Giải SBT Toán 9 Chân trời sáng tạo Bài 4. Hình quạt tròn và hình vành khuyên có đáp án

a) Xét ∆OAB cân tại O (do OA = OB) nên $\widehat {AOB} = 180^\circ - 2\widehat {OAB} = 180^\circ - 2 \cdot 45^\circ = 90^\circ .$

Suy ra

b) Độ dài cung AmB là:

${l}_{\overset{\frown}{AmB}}=\frac{π\cdot 2\cdot 90}{180}=π\approx 3{,}14(\text{cm}).$

c) Diện tích hình quạt tròn OAmB là:

${S_{OAmB}} = \frac{{\pi \cdot {2^2} \cdot 90}}{{360}} = \pi \approx 3{,}14\,\,({\rm{c}}{{\rm{m}}^2}).$

d) Do ∆OAB có $\widehat {AOB} = 90^\circ$ nên ∆OAB vuông tại O.

Diện tích tam giác OAB là:

${S_{\Delta OAB}} = \frac{1}{2} \cdot OA \cdot OB = \frac{1}{2} \cdot 2 \cdot 2 = 2\,\,{\rm{(c}}{{\rm{m}}^2}).$

Diện tích hình viên phân giới hạn bởi cung AmB và dây AB bằng:

S$_{OAmB}$ – S$_{∆}$$_{O}$$_{AB}$ = π – 2 ≈ 3,14 – 2 = 1,14 (cm$^{2}$).

a) Xét ∆OAC cân tại O (do OA = OC), suy ra $\widehat {OCA} = \widehat {OAC} = 30^\circ .$

Lại có $\widehat {OCA} + \widehat {OAC} + \widehat {AOC} = 180^\circ$

Suy ra $\widehat {AOC} = 180^\circ - \widehat {OCA} - \widehat {OAC} = 180^\circ - 30^\circ - 30^\circ = 120^\circ$

Do đó $\widehat {DOB} = \widehat {AOC} = 120^\circ$ (đối đỉnh).

Do AB = 3 cm, suy ra $AO = OB = \frac{1}{2}AB = \frac{1}{2} \cdot 3 = 1{,}5$ (cm).

Cung BmD có số đo 120°, bán kính R = 1,5 cm có độ dài là:

${l}_{\overset{\frown}{BmD}}=\frac{π\cdot 1{,}5\cdot 120}{180}=π\approx 3{,}14(\text{cm}).$

b) Diện tích hình quạt tròn OBmD bán kính R = 1,5 cm là:

${S_{OBmD}} = \frac{{\pi \cdot 1,{5^2} \cdot 120}}{{360}} = \frac{3}{4}\pi \approx 2{,}36\,\,({\rm{c}}{{\rm{m}}^2}).$

Diện tích hình quạt tròn ứng với số liệu 45% là:

$45\% \cdot \pi {R^2} = 45\% \cdot \pi \cdot {15^2} = \frac{{405\pi }}{4} \approx 318{,}09\,\,(\;{\rm{c}}{{\rm{m}}^2}).$

Diện tích hình quạt tròn ứng với số liệu 33 % là:

$33\% \cdot \pi {R^2} = 33\% \cdot \pi \cdot {15^2} = \frac{{297\pi }}{4} \approx 233{,}26\,\,(\;{\rm{c}}{{\rm{m}}^2}).$

Diện tích hình quạt tròn ứng với số liệu 22 % là:

$$22\% \cdot \pi \cdot {R^2} = 22\% \cdot \pi \cdot {15^2} = \frac{{99\pi }}{2} \approx 155{,}51\,\,(\;{\rm{c}}{{\rm{m}}^2}).$$

Diện tích hình vành khuyên giới hạn bởi hai đường tròn (O; 8 cm) và (O; 24 cm) là:

S = π(R$^{2}$ – r$^{2}$) = π(24$^{2}$ – 8$^{2}$) = 512π ≈ 1 608,50 (cm$^{2}$).

Gọi C và D là giao điểm của hai đường tròn (A; 50 km) và $\left( {B;\,\,50\sqrt 3 \;\,{\rm{cm}}} \right).$

Ta có: $A{C^2} + B{C^2} = {50^2} + {\left( {50\sqrt 3 } \right)^2} = 2\,\,500 + 7\,\,500 = 10\,\,000;$

AB$^{2}$ = 100$^{2}$ = 10 000.

Ta thấy AC$^{2}$ + BC$^{2}$ = AB$^{2}$, suy ra ∆ABC vuông tại C (định lí Pythagore đảo).

