Giải SBT Toán học 11 CTST Bài 4: Phương trình, bất phương trình mũ và lôgarit có đáp án

a) 3$^{2x + 1}$ = 3$^{– 3}$

⇔ 2x + 1= –3 (do 3 > 1)

⇔ x = – 2.

Vậy phương trình có nghiệm là x = 2.

b) 5$^{2x}$=10

⇔ 2x = log$_{5}$10

$\Leftrightarrow x=\frac{1}{2}{\log }_{5}10$

Vậy phương trình có nghiệm là $x=\frac{1}{2}{\log }_{5}10$

c) 3$^{x}$ = 18 ⇔ x = log$_{3}$18

Vậy phương trình có nghiệm là x = log$_{3}$18.

d) $0,{2}^{x-1}=\frac{1}{\sqrt{125}}$

$\Leftrightarrow {5}^{1-x}={5}^{-\frac{3}{2}}$

$\Leftrightarrow 1-x=\frac{-3}{2}$(do 5 > 1)

$\Leftrightarrow x=\frac{5}{2}$

Vậy phương trình có nghiệm là $x=\frac{5}{2}$

e) 5$^{3x}$ = 25$^{x–2}$

⇔ 5$^{3x}$ = 5$^{2x–4}$

⇔ 3x = 2x – 4 (do 5 > 1)

⇔ x = – 4.

Vậy phương trình có nghiệm là x = – 4.

g) ${(\frac{1}{8})}^{x+1}={(\frac{1}{32})}^{x-1}$

$\Leftrightarrow {({2}^{-3})}^{x+1}={({2}^{-5})}^{x-1}$

$\Leftrightarrow {2}^{-3(x+1)}={2}^{-5x+5}$

⇔ –3x – 3 = –5x + 5 (do 2 > 1)

⇔ 2x = 8 ⇔ x = 4.

Vậy phương trình có nghiệm là x = 4.

a) Điều kiện: 2x – 1 > 0 $\Leftrightarrow x>\frac{1}{2}$

Ta có: ${\log }_{3}(2x-1)=3$

$\Leftrightarrow 2x-1={3}^{3}=27$

$\Leftrightarrow x=14$ (nhận)

Vậy tập nghiệm của phương trình là: S = {14}.

b) Điều kiện: $x>0$

Ta có: ${\log }_{49}x=0{,}25$

$\Leftrightarrow {\log }_{{7}^{2}}x=\frac{1}{4}$

$\Leftrightarrow \frac{1}{2}{\log }_{7}x=\frac{1}{4}$

$\Leftrightarrow {\log }_{7}x=\frac{1}{2}$

$\Leftrightarrow x=\sqrt{7}$ (nhận)

Vậy tập nghiệm của phương trình là: $S=\{\sqrt{7}\}$

c) Điều kiện: $\{\begin{matrix}x>0 \\ {\log }_{81}x>0\end{matrix}\Rightarrow \{\begin{matrix}x>0 \\ x>{81}^{0}=1\end{matrix}\Rightarrow x>1$

Ta có: ${\log }_{2}(3x+1)={\log }_{2}(2x-4)$

⇔ 3x + 1 = 2x – 4 (do 2 >1)

⇔ x = – 5 (loại).

Vậy phương trình đã cho vô nghiệm.

d) Điều kiện: $\{\begin{matrix}x-1>0 \\ x-3>0 \\ 2x+10>0\end{matrix}\Rightarrow \{\begin{matrix}x>-1 \\ x>3 \\ x>-5\end{matrix}\Rightarrow x>3$

Ta có: ${\log }_{5}(x-1)+{\log }_{5}(x-3)={\log }_{5}(2x+10)$

$\Leftrightarrow {\log }_{5}[(x-1)(x-3)]={\log }_{5}(2x+10)$

$\Leftrightarrow {\log }_{5}({x}^{2}-4x+3)={\log }_{5}(2x+10)$

x$^{2}$– 4x + 3 = 2x + 10(do 2 >1)

x$^{2}$ – 6x – 7 = 0.

x = 7 (nhận) hoặc x = –1 (loại)

Kết hợp điều kiện, vậy tập nghiệm của phương trình là: S = {7}.

e) Điều kiện: $\{\begin{matrix}x>0 \\ x-3>0\end{matrix}\Rightarrow \{\begin{matrix}x>0 \\ x>3\end{matrix}\Rightarrow x>3$

