Giải SBT Toán 9 CTST Bài 3. Tính chất của phép khai phương

a) $\sqrt{5}\cdot \sqrt{11}=\sqrt{5\cdot 11}=\sqrt{55}.$

b) $\sqrt{\frac{10}{3}}\cdot \sqrt{\frac{3}{5}}=\sqrt{\frac{10}{3}\cdot \frac{3}{5}}=\sqrt{2}.$

c) $\sqrt{3}\cdot \sqrt{5}\cdot \sqrt{6}=\sqrt{3\cdot 5\cdot 6}=\sqrt{90}.$

d) $\sqrt{\frac{6}{7}}\cdot \sqrt{2{,}8}=\sqrt{\frac{6}{7}}\cdot \sqrt{\frac{14}{5}}=\sqrt{\frac{6}{7}\cdot \frac{14}{5}}=\sqrt{\frac{12}{5}}=\sqrt{2{,}4}$

a) $\sqrt{3\cdot {8}^{2}}=|8|\sqrt{3}=8\sqrt{3}.$

b) $\sqrt{150}=\sqrt{{5}^{2}\cdot 6}=|5|\sqrt{6}=5\sqrt{6}.$

c) $\sqrt{1\ 000}=\sqrt{{10}^{2}\cdot 10}=|10|\sqrt{10}=10\sqrt{10}.$

d) $\sqrt{{2}^{2}\cdot {5}^{4}\cdot 7}=\sqrt{{2}^{2}\cdot {({5}^{2})}^{2}\cdot 7}=\sqrt{(2\cdot {5}^{2})\cdot 7}=|2\cdot {5}^{2}|\sqrt{7}=2\cdot {5}^{2}\sqrt{7}=50\sqrt{7}.$

a) $6\sqrt{5}=\sqrt{{6}^{2}\cdot 5}=\sqrt{36\cdot 5}=\sqrt{180}.$

b) $-8\sqrt{10}=-\sqrt{{8}^{2}\cdot 10}=-\sqrt{64\cdot 10}=-\sqrt{640}.$

c) $5\sqrt{\frac{2}{5}}=\sqrt{{5}^{2}\cdot \frac{2}{5}}=\sqrt{10}.$

d) Với a ≥ 0; b > 0, ta có:

a) $\sqrt{\frac{16}{121}}=\sqrt{\frac{{4}^{2}}{{11}^{2}}}=\frac{\sqrt{{4}^{2}}}{\sqrt{{11}^{2}}}=\frac{4}{11}.$

b) $\sqrt{4\frac{21}{25}}=\sqrt{\frac{121}{25}}=\sqrt{\frac{{11}^{2}}{{5}^{2}}}=\frac{\sqrt{{11}^{2}}}{\sqrt{{5}^{2}}}=\frac{11}{5}.$

c) $\sqrt{\frac{6{,}4}{8{,}1}}=\sqrt{\frac{6{,}4\cdot 10}{8{,}1\cdot 10}}=\sqrt{\frac{64}{81}}=\sqrt{\frac{{8}^{2}}{{9}^{2}}}=\frac{\sqrt{{8}^{2}}}{\sqrt{{9}^{2}}}=\frac{8}{9}.$

d)$\sqrt{\frac{300}{27}}=\sqrt{\frac{100\cdot 3}{9\cdot 3}}=\sqrt{\frac{100}{9}}=\sqrt{\frac{{10}^{2}}{{3}^{2}}}=\frac{\sqrt{{10}^{2}}}{\sqrt{{3}^{2}}}=\frac{10}{3}.$

e) $\frac{\sqrt{6}}{\sqrt{150}}=\sqrt{\frac{6}{150}}=\sqrt{\frac{6}{25\cdot 6}}=\sqrt{\frac{1}{25}}=\sqrt{{(\frac{1}{5})}^{2}}=\frac{1}{5}$

g) $\sqrt{\frac{3}{2}}:\sqrt{\frac{1}{24}}=\sqrt{\frac{3}{2}:\frac{1}{24}}=\sqrt{\frac{3}{2}\cdot 24}=\sqrt{36}=\sqrt{{6}^{2}}=6.$

