rm{max}}}} = k\left( {{\rm{\Delta }}{l_0} + A} \right) = 50.0{,}06 = 3{\rm{\;N}}$.

$\frac{{{F_{{\rm{max}}}}}}{{{F_{{\rm{min}}}}}} = \frac{{k\left( {{\rm{\Delta }}{l_0} + A} \right)}}{{k\left( {{\rm{\Delta }}{l_0} - A} \right)}} = \frac{7}{3} \Rightarrow 3\left( {{\rm{\Delta }}{l_0} + A} \right) = 7\left( {{\rm{\Delta }}{l_0} - A} \right)$$\Rightarrow {\rm{\Delta }}{l_0} = 2{,}5{\rm{\;A}} = 25{\rm{\;cm}} = 0{,}25{\rm{\;m}}$.

Với ${\rm{\Delta }}{l_0}$ là độ dãn của lò xo tại vị trí cân bằng.

$\omega = \sqrt {\frac{g}{{{\rm{\Delta }}{l_0}}}} = \sqrt {\frac{{10}}{{0{,}25}}} = 2\pi \left( {{\rm{rad}}/{\rm{s}}} \right) \Rightarrow f = \frac{\omega }{{2\pi }} = 1{\rm{\;Hz}}$.

Khi động năng bằng thế năng: ${{\rm{W}}_{\rm{t}}} = {{\rm{W}}_{\rm{d}}}$, ta có:

$2{\rm{\;}}{{\rm{W}}_{\rm{t}}} = {\rm{W}} \Leftrightarrow 2\frac{{{\rm{mgl}}{\alpha ^2}}}{2} = \frac{{{\rm{mgl}}\alpha _{{\rm{max}}}^2}}{2} \Rightarrow \alpha = \pm \frac{{{\alpha _{{\rm{max}}}}\sqrt 2 }}{2}$

Gọi ${\rm{\Delta }}{l_0}$ là độ dãn của lò xo tại vị trí cân bằng, ta có: ${\rm{\Delta }}{l_0} = 2{,}5{\rm{\;cm}} = 0{,}025{\rm{\;m}}$.

Tại vị trí cân bằng: ${\rm{k}} \cdot {\rm{\Delta }}{l_0} = {\rm{mg}} \Rightarrow {\rm{k}} = \frac{{{\rm{mg}}}}{{{\rm{\Delta }}{l_0}}} = \frac{{0{,}1 \cdot 10}}{{0{,}025}} = 40{\rm{\;N/m}}$.

$\omega = \sqrt {\frac{k}{m}} = \sqrt {\frac{{40}}{{0{,}1}}} = 20{\rm{rad/s}}$.

Theo đề bài, khi ${\rm{t}} = 0$ thì ${\rm{x}} = - 2{\rm{\;cm}}$ và ${\rm{v}} = - 40\sqrt 3 {\rm{\;cm/s}}$

$\Rightarrow A = \sqrt {{x^2} + \frac{{{v^2}}}{{{\omega ^2}}}} = \sqrt {{{( - 2)}^2} + \frac{{{{(40\sqrt 3 )}^2}}}{{{{(20)}^2}}}} = 4{\rm{\;cm}}$.

Vậy tại thời điểm $t = 0$ thì $x = - 2\,cm = - \frac{A}{2}$ và $v < 0$, nên $\varphi = \frac{{2\pi }}{3}$, phương trình dao động là: $x = 4{\rm{cos}}\left( {20t + \frac{{2\pi }}{3}} \right)\left( {{\rm{cm}}} \right)$

Cơ năng của dao động: $W = \frac{1}{2}m{\omega ^2}{A^2} = \frac{1}{2} \cdot 0{,}1{(20)^2}{(0{,}04)^2} = 0{,}032{\rm{\;J}}$

Khi thế năng bằng $\frac{1}{3}$ động năng;

${W_t} = \frac{1}{3}{W_d} \Leftrightarrow W = 4{W_t} \Leftrightarrow \frac{1}{2}m{\omega ^2}{A^2} = 4\frac{1}{2}m{\omega ^2}{x^2}$