Ta có: log x + log (x – 3) = 1

⇔ log [x(x – 3)] = 1

⇔ log (x$^{2}$ – 3x)=1

⇔ x$^{2}$ – 3x – 10 = 0 (do 10 >1)

⇔ x = 5 (nhận) hoặc x = –2 (loại)

Kết hợp điều kiện, vậy tập nghiệm của phương trình là: S = {5}.

g) Điều kiện: $\{\begin{matrix}x>0 \\ {\log }_{81}x>0\end{matrix}\Rightarrow \{\begin{matrix}x>0 \\ x>{81}^{0}=1\end{matrix}\Rightarrow x>1$

Ta có: ${\log }_{2}({\log }_{81}x)=-2$

$\Leftrightarrow {\log }_{81}x={2}^{-2}\Leftrightarrow x={81}^{{2}^{-2}}=3$ (nhận)

Kết hợp điều kiện, vậy tập nghiệm của phương trình là: S = {3}.

a) Ta có: ${4}^{x}<2\sqrt{2}$

$\Leftrightarrow {2}^{2x}<2\sqrt{2}$ $\Leftrightarrow 2x<{\log }_{2}2\sqrt{2}$

$\Leftrightarrow 2x<\frac{3}{2}$

$\Leftrightarrow x<\frac{3}{4}$

Vậy tập nghiệm của bất phương trình là: $S=(-\infty ;\frac{3}{4})$

b) Ta có: ${(\frac{1}{\sqrt{3}})}^{x-1}\ge \frac{1}{9}$

$\Leftrightarrow {3}^{-\frac{1}{2}(x-1)}\ge {3}^{-2}$

$\Leftrightarrow -\frac{1}{2}(x-1)\ge -2$ (do 3 > 1)

$\Leftrightarrow x\le 5$

Vậy tập nghiệm của bất phương trình là: $S=(-\infty ;5]$

c) $5\ .\ {(\frac{1}{2})}^{x}<40$

$\Leftrightarrow {2}^{-x}<8$

$\Leftrightarrow {2}^{-x}<{2}^{3}$

$\Leftrightarrow x>-3$

Vậy tập nghiệm của bất phương trình là: $S=(-3;\ +\ \infty )$.

d) 4$^{2x}$ < 8$^{x – 1}$

⇔ 2$^{4x}$< 2$^{3x – 3}$

⇔ 4x < 3x – 3 (do 2 > 1)

⇔ x < – 3.

Vậy tập nghiệm của bất phương trình là: $S=(-\infty ;\ -3)$

e) ${(\frac{1}{5})}^{2-x}\le {(\frac{1}{25})}^{x}$

$\Leftrightarrow {5}^{x-2}\le {5}^{-2x}$

$\Leftrightarrow x-2\le -2x$ (do 5 >1)

$\Leftrightarrow 3x\le 2$$\Leftrightarrow x\le \frac{2}{3}$

Vậy tập nghiệm của bất phương trình là: $S=(-\infty ;\ \frac{2}{3}]$.

g) 0,25$^{x – 2}$ > 0,5$^{x + 1}$

⇔ 0,5$^{2(x - 2)}$> 0,5$^{x + 1}$

⇔ 2(x –2) < x +1 (do 0 < 0,5 < 1)

⇔ x < 5.

Vậy tập nghiệm của bất phương trình là: $S=(-\infty ;\ 5)$

a) Điều kiện: x > –4

Ta có: ${\log }_{3}(x+4)<2$ ⇔ x + 4 < 9 ⇔ x < 5

Kết hợp điều kiện, vậy tập nghiệm của bất phương trình là: S = (–4; 5).

b) Điều kiện: x > 0

Ta có: ${\log }_{\frac{1}{2}}x\ge 4$$\Leftrightarrow x\le {(\frac{1}{2})}^{4}\Leftrightarrow x\le \frac{1}{16}$

Kết hợp điều kiện, vậy tập nghiệm của bất phương trình là: $S=(0;\frac{1}{16}]$ ;

c) Điều kiện: x > 1

Ta có: ${\log }_{0{,}25}(x-1)\le -1$

$\Leftrightarrow x-1\ge {(0{,}25)}^{-1}$(do 0 < 0, 5 < 1)