a) $\sqrt{{74}^{2}-{70}^{2}}=\sqrt{(74+70)(74-70)}$

$=\sqrt{144\cdot 4}=\sqrt{144}\cdot \sqrt{4}=\sqrt{{12}^{2}}\cdot \sqrt{{2}^{2}}=12\cdot 2=24.$

b) $\begin{matrix}\sqrt{{(62{,}5)}^{2}-{(58{,}5)}^{2}}+(\sqrt{11}-2\sqrt{5})(2\sqrt{5}+\sqrt{11}) \\ =\sqrt{(62{,}5+58{,}5)(62{,}5-58{,}5)}+{(\sqrt{11})}^{2}-{(2\sqrt{5})}^{2} \\ =\sqrt{121\cdot 4}+11-{2}^{2}\cdot {(\sqrt{5})}^{2} \\ =\sqrt{{11}^{2}}\cdot \sqrt{{2}^{2}}+11-4\cdot 5\end{matrix}$

= 11.2 + 11 ‒ 20 = 13.

a) $\sqrt{24}:\sqrt{2}\cdot \sqrt{3}=\sqrt{24:2\cdot 3}=\sqrt{12\cdot 3}=\sqrt{36}=\sqrt{{6}^{2}}=6.$

b) $\sqrt{27}\cdot \sqrt{50}:\sqrt{6}=\sqrt{27\cdot 50:6}=\sqrt{1\ 350:6}=\sqrt{225}=\sqrt{{15}^{2}}=15.$

c) $\sqrt{32}:\frac{2\sqrt{2}}{\sqrt{5}}:(-\sqrt{45})=\sqrt{{4}^{2}\cdot 2}\cdot \frac{\sqrt{5}}{2\sqrt{2}}\cdot \frac{1}{-\sqrt{45}}$

$=4\sqrt{2}\cdot \frac{\sqrt{5}}{2\sqrt{2}}\cdot \frac{-1}{\sqrt{{3}^{2}\cdot 5}}=2\sqrt{5}\cdot \frac{-1}{3\sqrt{5}}=-\frac{2}{3}.$

d) $\begin{matrix}\frac{\sqrt{8{,}5}\cdot \sqrt{15{,}3}}{\sqrt{0{,}45}}=\sqrt{\frac{8{,}5\cdot 15{,}3}{0{,}45}}=\sqrt{\frac{(8{,}5\cdot 10)\cdot (15{,}3\cdot 10)}{0{,}45\cdot 100}} \\ =\sqrt{\frac{85\cdot 153}{45}}=\sqrt{\frac{5\cdot 17\cdot 9\cdot 17}{5\cdot 9}}=\sqrt{{17}^{2}}=17.\end{matrix}$

a) Với với a ≤ 0, ta có:

$2\sqrt{{a}^{2}}-3a=2|a|-3a=2\cdot (-a)-3a=-2a-3a=-5a.$

b) Ta có: $a-\sqrt{{a}^{2}-2a+1}=a-\sqrt{{(a-1)}^{2}}=a-|a-1|.$

Do a > 1 nên a ‒1 > 0, suy ra |a – 1| = a – 1.

Do đó, $a-\sqrt{{a}^{2}-2a+1}=a-(a-1)=a-a+1=a.$

c) $\sqrt{4{a}^{2}-4a+1}+\sqrt{{a}^{2}+6a+9}$

$=\sqrt{{(2a)}^{2}-2\cdot 2a\cdot 1+1}+\sqrt{{a}^{2}+2\cdot a\cdot 3+{3}^{2}}$

$=\sqrt{{(2a-1)}^{2}}+\sqrt{{(a+3)}^{2}}=|2a-1|+|a+3|.$

Do $-3<a<\frac{1}{2}$ nên a + 3 > 0 và $a-\frac{1}{2}<0$ hay 2a ‒ 1 < 0.

Suy ra |a + 3| = a + 3 và |2a – 1| = 1 – 2a.