$\; \Rightarrow x = \pm \frac{A}{2} = \pm 2{\rm{\;cm}};{W_t} = \frac{W}{4} \Rightarrow {W_d} = \frac{{3W}}{4} = \frac{{3.0{,}032}}{4} = 0{,}024{\rm{\;J}}$

$\; \Rightarrow v = \pm \sqrt {\frac{{2{W_d}}}{m}} = \pm \sqrt {\frac{{2 \cdot 0{,}024}}{{0{,}1}}} = \pm \frac{{2\sqrt 3 }}{5}{\rm{\;m}}/{\rm{s}}.$

Khi $x = 0{,}02\sqrt 2 {\rm{\;m}}$, ta có thế năng:

${W_t} = \frac{1}{2}m{\omega ^2}{x^2} = \frac{1}{2} \cdot 0{,}1{(20)^2}{(0{,}02\sqrt 2 )^2} = 0{,}016{\rm{\;J}}.$

Động năng ${W_d} = W - {W_t} = 0{,}032 - 0{,}016 = 0{,}016{\rm{\;J}}$.

Vận tốc của vật khi đó: $v=\pm \sqrt{\frac{2{W}_{\text{đ}}}{m}}=\pm \sqrt{\frac{2\cdot 0{,}016}{0{,}1}}=\pm \frac{2\sqrt{2}}{5}\text{m}/\text{s}$.

Khi lực đàn hồi của lò xo tác dụng lên giá treo đạt cực đại thì độ biến dạng của lò xo là: ${\rm{\Delta }}{l_{{\rm{max}}}} = \left( {{\rm{\Delta }}{l_0} + {\rm{A}}} \right)$

$\Rightarrow$ Lực đàn hồi cực đại ${F_{{\rm{max}}}} = k\left( {{\rm{\Delta }}{l_0} + A} \right) = 40\left( {2{,}5 + 4} \right) \cdot {10^{ - 2}} = 2{,}6{\rm{\;N}}$.

Lò xo có chiều dài cực đại: ${l_{{\rm{max}}}} = \left( {{l_0} + {\rm{\Delta }}{l_0} + {\rm{A}}} \right) = 50 + 2{,}5 + 4 = 56{,}5{\rm{\;cm}}$.

Vì $A > {\rm{\Delta }}l$, nên trong quá trình dao động có lúc vật qua vị trí lò xo không biến dạng, khi đó: ${\rm{\Delta }}{l_{{\rm{min}}}} = 0 \Rightarrow$ Lực đàn hồi cực tiểu ${F_{{\rm{min}}}} = 0$. Khi đó, lò xo có chiều dài tự nhiên: ${l_0} = 50{\rm{\;cm}}$.

Chọn trục toạ độ Ox như Hình 5.2G.

Tần số góc của dao động: $\omega = \sqrt {\frac{{\rm{k}}}{{\rm{m}}}} = \sqrt {\frac{{270}}{{83}}} \approx 1{,}8{\rm{rad}}/{\rm{s}}$

Lực phục hồi khi dây đàn hồi dãn 5 m so với độ dài tự nhiên là:

${\rm{F}} = {\rm{k}}\left( {{\rm{\Delta }}{l_0} + {\rm{x}}} \right) - {\rm{mg}}$$= 270 \cdot 5 - 83 \cdot 9{,}8 = 537{\rm{\;N}}$.

$\Rightarrow {\rm{x}} = \frac{{\rm{F}}}{{\rm{k}}} = \frac{{537}}{{270}} = 1{,}99{\rm{\;m}}$.

Do đó, $v = 0 \Rightarrow x = A$, nên $A = 1{,}99{\rm{\;m}}$

$\Rightarrow {x_{\left( t \right)}} = A{\rm{cos}}\left( {\omega t} \right) = 1{,}99{\rm{cos}}\left( {1{,}8t} \right)\left( m \right)$.

${v_{\left( t \right)}} = - A\omega {\rm{sin}}\left( {\omega t} \right) = - 3{,}58{\rm{cos}}\left( {1{,}8t} \right)\left( {{\rm{m/s}}} \right)$.

Vậy khi $t = 2{\rm{\;s}}$ thì $x = - 1{,}78{\rm{\;m}}$ và $v = 1{,}58{\rm{\;m/s}}$.