$\Leftrightarrow x-1\ge 4$

$\Leftrightarrow x\ge 5$

Kết hợp điều kiện, vậy tập nghiệm của bất phương trình là: $S=[5;\ +\ \infty )$

d) Điều kiện: ${x}^{2}-24x>0\Leftrightarrow [\begin{matrix}x<0 \\ x>24\end{matrix}$

Ta có: ${\log }_{5}({x}^{2}-24x)\ge 2$

$\Leftrightarrow {x}^{2}-24x\ge 25$

$\Leftrightarrow {x}^{2}-24x-25\ge 0$ (Do 5 > 1)

$\Leftrightarrow [\begin{matrix}x\le -1 \\ x\ge 25\end{matrix}$

Kết hợp điều kiện, vậy tập nghiệm của bất phương trình là: $S=(-\infty ;-1]\cup [25;+\infty )$

e) Điều kiện: $\{\begin{matrix}x+1>0 \\ 3x+7>0\end{matrix}\Rightarrow \{\begin{matrix}x>-1 \\ x>\frac{-7}{3}\end{matrix}\Rightarrow x>-1$

Ta có: $2{\log }_{\frac{1}{4}}(x+1)\ge {\log }_{\frac{1}{4}}(3x+7)$

$\Leftrightarrow {\log }_{\frac{1}{4}}{(x+1)}^{2}\ge {\log }_{\frac{1}{4}}(3x+7)$

$\Leftrightarrow {x}^{2}+2x+1\le 3x+7$

(do cơ số $0<\frac{1}{2}<1$ )

$\Leftrightarrow {x}^{2}-x-6\le 0$$\Leftrightarrow -2\le x\le 3$

Kết hợp điều kiện, vậy tập nghiệm của phương trình là: S = (−1; 3].

g) Điều kiện: $\{\begin{matrix}x+1>0 \\ x+7>0\end{matrix}\Rightarrow \{\begin{matrix}x>-1 \\ x>-7\end{matrix}\Rightarrow x>-1$

Ta có: $2{\log }_{3}(x+1)\le 1+{\log }_{3}(x+7)$

$\Leftrightarrow {\log }_{3}{(x+1)}^{2}\le {\log }_{3}3+{\log }_{3}(x+7)$

$\Leftrightarrow {\log }_{3}{(x+1)}^{2}\le {\log }_{3}(3(x+7))$

$\Leftrightarrow {(x+1)}^{2}\le 3x+21$ (do cơ số $2>1$ )

$\Leftrightarrow {(x+1)}^{2}\le 3x+21$

$\Leftrightarrow {x}^{2}+2x+1\le 3x+21$

$\Leftrightarrow {x}^{2}-x-20\le 0$

$\Leftrightarrow -4\le x\le 5$

Kết hợp điều kiện, vậy tập nghiệm của phương trình là: S = (–1; 5].

a) 4$^{x}$ – 5.2$^{x}$+ 4 = 0;

Đặt t = 2$^{x}$(t > 0).

Khi đó: t$^{2}$– 5t + 4 = 0 $\Leftrightarrow [\begin{matrix}t=4 \\ t=1\end{matrix}$

$\Rightarrow [\begin{matrix}{2}^{x}=4 \\ {2}^{x}=1\ \end{matrix}$$\Leftrightarrow [\begin{matrix}x={\log }_{2}4=2 \\ x={\log }_{2}1=0\end{matrix}$

Kết hợp với điều kiện, vậy phương trình có nghiệm x = 0 hoặc x = 2.

b) ${(\frac{1}{9})}^{x}-2.{(\frac{1}{3})}^{x-1}-27=0$

$\Leftrightarrow {(\frac{1}{3})}^{2x}-2{(\frac{1}{3})}^{x}{(\frac{1}{3})}^{-1}-27=0$

$\Leftrightarrow {(\frac{1}{3})}^{2x}-6{(\frac{1}{3})}^{x}-27=0$

Đặt $t={(\frac{1}{3})}^{x}$ (t > 0).

Khi đó, ta có: ${t}^{2}-6t+27=0$ ⇔ t = 9 (nhận) hoặc t = –3 (loại)

Do đó ${(\frac{1}{3})}^{x}=9$ ⇔ 3$^{–x}$ = 3$^{2}$ ⇔ x = –2.

Vậy nghiệm của phương trình là x = –2.

Từ giả thiết, nhận được 1 < log$_{3}$x < 2 hay 3 < x < 9.