Khi đó, $\sqrt{4{a}^{2}-4a+1}+\sqrt{{a}^{2}+6a+9}=|2a-1|+|a+3|=1-2a+a+3=4-a.$

a) Ta có: $\sqrt{4{(a-3)}^{2}}-a=2|a-3|-a.$

Do a ≥ 3 nên a ‒ 3 ≥ 0, suy ra |a – 3| = a – 3.

Khi đó, $\sqrt{4{(a-3)}^{2}}-a=2(a-3)-a=2a-6-a=a-6.$

b) $\sqrt{12ab\cdot 3ab}=\sqrt{36{a}^{2}{b}^{2}}=\sqrt{{6}^{2}}\cdot \sqrt{{a}^{2}}\cdot \sqrt{{b}^{2}}=6\cdot |a|\cdot |b|=6\cdot a\cdot (-b)=-6ab.$

c) $\sqrt{5a}\cdot \sqrt{15b}\cdot \sqrt{27ab}=\sqrt{5a\cdot 15b\cdot 27ab}$

$\begin{matrix}=\sqrt{5\cdot 3\cdot 5\cdot 3\cdot 9\cdot {a}^{2}\cdot {b}^{2}}=\sqrt{{5}^{2}\cdot {9}^{2}\cdot {a}^{2}\cdot {b}^{2}} \\ =45\cdot |a|\cdot |b|=45\cdot a\cdot b=45ab.\end{matrix}$

d) $\sqrt{9{a}^{2}{(a-1)}^{2}}=\sqrt{{(3a)}^{2}{(a-1)}^{2}}=|3a|\cdot |a-1|$

Do 0 < a < 1 nên a > 0 và a ‒ 1 < 0.

Suy ra |a| = a và |a – 1| = 1 – a.

Khi đó, $\sqrt{9{a}^{2}{(a-1)}^{2}}=3a(1-a)=3a-3{a}^{2}.$

Ta có: $\begin{matrix}A=\sqrt{0{,}01{x}^{4}{y}^{6}}=\sqrt{{(0{,}1)}^{2}\cdot {({x}^{2})}^{2}\cdot {({y}^{3})}^{2}} \\ =\sqrt{{(0{,}1)}^{2}}\cdot \sqrt{{({x}^{2})}^{2}}\cdot \sqrt{{({y}^{3})}^{2}}=0{,}1\cdot |{x}^{2}|\cdot |{y}^{3}|=0{,}1{x}^{2}{y}^{3}.\end{matrix}$

Thay x = 5; y = 4 vào biểu thức trên, ta được:

A = 0,1 . 5$^{2}$ . 4$^{3}$ = 0,1 . 25 . 64 = 160.

Với a ≠ 0, b ≠ 0, ta có: $\frac{6a}{b}\sqrt{\frac{{b}^{2}}{9{a}^{4}}}=\frac{6a}{b}\cdot \frac{\sqrt{{b}^{2}}}{\sqrt{{3}^{2}\cdot {({a}^{2})}^{2}}}=\frac{6a}{b}\cdot \frac{|b|}{3|{a}^{2}|}$

Với a ≠ 0, b < 0 ta có |b| = – b và |a$^{2}$| = a$^{2}$.

Khi đó, $\frac{6a}{b}\sqrt{\frac{{b}^{2}}{9{a}^{4}}}=\frac{6a}{b}\cdot \frac{|b|}{3|{a}^{2}|}=\frac{6a}{b}\cdot \frac{-b}{3{a}^{2}}=-\frac{2}{a}.$

Với a ≠ 0, ta có: $\sqrt{\frac{4{a}^{2}-4a+1}{{a}^{2}}}=\frac{\sqrt{{(2a-1)}^{2}}}{\sqrt{{a}^{2}}}=\frac{|2a-1|}{|a|}.$

Do $0<a<\frac{1}{2}$ nên a > 0 và $a-\frac{1}{2}<0$ hay 2a ‒ 1 < 0.

Suy ra |a| = a và |2a – 1| = 1 – 2a.

