Giải SBT Toán 9 KNTT Bài 20. Định lý Viète và ứng dụng có đáp án

a) u + v = 17 nên u = 17 – v.

Cặp số cần tìm là hai nghiệm của phương trình

x$^{2}$ – (u + v)x + uv = 0 hay x$^{2}$ – 17x + 72 = 0.

Xét phương trình trên ta có:

A = 1, b = –17, c = 72.

∆ = (–17)$^{2}$ – 4 . 1 . 72 = 1 > 0 nên phương trình có hai nghiệm phân biệt:

${x}_{1}=\frac{-b+\sqrt{Δ}}{2a}=\frac{-(-17)+\sqrt{1}}{2.1}=9$

${x}_{2}=\frac{-b-\sqrt{Δ}}{2a}=\frac{-(-17)-\sqrt{1}}{2.1}=8$

Vậy hai số cần tìm là 9 và 8.

b) u$^{2}$ + v$^{2}$ = 73, uv = 24

Ta có: u$^{2}$ + v$^{2}$ + 2uv = 73 + 2 . 24 hay (u + v)$^{2}$ = 121

Suy ra u + v = 11 hoặc u + v = –11.

TH1: u + v = 11.

Cặp số cần tìm là hai nghiệm của phương trình

x$^{2}$ – (u + v)x + uv = 0 hay x$^{2}$ – 11x + 24 = 0.

Xét phương trình x$^{2}$ – 11x + 24 = 0 có: a = 1, b = –11, c = 24.

Vì ∆ = (–11)$^{2}$ – 4 . 1 . 24 = 25 > 0 nên phương trình có hai nghiệm phân biệt:

${x}_{1}=\frac{-b+\sqrt{Δ}}{2a}=\frac{-(-11)+\sqrt{25}}{2.1}=8$;

${x}_{2}=\frac{-b-\sqrt{Δ}}{2a}=\frac{-(-11)-\sqrt{25}}{2.1}=3$.

Vậy hai số cần tìm là 8 và 3.

TH2: u + v = –11.

Cặp số cần tìm là hai nghiệm của phương trình

x$^{2}$ – (u + v)x + uv = 0 hay x$^{2}$ + 11x + 24 = 0.

Xét phương trình x$^{2}$ + 11x + 24 = 0 có a = 1, b = 11, c = 24.

Vì ∆ = 11$^{2}$ – 4 . 1 . 24 = 25 > 0 nên phương trình có hai nghiệm phân biệt:

${x}_{1}=\frac{-b+\sqrt{Δ}}{2a}=\frac{-11+\sqrt{25}}{2.1}=-3$;

${x}_{2}=\frac{-b-\sqrt{Δ}}{2a}=\frac{-11-\sqrt{25}}{2.1}=-8$.

Vậy hai số cần tìm là –8 và –3.

a) Gọi x$_{1}$, x$_{2}$ là hai nghiệm của phương trình x$^{2}$ – 8x + 15 = 0, ta có:

${x}_{1}+{x}_{2}=-\frac{b}{a}=-\frac{-8}{1}=8$;

${x}_{1}{x}_{2}=\frac{c}{a}=\frac{15}{1}=15$.

Vậy hai nghiệm của phương trình đã cho là x = 3 và x = 5.

b) Gọi x$_{1}$, x$_{2}$ là hai nghiệm của phương trình x$^{2}$ + 5x + 6 = 0, ta có:

${x}_{1}+{x}_{2}=-\frac{b}{a}=-\frac{5}{1}=-5$;

${x}_{1}{x}_{2}=\frac{c}{a}=\frac{6}{1}=6$.

Vậy hai nghiệm của phương trình đã cho là x = –2 và x = –3.

a) x$^{2}$ – 4x + m – 2 = 0

Ta có: a = 1, b = –4, c = m – 2.

∆ = b$^{2}$ – 4ac = (–4)$^{2}$ – 4 . 1 . (m – 2) = 16 – 4m + 8 = 24 – 4m

Để phương trình có nghiệm thì ∆ ≥ 0 hay 24 – 4m ≥ 0.

Suy ra 24 ≥ 4m nên m ≤ 6.

Vậy phương trình có nghiệm khi m ≤ 6.

b) Theo định lý Viète, ta có:

${x}_{1}+{x}_{2}=-\frac{b}{a}=-\frac{-4}{1}=4$;

${x}_{1}{x}_{2}=\frac{c}{a}=\frac{m-2}{1}=m-2$.

Do đó: A = x$_{1}$$^{2}$+ x$_{2}$$^{2}$ = (x$_{1}$ + x$_{2}$)$^{2}$ – 2x$_{1}$x$_{2}$

= 4$^{2}$ – 2(m – 2) = 16 – 2m + 4 = 20 – 2m

B = x$_{1}$$^{3}$ + x$_{2}$$^{3}$ = (x$_{1}$ + x$_{2}$)$^{3}$ – 3x$_{1}$x$_{2}$(x$_{1}$ + x$_{2}$)

= 4$^{3}$ – 3 . 4 . (m – 2) = 64 – 12m + 24 = 88 – 12m.

Vậy A = 20 – 2m và B = 88 – 12m.

Xét phương trình x$^{2}$ + 4x + m = 0 có: a = 1, b = 4, c = m

∆ = b$^{2}$ – 4ac = 4$^{2}$– 4 . 1 . m = 16 – 4m

Phương trình có hai nghiệm khi ∆ > 0 hay 16 – 4m > 0, suy ra m < 4.

Gọi hai nghiệm của phương trình là x$_{1}$ và x$_{2}$. Theo định lý Viète ta có:

${x}_{1}+{x}_{2}=-\frac{b}{a}=-\frac{4}{1}=-4$;

${x}_{1}{x}_{2}=\frac{c}{a}=\frac{m}{1}=m$.

Ta có: (x$_{1}$ + x$_{2}$)$^{2}$ = (–4)$^{2}$

x$_{1}$$^{2}$ + x$_{2}$$^{2}$ + 2x$_{1}$x$_{2}$ = 16

10 + 2m = 16

2m = 6

m = 3 (thỏa mãn)

Vậy với m = 3 thì phương trình đã cho có hai nghiệm x$_{1}$, x$_{2}$ thoả mãn x$_{1}$$^{2}$ + x$_{2}$$^{2}$ = 10.

a) Gọi chiều rộng và chiều dài của mảnh vườn lần lượt là x (m) và y (m) (0 < x < y).

Bác Long có 48 mét lưới thép nên ta có:

2(x + y) = 48 hay x + y = 48 : 2 = 24 (m).

Diện tích mảnh vườn là 108 m$^{2}$ nên ta có xy = 108 (m$^{2}$)

Do đó x và y là nghiệm của phương trình x$^{2}$ – 24x + 108 = 0.

Xét phương trình x$^{2}$ – 24x + 108 = 0 có a = 1, b = –24, c = 108.

Vì ∆ = b$^{2}$ – 4ac = (–24)$^{2}$ – 4 . 1 . 108 = 144 > 0 nên phương trình có hai nghiệm phân biệt:

${x}_{1}=\frac{-b+\sqrt{Δ}}{2a}=\frac{-(-24)+\sqrt{144}}{2.1}=18$;

${x}_{2}=\frac{-b-\sqrt{Δ}}{2a}=\frac{-(-24)-\sqrt{144}}{2.1}=6$.

Vậy chiều rộng và chiều dài của mảnh vườn lần lượt là 6 m và 18 m.