Giải SBT Toán 9 CTST Bài 3. Giải hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn

a) $\{\begin{matrix}2x+3y=-2\ (1) \\ 3x-2y=-3\ (2)\end{matrix}$

Nhân hai vế của phương trình (1) với 3 và nhân hai vế của phương trình (2) với ‒2 ta được: $\{\begin{matrix}6x+9y=-6 \\ -6x+4y=6\end{matrix}$

Cộng từng vế hai phương trình của hệ, ta được: 13y = 0, suy ra y = 0.

Thay y = 0 vào phương trình (1), ta được: 2x + 3.0 = –2. Do đó x = –1.

Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất là (–1; 0).

b) $\{\begin{matrix}3x+5y=-7 \\ 3x-4y=11\end{matrix}$

Trừ từng vế của phương trình thứ nhất và phương trình thứ hai của hệ, ta được:

9y = –18, suy ra y = –2.

Thay y = –2 vào phương trình thứ hai của hệ, ta được:

3x – 4.(–2) = 11 hay 3x + 8 = 11. Do đó x = 1.

Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất là (1; –2).

c) $\{\begin{matrix}2x-5y=-14 \\ 2x+3y=2\end{matrix}$

Trừ từng vế của phương trình thứ hai và phương trình thứ nhất của hệ, ta được:

8y = 16, suy ra y = 2.

Thay y = 2 vào phương trình thứ hai của hệ, ta được:

2x + 3.2 = 2 hay 2x + 6 = 2. Do đó x = –2.

Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất là (–2; 2).

d) $\{\begin{matrix}4x+5y=15\ (1) \\ 6x-4y=11\ (2)\end{matrix}$

Nhân hai vế của phương trình (1) với 3 và nhân hai vế của phương trình (2) với ‒2 ta được: $\{\begin{matrix}12x+15y=45 \\ -12x+8y=-22.\end{matrix}$

Cộng từng vế hai phương trình của hệ trên, ta được: 23y = 23, suy ra y = 1.

Thay y = 1 vào phương trình (2), ta được:

6x – 4.1 = 11 hay 6x – 4 = 11, do đó x = $\frac{5}{2}$

Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất là $(\frac{5}{2};1).$

a) $\{\begin{matrix}3x-2y=10 \\ x-\frac{2}{3}y=3\frac{1}{3}\end{matrix}$

$\{\begin{matrix}3x-2y=10 \\ \frac{3x}{3}-\frac{2y}{3}=\frac{10}{3}\end{matrix}$

Nhân hai vế của phương trình thứ hai của hệ với 3, ta được $\{\begin{matrix}3x-2y=10 \\ 3x-2y=10.\end{matrix}$

Trừ từng vế phương trình thứ nhất và phương trình thứ hai của hệ, ta được:

0x = 0. Phương trình này nghiệm đúng với mọi x ∈ ℝ.

Vậy hệ phương trình có vô số nghiệm. Các nghiệm của hệ được viết như sau: $\{\begin{matrix}x\in ℝ \\ y=\frac{3}{2}x-5.\end{matrix}$

b) Điều kiện: y ≠ 0.

$\{\begin{matrix}\frac{x}{y}=\frac{2}{3} \\ x+y+10=0\end{matrix}$

$\{\begin{matrix}3x=2y \\ x+y=-10\end{matrix}$

$\{\begin{matrix}3x-2y=0\ (1) \\ x+y=-10\ (2)\end{matrix}$

Từ phương trình (2), ta có: y = – 10 – x. (3)

Thay y = – 10 – x vào phương trình (1), ta được: 3x – 2.(–10 – x) = 0. (4)

Giải phương trình (4):

3x – 2.(–10 – x) = 0

3x + 20 + 2x = 0

5x = –20

x = –4.

Thay x = –4 vào phương trình (3), ta được: y = –10 – (–4) = –6.

Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất là (–4; –6).

c) $\{\begin{matrix}x-\sqrt{3}y=0 \\ \sqrt{3}x-2y=2\end{matrix}$

$\{\begin{matrix}x=\sqrt{3}y \\ \sqrt{3}\cdot (\sqrt{3}y)-2y=2\end{matrix}$

$\{\begin{matrix}x=\sqrt{3}y \\ 3y-2y=2\end{matrix}$

$\{\begin{matrix}x=\sqrt{3}y \\ y=2\end{matrix}$

$\{\begin{matrix}x=2\sqrt{3} \\ y=2.\end{matrix}$

Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất là $(2\sqrt{3};2).$

d) $\{\begin{matrix}\sqrt{3}x-\sqrt{5}y=2\ (5) \\ \sqrt{5}x-3\sqrt{3}y=2\sqrt{15}\ (6)\end{matrix}$

Nhân hai vế của phương trình (5) với $-\sqrt{5}$ và nhân hai vế của phương trình (2) với $\sqrt{3}$ ta được: $\{\begin{matrix}-\sqrt{15}x+5y=-2\sqrt{5} \\ \sqrt{15}x-9y=6\sqrt{5}.\end{matrix}$

