Giải SBT Toán học 11 CTST Bài 1: Phép tính lũy thừa có đáp án

a) ${(\frac{1}{\sqrt[3]{5}})}^{0}=1$

b) ${(\frac{2}{5})}^{-2}={(\frac{5}{2})}^{2}=\frac{{5}^{2}}{{2}^{2}}=\frac{25}{4}$

c) ${(-\frac{1}{3})}^{-\ 4}=\frac{1}{{(\frac{1}{3})}^{4}}=\frac{1}{\frac{1}{81}}=81$

d) (−55)$^{0}$ = 1.

e) ${2}^{-8}.\ {2}^{5}={2}^{-8+5}={2}^{-3}={(\frac{1}{2})}^{3}=\frac{1}{{2}^{3}}=\frac{1}{8}$

g) $\frac{{3}^{4}}{{({3}^{-2})}^{-3}}=\frac{{3}^{4}}{{{3}^{(-2)}}^{.(-3)}}=\frac{{3}^{4}}{{3}^{6}}$$={3}^{4-6}={3}^{-2}=\frac{1}{{3}^{2}}=\frac{1}{9}$

a) $\sqrt[3]{0{,}001}=\sqrt[3]{{(0{,}1)}^{3}}=0{,}1$ .

b) $\sqrt[5]{-32}=\sqrt[5]{(-1).32}=\sqrt[5]{{(-1)}^{5}{.2}^{5}}$

$=\sqrt[5]{{(-1)}^{5}}\ .\ \sqrt[5]{{2}^{5}}=(-1)\ .\ 2=-2$

c) $\sqrt[4]{\frac{81}{16}}=\sqrt[4]{\frac{{3}^{4}}{{2}^{4}}}=\sqrt[4]{{(\frac{3}{2})}^{4}}=\frac{3}{2}$

d) $-\sqrt[6]{{100}^{3}}=-\sqrt[6]{{({10}^{2})}^{3}}=-\sqrt[6]{{10}^{6}}=-10$

e) $\sqrt[4]{{(\sqrt{3}-2)}^{4}}=|\sqrt{3}-2|=2-\sqrt{3}$

g) $\sqrt[5]{{(2-\sqrt{5})}^{5}}=2-\sqrt{5}$

a) $\sqrt[4]{125}.\sqrt[4]{5}=\sqrt[4]{125.5}=\sqrt[4]{{5}^{3}.5}=\sqrt[4]{{5}^{4}}=5$ .

b) $\frac{\sqrt[4]{243}}{\sqrt[4]{3}}=\sqrt[4]{\frac{243}{3}}=\sqrt[4]{81}=\sqrt[4]{{3}^{4}}=3$ .

c) $\frac{\sqrt[3]{3}}{\sqrt[3]{24}}=\sqrt[3]{\frac{3}{24}}=\sqrt[3]{\frac{1}{8}}=\sqrt[3]{{(\frac{1}{2})}^{3}}=\frac{1}{2}$ .

d) $\sqrt{\sqrt[3]{64}}=\sqrt[6]{64}=\sqrt[6]{{2}^{6}}=2$ .

e) $\sqrt[4]{3\sqrt[3]{3}}=\sqrt[4]{{(\sqrt[3]{3})}^{3}.\sqrt[3]{3}}=\sqrt[4]{{(\sqrt[3]{3})}^{4}}=\sqrt[3]{3}$ .

g) ${(-\sqrt[6]{4})}^{3}={(-1)}^{3}.{(\sqrt[6]{4})}^{3}=-\sqrt[6]{{4}^{3}}$

$=-\sqrt[6]{{({2}^{2})}^{3}}=-\sqrt[6]{{2}^{6}}=-2$

a) $\sqrt[3]{135}-5\sqrt[3]{5}=\sqrt[3]{{3}^{3}\ .\ 5}-5\sqrt[3]{5}=\sqrt[3]{{3}^{3}}\ .\ \sqrt[3]{5}-5\sqrt[3]{5}$

$=3\sqrt[3]{5}-5\sqrt[3]{5}=-2\sqrt[3]{5}$

b) $\sqrt[4]{\sqrt[3]{81}}+3\sqrt[3]{3}=\sqrt[4]{\sqrt[3]{{3}^{4}}}+3\sqrt[3]{3}=\sqrt[3]{3}+3\sqrt[3]{3}=4\sqrt[3]{3}$

c) $\sqrt[4]{\sqrt[5]{16}}+\sqrt[5]{64}+2\sqrt[5]{2}=\sqrt[4]{\sqrt[5]{{2}^{4}}}+\sqrt[5]{{2}^{6}}+2\sqrt[5]{2}$

$=\sqrt[5]{2}+2\sqrt[5]{2}+2\sqrt[5]{2}=5\sqrt[5]{2}$

d) ${(\sqrt[4]{5})}^{5}-\sqrt{\sqrt[4]{25}}={(\sqrt[4]{5})}^{4}\ .\ \sqrt[4]{5}-\sqrt{\sqrt[4]{{5}^{2}}}$

