Giải SBT Toán 9 KNTT Bài 1. Khái niệm phương trình và hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn có đáp án

a) Ta viết phương trình về dạng $y=\frac{4x-6}{2}$ hay y = 2x – 3.

Khi đó ta có:

⦁ Với x = –2 thì y = 2 . (–2) – 3 = –7.

⦁ Với x = –2 thì y = 2 . (–1) – 3 = –5.

⦁ Với x = 0 thì y = 2 . 0 – 3 = –3.

⦁ Với x = 1 thì y = 2 . 1 – 3 = –1.

⦁ Với x = 2 thì y = 2 . 2 – 3 = 1.

Điền các giá trị x, y tương ứng vào bảng, ta được bảng giá trị thỏa mãn:

b) Như phần a) ta đã biểu diễn y = 2x – 3. Với mỗi giá trị x, ta luôn tìm được một giá trị y tương ứng.

Vậy phương trình đã cho có vô số nghiệm.

a) Phương trình đã cho có dạng $y=\frac{3x-5}{2}$ hay y = 1,5x – 2,5.

Nghiệm tổng quát của phương trình đã cho là (x; 1,5x – 2,5) với x ∈ ℝ. Mỗi nghiệm này là tọa độ một điểm thuộc đường thẳng d: 3x – 2y = 5.

Ta có hai điểm A(0; –2,5) và $B(\frac{5}{3};0)$ nằm trên đường thẳng d: 3x – 2y = 5 nên hình biểu diễn tất cả các nghiệm của phương trình đã cho là một đường thẳng đi qua 2 điểm A và B như hình dưới đây:

b) Phương trình đã cho có dạng 2y = 4 hay y = 2.

Nghiệm tổng quát của phương trình đã cho là (x; 2) với x ∈ ℝ. Mỗi nghiệm này là tọa độ một điểm thuộc đường thẳng d: 0x + 2y = 4. Đường thẳng này song song với trục hoành và cắt trục tung tại điểm C(0; 2).

Ta có hình biểu diễn tất cả các nghiệm của phương trình đã cho như hình dưới đây:

c) Phương trình đã cho có dạng 2x = –3 hay x = –1,5.

Nghiệm tổng quát của phương trình đã cho là (–1,5; y) với y ∈ ℝ. Mỗi nghiệm này là tọa độ một điểm thuộc đường thẳng d: 2x + 0y = –3. Đường thẳng này song song với trục tung và cắt trục hoành tại điểm D(–1,5; 0).

Ta có hình biểu diễn tất cả các nghiệm của phương trình đã cho như hình dưới đây:

a) Vì (1; –2) là một nghiệm của phương trình đã cho nên ta có:

m . 1 + (–2) = –2 hay m – 2 = –2, suy ra m = –2 + 2 = 0.

Vậy với m = 0 thì cặp số (1; –2) là một nghiệm của phương trình đã cho.

b) Với m = 0, ta được:

0 . x + y = –2 hay y = –2.

Vậy phương trình có nghiệm tổng quát là (x; –2) với x ∈ ℝ tùy ý.

a) Theo đề bài, ta có phương trình bậc nhất hai ẩn đối với x và y biểu thị số tiền 25 nghìn đồng mà bác Hương trả lại cho người mua:

2x + 5y = 25

b) Phương trình trên còn được viết dưới dạng $y=\frac{25-2x}{5}$ hay y = 5 – 0,4x.

Xét các giá trị của x:

⦁ Với x = 1 thì y = 5 – 0,4 . 1 = 4,6 (loại).

⦁ Với x = 2 thì y = 5 – 0,4 . 2 = 4,2 (loại).

⦁ Với x = 3 thì y = 5 – 0,4 . 3 = 3,8 (loại).

⦁ Với x = 4 thì y = 5 – 0,4 . 4 = 3,4 (loại).

⦁ Với x = 5 thì y = 5 – 0,4 . 5 = 3 (chọn).

Vậy bác Hương có thể trả lại 25 nghìn đồng tiền thừa cho người mua bằng 5 tờ tiền 2 nghìn đồng và 3 tờ tiền 5 nghìn đồng.

Gọi x là số ống loại 3 m và y là số ống loại 5 m cần dùng (x, y ∈ ℕ).

Theo đề bài, ta có phương trình bậc nhất hai ẩn x và y như sau: 3x + 5y = 65.