Cộng từng vế hai phương trình của hệ, ta được: $-4y=4\sqrt{5},$ suy ra $y=-\sqrt{5}.$

Thay $y=-\sqrt{5}$ vào phương trình (5), ta được:

$\sqrt{3}x-\sqrt{5}\cdot (-\sqrt{5})=2,$ hay $\sqrt{3}x+5=2,$ do đó $x=-\sqrt{3}.$

Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất là $(-\sqrt{3};-\sqrt{5}).$

Do đồ thị hàm số y = ax + b đi qua hai điểm A và B nên tọa độ của hai điểm A và B thỏa mãn hàm số y = ax + b.

a) Thay toạ độ điểm A(1; 1) và B(3; 7) vào hàm số y = ax + b, ta được hệ phương trình

$\{\begin{matrix}a+b=1 \\ 3a+b=7.\end{matrix}$

Giải hệ phương trình: $\{\begin{matrix}a+b=1 \\ 3a+b=7.\end{matrix}$

Trừ từng vế của phương trình thứ hai và phương trình thứ nhất của hệ, ta được:

2a = 6, suy ra a = 3.

Thay a = 3 vào phương trình thứ nhất của hệ, ta được:

3 + b = 1, do đó b = –2.

Vậy a = 3, b = –2.

b) Thay toạ độ điểm A(2; 1) và B(4; –3) vào hàm số y = ax + b, ta được hệ phương trình: $\{\begin{matrix}2a+b=1 \\ 4a+b=-3.\end{matrix}$

Giải hệ phương trình: $\{\begin{matrix}2a+b=1 \\ 4a+b=-3.\end{matrix}$

Trừ từng vế của phương trình thứ hai và phương trình thứ nhất của hệ, ta được:

2a = –4, suy ra a = –2.

Thay a = –2 vào phương trình thứ nhất của hệ, ta được:

4.(–2) + b = –3, hay –8 + b = –3, do đó b = 5.

Vậy a = –2, b = 5.

Gọi x, y lần lượt là số chi tiết máy tổ Một và tổ Hai sản xuất được trong tháng 9 (x ∈ ℕ*, y ∈ ℕ*).

Số chi tiết máy hai tổ sản xuất được trong tháng 9 là: x + y (chi tiết máy).

Do trong tháng 9, hai tổ sản xuất được 1 100 chi tiết máy nên ta có phương trình:

x + y = 1 100. (1)

Số chi tiết máy tổ 1 sản xuất trong tháng 10 là: x + 15%x = 1,15x (chi tiết máy).

Số chi tiết máy tổ 2 sản xuất trong tháng 10 là: y + 20%y = 1,2y (chi tiết máy).

Do tháng 10 hai tổ sản xuất được 1 295 chi tiết máy nên ta có phương trình:

1,15x + 1,2y = 1 295. (2)

Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình: $\{\begin{matrix}x+y=1\ 100\ (1) \\ 1{,}15x+1{,}2y=1\ 295\ (2)\end{matrix}$

Giải hệ phương trình $\{\begin{matrix}x+y=1\ 100\ (1) \\ 1{,}15x+1{,}2y=1\ 295\ (2)\end{matrix}$

Nhân hai vế của phương trình (1) với –1,15, ta được: $\{\begin{matrix}-1{,}15x-1{,}15y=-1\ 265 \\ 1{,}15x+1{,}2y=1\ 295.\end{matrix}$

Cộng từng vế hai phương trình của hệ, ta được:

0,05y = 30, suy ra y = 600.

Thay y = 600 vào phương trình (1) ta được: x + 600 = 1 100. Do đó x = 500.

Ta thấy x = 500, y = 600 thoả mãn điều kiện.

Vậy trong tháng 9, tổ Một sản xuất được 500 chi tiết máy, tổ Hai sản xuất được 600 chi tiết máy.

Đổi 30 phút = 0,5 giờ.

Gọi x (giờ) và y (giờ) lần lượt là thời gian ô tô di chuyển hết quãng đường AB và BC (x > 0, y > 0).

Do thời gian ô tô đi hết quãng đường AB ít hơn thời gian đi hết quãng đường BC là 30 phút nên ta có y – x = 0,5 hay x – y = –0,5. (1)

Quãng đường AB ô tô di chuyển với tốc độ 60 km/h là: 60x (km).

Quãng đường BC ô tô di chuyển với tốc độ 55 km/h là: 55y (km).

Tổng chiều dài quãng đường AB và BC là:

60x + 55y = 200 hay 12x + 11y = 40. (2)

Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình: $\{\begin{matrix}x-y=-0{,}5 \\ 12x+11y=44.\end{matrix}$

Giải hệ phương trình: $\{\begin{matrix}x-y=-0{,}5\ (1) \\ 12x+11y=40\ (2)\end{matrix}$

Nhân hai vế của phương trình (1) với 12, ta được: $\{\begin{matrix}12x-12y=-6 \\ 12x+11y=40.\end{matrix}$

Trừ từng vế của phương trình thứ hai và phương trình thứ nhất, ta được:

23y = 46, suy ra y = 2.