$=5\sqrt[4]{5}-\sqrt[4]{5}=4\sqrt[4]{5}$

a) ${8}^{-\frac{2}{3}}={({2}^{3})}^{-\frac{2}{3}}={2}^{-2}=\frac{1}{{2}^{2}}=\frac{1}{4}$

b) ${32}^{-\frac{2}{5}}={(\frac{1}{32})}^{\frac{2}{5}}=\frac{1}{\sqrt[5]{{32}^{2}}}=\frac{1}{\sqrt[5]{{({2}^{5})}^{2}}}=\frac{1}{{2}^{2}}=\frac{1}{4}$

c) ${81}^{1{,}25}={81}^{\frac{5}{4}}=\sqrt[4]{{81}^{5}}=\sqrt[4]{{({3}^{4})}^{5}}={3}^{5}=243$

d) ${1000}^{-\frac{5}{3}}={(\frac{1}{1000})}^{\frac{5}{3}}=\frac{1}{\sqrt[3]{{1000}^{5}}}=\frac{1}{\sqrt[3]{{({10}^{3})}^{5}}}=\frac{1}{{10}^{5}}={10}^{-5}$

e) ${(\frac{16}{81})}^{-\frac{1}{4}}={(\frac{81}{16})}^{\frac{1}{4}}=\sqrt[4]{\frac{81}{16}}=\sqrt[4]{\frac{{3}^{4}}{{2}^{4}}}=\sqrt[4]{{(\frac{3}{2})}^{4}}=\frac{3}{2}$

g) ${(\frac{8}{27})}^{-\frac{2}{3}}={(\frac{27}{8})}^{\frac{2}{3}}=\sqrt[3]{{(\frac{27}{8})}^{2}}$

$=\sqrt[3]{{[{(\frac{3}{2})}^{3}]}^{2}}={(\frac{3}{2})}^{2}=\frac{9}{4}$

a) $\sqrt[4]{{2}^{-3}}=\sqrt[4]{{(\frac{1}{2})}^{3}}={(\frac{1}{2})}^{\frac{3}{4}}={2}^{-\frac{3}{4}}$

b) $\frac{1}{\sqrt[5]{{2}^{3}}}=\frac{1}{{2}^{\frac{3}{5}}}={(\frac{1}{2})}^{\frac{3}{5}}={2}^{-\frac{3}{5}}$

c) ${(\sqrt[5]{3})}^{4}=\sqrt[5]{{3}^{4}}={3}^{\frac{4}{5}}$

d) $\sqrt{a\sqrt[3]{a}}=\sqrt{{(\sqrt[3]{a})}^{3}.\sqrt[3]{a}}=\sqrt{{(\sqrt[3]{a})}^{4}}=\sqrt{\sqrt[3]{{a}^{4}}}=\sqrt[3]{{a}^{2}}={a}^{\frac{2}{3}}$

e) $\sqrt[3]{a}\ .\ \sqrt[4]{{a}^{3}}:{(\sqrt[6]{a})}^{5}={a}^{\frac{1}{3}}\ .\ {a}^{\frac{3}{4}}:{a}^{\frac{5}{6}}={a}^{\frac{1}{3}+\frac{3}{4}-\frac{5}{6}}={a}^{\frac{1}{4}}$

g) ${a}^{\frac{1}{3}}:{a}^{-\frac{3}{2}}.\ {a}^{-\frac{2}{3}}={a}^{\frac{1}{3}\ -\ (-\ \frac{3}{2})+(-\ \frac{2}{3})}={a}^{\frac{1}{3}\ +\ \frac{3}{2}\ -\ \frac{2}{3}}={a}^{\frac{7}{6}}$

a) Nhập máy tính:

Ta được kết quả như sau:

Làm tròn kết quả đến số thập phân thứ tư là 2,9542.

b) Nhập máy tính:

Ta được kết quả như sau:

Làm tròn kết quả đến số thập phân thứ tư là 0,2236.

c) Nhập máy tính:

Ta được kết quả như sau:

Làm tròn kết quả đến số thập phân thứ tư là 65,1778.

d) Nhập máy tính:

Ta được kết quả như sau:

Làm tròn kết quả đến số thập phân thứ tư là 6,6889.

a) ${2}^{\sqrt{3}+1}:{2}^{\sqrt{3}-1}={2}^{\sqrt{3}+1-(\sqrt{3}-1)}={2}^{2}=4$

b) ${({3}^{\sqrt{2}})}^{\sqrt{8}}={3}^{\sqrt{2}.\sqrt{8}}={3}^{\sqrt{2.8}}={3}^{\sqrt{16}}={3}^{4}=81$

c) ${[{(\sqrt{7})}^{\sqrt{2}}]}^{\sqrt{8}}={(\sqrt{7})}^{\sqrt{2}.\sqrt{8}}={(\sqrt{7})}^{\sqrt{2.8}}$