Khi đó, $\sqrt{\frac{4{a}^{2}-4a+1}{{a}^{2}}}=\frac{|2a-1|}{|a|}=\frac{1-2a}{a}.$

Với a < b < 0, ta có:

$(a-b)\cdot \sqrt{\frac{ab}{{(a-b)}^{2}}}=(a-b)\cdot \frac{\sqrt{ab}}{\sqrt{{(a-b)}^{2}}}=(a-b)\cdot \frac{\sqrt{ab}}{|a-b|}.$

Do a < b < 0 nên a ‒ b < 0, suy ra |a – b| = – (a – b).

Khi đó, $(a-b)\cdot \sqrt{\frac{ab}{{(a-b)}^{2}}}=(a-b)\cdot \frac{\sqrt{ab}}{|a-b|}=(a-b)\cdot \frac{\sqrt{ab}}{-(a-b)}=-\sqrt{ab}.$

$\begin{matrix}\sqrt{2}\cdot x-\sqrt{50}=0 \\ \sqrt{2}\cdot x=\sqrt{50} \\ x=\frac{\sqrt{50}}{\sqrt{2}} \\ x=\sqrt{\frac{50}{2}} \\ x=\sqrt{25}\end{matrix}$

x = 5.

Vậy x = 5.

$\begin{matrix}x=-\frac{\sqrt{40}}{2\sqrt{5}} \\ x=-\frac{\sqrt{40}}{\sqrt{{2}^{2}\cdot 5}} \\ x=-\sqrt{\frac{40}{20}} \\ x=-\sqrt{2}.\end{matrix}$

Vậy $x=-\sqrt{2}.$

$\begin{matrix}2\sqrt{5}\cdot x+\sqrt{40}=0 \\ 2\sqrt{5}\cdot x=-\sqrt{40} \\ \frac{3x}{\sqrt{2}}-2\sqrt{18}=0 \\ \frac{3x}{\sqrt{2}}=2\sqrt{18} \\ 3x=2\sqrt{18}\cdot \sqrt{2} \\ 3x=2\sqrt{18\cdot 2} \\ 3x=2\sqrt{36}\end{matrix}$

3x = 2.6

3x = 12

x = 4.

Vậy x = 4

⦁ Ta có công thức tính diện tích của hình vuông ABCD là CD$^{2}$.

Theo bài, ABCD là hình vuông có diện tích bằng 6, nên ta có:

CD$^{2}$ = 6, suy ra $CD=\sqrt{6}$ (do CD > 0).

⦁ Ta có công thức tính diện tích của hình vuông CMNF là CF$^{2}$.

Theo bài, CMNF là hình vuông có diện tích bằng 18, nên ta có:

CF$^{2}$ = 18, suy ra $CD=\sqrt{18}=\sqrt{{3}^{2}\cdot 2}=3\sqrt{2}$ (do CF > 0).

⦁ Diện tích hình chữ nhật CDEF là:

$CD\cdot CF=3\sqrt{2}\cdot \sqrt{6}=3\sqrt{2}\cdot \sqrt{2}\cdot \sqrt{3}=3\cdot {(\sqrt{2})}^{2}\cdot \sqrt{3}=3\cdot 2\cdot \sqrt{3}=6\sqrt{3}.$

Gọi x là độ dài tam giác ABC (x > 0). Khi đoa, AB = BC = CA = x.

Do tam giác ABC đều có AH là đường cao nên đồng thời là đường trung tuyến, suy ra H là trung điểm của BC, do đó $BH=HC=\frac{BC}{2}=\frac{x}{2}.$

Tam giác ABH vuông tại H, theo định lí Pythagore, ta có:

AB$^{2}$ = AH$^{2}$ + BH$^{2}$

Suy ra $\begin{matrix}{x}^{2}={(11\sqrt{3})}^{2}+{(\frac{x}{2})}^{2} \\ {x}^{2}={11}^{2}\cdot {(\sqrt{3})}^{2}+\frac{{x}^{2}}{4}\end{matrix}$

4x$^{2}$ = 4.121.3 + x$^{2}$

3x$^{2}$ = 1 452

x$^{2}$ = 484

x = 22 (do x > 0).

Vậy độ dài cạnh của tam giác đó là 22.