Phương trình trên còn có thể biểu diễn dưới dạng $y=\frac{65-3x}{5}$ hay y = 13 – 0,6x.

Ta lập được bảng giá trị như sau:

Vậy có thể dùng hai phương án để lắp ống cho đoạn phố: Phương án thứ nhất là dùng 5 ống loại 3 m và 10 ống loại 5 m; phương án thứ hai là dùng 10 ống loại 3 m và 7 ống loại 5 m.

a) Thay lần lượt các cặp số đã cho vào phương trình (1) ta được:

⦁ Với x = –2, y = 2: –2 + 3 . 2 = 4 nên (–2; 2) là nghiệm của phương trình (1).

⦁ Với x = 1, y = 1: 1 + 3 . 1 = 4 nên (1; 1) là nghiệm của phương trình (1).

⦁ Với x = 4, y = 2: 4 + 3 . 1 = 7 ≠ 4 nên (4; 1) không là nghiệm của phương trình (1).

⦁ Với x = 8, y = –2: 8 + 3 . (–2) = 2 ≠ 4 nên (8; –2) không là nghiệm của phương trình (1).

Vậy các cặp số (–2; 2), (1; 1) là nghiệm của phương trình (1).

b) Để cặp số là nghiệm của hệ gồm hai phương trình (1) và (2), cặp số cần thỏa mãn vừa là nghiệm của phương trình (1) vừa là nghiệm của phương trình (2).

Xét hai cặp số là nghiệm của phương trình (1):

⦁ Với x = –2, y = 2: 2. (–2) – 5 . 2 = –14 ≠ –3 nên (–2; 2) là không nghiệm của phương trình (2).

⦁ Với x = 1, y = 1: 2. 1 – 5 . 1 = –3 nên (1; 1) là nghiệm của phương trình (2).

Vậy cặp số (1; 1) là nghiệm của hệ phương trình gồm (1) và (2).

⦁ Thay cặp số (1; –2) vào phương trình ax – 2y = 1, ta được:

a . 1 – 2 . (–2) = 1 hay a – (–4) = 1, suy ra a = 1 + –4 = –3.

⦁ Thay cặp số (1; –2) vào phương trình x + by = 3, ta được:

1 + b. (–2) = 3 hay 1 – 2b = 3, suy ra $b=\frac{1-3}{2}=-1$.

Vậy với a = –3 và b = –1 thì hai phương trình ax – 2y = 1 và x + by = 3 nhận cặp số (1; –2) làm nghiệm chung.

a) Phương trình 2x = –4 còn có thể viết dưới dạng x = –2. Nghiệm tổng quát của phương trình này là (–2; y) với y ∈ ℝ. Mỗi nghiệm này là tọa độ một điểm thuộc đường thẳng d: 2x = –4. Đường thẳng này song song với trục tung và cắt trục hoành tại điểm A(–2; 0).

Phương trình 3x – y = 5 còn có thể viết dưới dạng y = 3x – 5. Nghiệm tổng quát của phương trình này là (x; 3x – 5) với x ∈ ℝ. Mỗi nghiệm này là tọa độ một điểm thuộc đường thẳng d: 3x – y = 5. Ta có hai điểm B(0; –5) và $C(\frac{5}{3};0)$ nằm trên đường thẳng d: 3x – y = 5.

Nghiệm của hệ phương trình là giao điểm của hai đường thẳng ở trên. Ta thấy trên hình vẽ đó là điểm D(–2; –11).

b) Phương trình 2y = –3 còn có thể viết dưới dạng y = –1,5.

Nghiệm tổng quát của phương trình này là (x; –1,5) với x ∈ ℝ. Mỗi nghiệm này là tọa độ một điểm thuộc đường thẳng d: 2y = –3. Đường thẳng này song song với trục hoành và cắt trục tung tại điểm A(0; –1,5).

Phương trình x – 2y = 4 còn có thể viết dưới dạng x = 2y + 4.

Nghiệm tổng quát của phương trình này là (2y + 4; y) với y ∈ ℝ. Mỗi nghiệm này là tọa độ một điểm thuộc đường thẳng d: x – 2y = 4. Ta có hai điểm B(0; –2) và C(4; 0) nằm trên đường thẳng d: x – 2y = 4.

Nghiệm của hệ phương trình là giao điểm của hai đường thẳng ở trên. Ta thấy trên hình vẽ đó là điểm D(1; –1,5).