$={(\sqrt{7})}^{\sqrt{16}}={(\sqrt{7})}^{4}={7}^{2}=49$

d) ${a}^{2\sqrt{5}+1}:{a}^{2\sqrt{5}-2}={a}^{2\sqrt{5}+1-(2\sqrt{5}-2)}={a}^{3}$

e) ${3}^{3+\sqrt{2}}.\ {3}^{-1+\sqrt{2}}.\ {9}^{1-\sqrt{2}}={3}^{3+\sqrt{2}}.\ {3}^{-1+\sqrt{2}}.\ {({3}^{2})}^{1-\sqrt{2}}$

$={3}^{3+\sqrt{2}}{.3}^{-1+\sqrt{2}}{.3}^{2.(1-\sqrt{2})}$$={3}^{3+\sqrt{2}+(-1+\sqrt{2})+2\ .\ (1-\sqrt{2})}={3}^{4}=81$

g) ${({a}^{-\sqrt{3}}{b}^{\frac{1}{\sqrt{3}}})}^{\frac{1}{\sqrt{3}}}={({a}^{-\sqrt{3}})}^{\frac{1}{\sqrt{3}}}.\ {({b}^{\frac{1}{\sqrt{3}}})}^{\frac{1}{\sqrt{3}}}$

$={a}^{-\sqrt{3}.\frac{1}{\sqrt{3}}}.\ {b}^{\frac{1}{\sqrt{3}}.\frac{1}{\sqrt{3}}}={a}^{-1}.\ {b}^{\frac{1}{3}}=\frac{\sqrt[3]{b}}{a}$

a) $({a}^{\frac{1}{2}}+{b}^{-\frac{1}{2}})({a}^{\frac{1}{2}}-{b}^{-\frac{1}{2}})={({a}^{\frac{1}{2}})}^{2}-{({b}^{-\frac{1}{2}})}^{2}$

$={a}^{\frac{1}{2}.2}-{b}^{-\frac{1}{2}.2}$$=a-{b}^{-1}$$=a-\frac{1}{b}$

b) $({a}^{\frac{1}{3}}+{b}^{\frac{1}{3}})({a}^{\frac{2}{3}}-{a}^{\frac{1}{3}}{b}^{\frac{1}{3}}+{b}^{\frac{2}{3}})={({a}^{\frac{1}{3}})}^{3}+{({b}^{\frac{1}{3}})}^{3}$

$={a}^{\frac{1}{3}\cdot \ 3}+{b}^{\frac{1}{3}\cdot \ 3}$$=a+b$

$\frac{{5}^{3x}+{5}^{-3x}}{{5}^{x}+{5}^{-x}}$$=\frac{({5}^{x}+{5}^{-x})({5}^{2x}-{5}^{x}{5}^{-x}+{5}^{-2x})}{{5}^{x}+{5}^{-x}}$

$={5}^{2x}-1+{5}^{-2x}$$=3-1+\frac{1}{3}=\frac{7}{3}$

a) ${({3}^{\frac{α}{2}}+{3}^{\frac{-α}{2}})}^{2}$$={3}^{α}+2\ .\ {3}^{\frac{α}{2}}\ .\ {3}^{-\frac{α}{2}}+{3}^{-α}$

= 3$^{α}$ + 2 + 3$^{–α}$ = 3 + 2 = 5

Suy ra ${3}^{\frac{α}{2}}+{3}^{\frac{-α}{2}}=\sqrt{5}$ (do ${3}^{\frac{α}{2}}+{3}^{\frac{-α}{2}}>0$ ).

b) ${3}^{2α}+{3}^{-2α}={({3}^{α}+{3}^{-α})}^{2}-2\ .\ {3}^{α}\ .\ {3}^{-α}$

$={3}^{2}-2=7$

Ta có: 4$^{x}$ = 25$^{y}$ = 10 nên $4={10}^{\frac{1}{x}}$ ; $25={10}^{\frac{1}{y}}$ .

Từ đó, ${10}^{\frac{1}{x}+\frac{1}{y}}={10}^{\frac{1}{x}}\ .\ {10}^{\frac{1}{y}}=4\ .\ 25=100={10}^{2}$ .

Do đó $\frac{1}{x}+\frac{1}{y}=2$ .

a) Gọi cường độ ánh sáng tại độ sâu 1 m là I$_{1}$. Cường độ ánh sáng tại độ sâu 1 m dưới một mặt hồ được tính bằng công thức:

$\frac{{I}_{1}}{{I}_{0}}={(\frac{1}{2})}^{\frac{1}{4}}\approx 0{,}84=84\%$

Vậy cường độ ánh sáng tại độ sâu 1 m bằng 84% so với cường độ ánh sáng tại mặt hồ.

b) Tỉ số cường độ ánh sáng tại độ sâu 3 m so với cường độ ánh sáng tại độ sâu 6 m là:

$\frac{{I}_{3}}{{I}_{6}}={(\frac{1}{2})}^{\frac{3}{4}-\frac{6}{4}}={(\frac{1}{2})}^{-\frac{3}{4}}\approx 1{,}68$(lần)

Vậy cường độ ánh sáng tại độ sâu 3 m gấp khoảng 1,68 lần cường độ ánh sáng tại độ sâu 6 m.