Thay y = 2 vào phương trình (1), ta được: x – 2 = –0,5, do đó x = 1,5.

Ta thấy x = 1,5 và y = 2 (thoả mãn điều kiện).

Đổi x = 1,5 (giờ) = 1 giờ 30 phút.

Vậy thời gian di chuyển hết quãng đường AB là 1 giờ 30 phút, thời gian ô tô di chuyển hết quãng đường BC là 2 giờ.

Gọi x (m), y (m) lần lượt là chiều dài và chiều rộng của mảnh vườn (x > 0, y > 0).

Chu vi mảnh vườn là 360 m, nên nửa chu vi của mảnh vườn là: 360 : 2 = 180 (m).

Do đó, ta có phương trình: x + y = 180. (1)

Mảnh vườn có chiều dài bằng $\frac{5}{4}$ lần chiều rộng nên ta có phương trình:

$x=\frac{5}{4}y$ hay 4x – 5y = 0. (2)

Từ (1) và (2), ta có hệ phương trình $\{\begin{matrix}x+y=180\ (1) \\ 4x-5y=0\ (2)\end{matrix}$

Giải hệ phương trình: $\{\begin{matrix}x+y=180\ (1) \\ 4x-5y=0\ (2)\end{matrix}$

Nhân hai vế của phương trình (1) với ‒4, ta được: $\{\begin{matrix}-4x-4y=-720 \\ 4x-5y=0.\end{matrix}$

Cộng từng vế hai phương trình của hệ trên, ta được:

‒9y = ‒720, suy ra y = 80.

Thay y = 80 vào phương trình (1), ta được:

x + 80 = 180, do đó x = 100.

Ta thấy x = 100, y = 80 thoả mãn điều kiện.

Vậy chiều dài của mảnh vườn là 100 m, chiều rộng của mảnh vườn là 80 m.

Gọi x (xe) và y (xe) lần lượt là số xe loại 45 chỗ và 30 chỗ (x ∈ ℕ*, y ∈ ℕ*).

Do nhà trường đã thuê 5 chiếc xe gồm hai loại 45 chỗ và 30 chỗ nên ta có:

x + y = 5. (1)

Số người ngồi trên các xe 45 chỗ là: 45x (người).

Số người ngồi trên các xe 30 chỗ là: 30y (người).

Do có tất cả 195 người chia vào tất cả các xe nên ta có: 45x + 30y = 195. (2)

Từ (1) và (2), ta có hệ phương trình: $\{\begin{matrix}x+y=5\ (1) \\ 45x+30y=195\ (2)\end{matrix}$

Giải hệ phương trình: $\{\begin{matrix}x+y=5\ (1) \\ 45x+30y=195\ (2)\end{matrix}$

Nhân hai vế của phương trình (1) với ‒45, ta được: $\{\begin{matrix}-45x-45y=-225 \\ 45x+30y=195.\end{matrix}$

Cộng từng vế hai phương trình của hệ, ta được: ‒15y = ‒30, suy ra y = 2.

Thay y = 2 vào phương trình (1), ta được: x + 2 = 5, do đó x = 3.

Ta thấy x = 3 và y = 2 thoả mãn điều kiện.

Vậy nhà trường cần thuê 3 xe loại 45 chỗ và 2 xe loại 30 chỗ.

Gọi x (g) và y (g) lần lượt là số gam đồng và kẽm có trong vật đó (0 < x, y < 124).

Vì khối lượng của vật là 124 g nên ta có phương trình x + y = 124. (1)

Thể tích của x (g) đồng là $\frac{10}{89}\text{x}({\text{cm}}^{3}).$

Thể tích của y (g) kẽm là $\frac{1}{7}\text{y}({\text{cm}}^{3}).$

Vì thể tích của vật là 15 cm$^{3}$ nên ta có phương trình $\frac{10}{89}\text{x}+\frac{1}{7}\text{y}=15.\ (2)$

Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình: $\{\begin{matrix}x+y=124\ (1) \\ \frac{10}{89}x+\frac{1}{7}y=15\ (2)\end{matrix}$

Giải hệ phương trình: $\{\begin{matrix}x+y=124\ (1) \\ \frac{10}{89}x+\frac{1}{7}y=15\ (2)\end{matrix}$

Nhân hai vế của phương trình (2) với 7, ta được: $\{\begin{matrix}x+y=124\ (1) \\ \frac{70}{89}x+y=105\ (2)\end{matrix}$

Trừ từng vế phương trình (1) và phương trình (2) của hệ, ta được:

$\frac{19}{89}x=19,$ suy ra x = 89.

Thay x = 89 vào phương trình (1), ta được: 89 + y = 124, do đó y = 35.

Ta thấy x = 89, y = 35 thoả mãn điều kiện.

Vậy vật đó có 89 g đồng và 35 g kẽm.