Do đó, ta có các số nguyên cần tìm là 4; 5; 6; 7; 8.

a) $y=f(x)=\sqrt{4-{2}^{x}}+\frac{1}{\sqrt{{\log }_{2}x}}$

Điều kiện xác định:

$\{\begin{matrix}4-{2}^{x}\ge 0 \\ {\log }_{2}x>0\end{matrix}$$\Leftrightarrow \{\begin{matrix}{2}^{x}\le 4 \\ x>{2}^{0}\end{matrix}$$\Leftrightarrow \{\begin{matrix}x\le {\log }_{2}4 \\ x>1\end{matrix}\Leftrightarrow \{\begin{matrix}x\le 2 \\ x>1\end{matrix}$

Tập xác định: D = (1; 2].

b) $y=f(x)=\sqrt{{\log }_{\frac{1}{2}}(x-2)}$

Điều kiện xác định: $\{\begin{matrix}x-2>0 \\ {\log }_{\frac{1}{2}}(x-2)>0\end{matrix}\Leftrightarrow \{\begin{matrix}x>2 \\ x-2\le {(\frac{1}{2})}^{0}\end{matrix}$

$\Rightarrow \{\begin{matrix}x>2 \\ x\le 3\end{matrix}\Rightarrow 2<x\le 3$

Tập xác định: D = (2; 3].

Ta có $f(b)-f(a)={\log }_{2}b-{\log }_{2}a$$={\log }_{2}(\frac{b}{a})\ =5$

$\Leftrightarrow \frac{b}{a}={2}^{5}=32$

Vậy $\frac{b}{a}=32$

Ta có: 125$^{a}$. 25$^{b}$ = 3

⇔ 5$^{3a}$ . 5$^{2b}$ = 3

⇔ 5$^{3a+2b}$ = 3

⇔ 3a + 2b = log$_{5}$ 3.

Vậy giá trị của biểu thức P là log$_{5}$ 3.

Lượng Uranium - 235 còn lại bằng 90% so với ban đầu là 90 g.

Khi đó M = 90 g, ta có phương trình:

$90=100{(\frac{1}{2})}^{\frac{1}{T}}\$$\Leftrightarrow {(\frac{1}{2})}^{\frac{1}{T}}=0{,}9$ $\Leftrightarrow \frac{1}{T}={\log }_{\frac{1}{2}}0{,}9$$\Leftrightarrow t=T\ .\ {\log }_{\frac{1}{2}}0{,}9\approx 106\ 979\ 777$

(năm).

Vậy sau khoảng 106 979 777 năm thì lượng Uranium-235 còn lại bằng 90% so với ban đầu.

$6\ 000=9\ 000.\ {10}^{-2α}\Rightarrow α=-\frac{1}{2}\log \frac{6\ 000}{9\ 000}$$\Rightarrow α=-\frac{1}{2}\log \frac{\ 3}{2}$

Để số lượng vi khuẩn trong mỗi milit nước trong thùng ít hơn hoặc bằng 1 000, ta có: $9\ 000.\ {10}^{-αt}\le 1\ 000$

$\Leftrightarrow {10}^{-αt}\le \frac{1}{9}\Leftrightarrow -αt\le \log \frac{1}{9}$

$\Leftrightarrow t\ge -\frac{2}{α}\log \frac{1}{3}=\frac{2}{\frac{1}{2}\log \frac{3}{2}}.\log \frac{1}{3}$$=\frac{4\log 3}{\log \frac{3}{2}}\approx 10{,}8$ (giờ).

Vậy sau khoảng 10,8 giờ thì số lượng vi khuẩn trong mỗi mililit nước trong thùng ít hơn hoặc bằng 1 000.

Ta có: pH$_{A}$= – log x$_{A}$; pH$_{B}$ = – log x$_{B}$

Khi đó pH$_{A}$– pH$_{B}$= – logx$_{A}$ + logx$_{B}$ = $\log \frac{{x}_{B}}{{x}_{A}}$

Do đó $\log \frac{{x}_{B}}{{x}_{A}}=0{,}7\Rightarrow \frac{{x}_{B}}{{x}_{A}}\approx {10}^{0{,}7}\approx 5$ (lần)

Vậy dung dịch B có nồng độ ion H$^{+}$ gấp 5 lần nồng độ ion H$^{+}$ của dung dịch A.