Xét ∆ABC vuông tại C có:

$\sin \widehat {ABC} = \frac{{AC}}{{AB}} = \frac{1}{2},$ suy ra $\widehat {ABC} = 30^\circ .$

Suy ra $\widehat {CAB} = 90^\circ - \widehat {ABC} = 90^\circ - 30^\circ = 60^\circ .$

Tương tự, ta có: $\widehat {ABD} = 30^\circ ;\,\,\widehat {BAD} = 60^\circ .$

Do đó $\widehat {CBD} = \widehat {ABC} + \widehat {ABD} = 30^\circ + 30^\circ = 60^\circ ;$

$\widehat {CAD} = \widehat {BAC} + \widehat {BAD} = 60^\circ + 60^\circ = 120^\circ .$

Xét ∆BCD có BC = BD và $\widehat {CBD} = 60^\circ$ nên là tam giác đều, suy ra $CD = 50\sqrt 3 \;{\rm{km}}.$

Diện tích của hình quạt tròn ACD được giới hạn bởi bán kính AC, bán kính AD và cung nhỏ CD của đường tròn (A; 50 km) là:

${S_1} = \frac{{\pi \cdot {{50}^2} \cdot 120}}{{360}} = \frac{{2\,\,500\pi }}{3}\,\,(\;{\rm{k}}{{\rm{m}}^2}).$

Diện tích hình quạt tròn BCD được giới hạn bởi bán kính BC, bán kính BD và cung nhỏ CD của đường tròn $\left( {B;\,\,50\sqrt 3 \;{\rm{cm}}} \right)$ là:

${S_2} = \frac{{\pi \cdot {{\left( {50\sqrt 3 } \right)}^2} \cdot 60}}{{360}} = 1\,\,250\pi \,\,({\rm{k}}{{\rm{m}}^2}).$

Diện tích tứ giác ABCD là:

${S_{ABCD}} = \frac{1}{2}AB \cdot CD = \frac{1}{2} \cdot 100 \cdot 50\sqrt 3 = 2\,\,500\sqrt 3 \,\,(\;{\rm{k}}{{\rm{m}}^2}).$

Diện tích của khu vực có thể đặt thiết bị thu sóng sao cho thu được cả hai sóng phát từ trạm A và trạm B là

${S_1} + {S_2} - {S_{ABCD}} = \frac{{2\,\,500\pi }}{3} + 1\,\,250\pi - 2\,\,500\sqrt 3 \approx 2\,\,214{,}86\,\,(\;{\rm{k}}{{\rm{m}}^2}).$

Bán kính ngoài của ống thép là: $\frac{{100}}{2} = 50{\rm{\;(mm)}}.$

Bán kính trong của ống thép là: $\frac{{80}}{2} = 40{\rm{\;(mm)}}.$

Mặt cắt ngang của ống thép có hình vành khuyên giới hạn bởi hai đường tròn (O; 50 mm) và (O; 40 mm) nên có diện tích:

S = π(R$^{2}$ – r$^{2}$) = π(50$^{2}$ – 40$^{2}$) = 900π ≈ 2 827,43 (mm$^{2}$) .

a) Bán kính của chiếc bàn hình tròn ban đầu là: $\frac{{1{,}2}}{2} = 0{,}6{\rm{\;(m)}}{\rm{.}}$

Diện tích mặt bàn ban đầu là:

$S = \pi \cdot 0,{6^2} = \frac{{9\pi }}{{25}}\,(\;{{\rm{m}}^2}).$

Theo bài, diện tích mặt bàn tăng gấp đôi sau khi nới nên diện tích phần mặt bàn hình chữ nhật bằng diện tích mặt bàn ban đầu, và bằng $\frac{{9\pi }}{{25}}{\rm{\;}}{{\rm{m}}^2}{\rm{.}}$

Kích thước còn lại của hình chữ nhật là:

$\frac{{9\pi }}{{25}}:1{,}2 = \frac{{3\pi }}{{10}} \approx 0{,}94{\rm{\;(m)}}{\rm{.}}$

b) Chu vi mặt bàn ban đầu là:

$C = 2 \cdot \pi \cdot 0{,}6 = \frac{{6\pi }}{5}{\rm{\;(m)}}{\rm{.}}$

Theo bài, chu vi mặt bàn tăng gấp đôi sau khi nới và phần chu vi tăng lên chính là hai lần độ dài cạnh còn lại của phần mặt bàn hình chữ nhật và bằng $\frac{{6\pi }}{5}{\rm{\;m}}.$

Kích thước còn lại của hình chữ nhật là:

$\frac{{6\pi }}{5}:2 = \frac{{3\pi }}{5} \approx 1{,}89{\rm{\;(m)}}{\rm{.}}$

Diện tích cỏ hai con dê có thể ăn là dạng hai hình quạt có số đo cung cùng bằng 90°.

Truờng hợp 1: Mỗi dây thừng dài 20 m suy ra R$_{1}$ = R$_{2}$ = 20 m.

Diện tích cỏ mà hai con dê có thể ăn là:

$$S = {S_1} + {S_2} = \frac{{\pi R_1^2 \cdot 90}}{{360}} + \frac{{\pi R_2^2 \cdot 90}}{{360}} = \frac{{\pi \cdot {{20}^2} \cdot 90}}{{360}} + \frac{{\pi \cdot {{20}^2} \cdot 90}}{{360}} = 200\pi {\rm{\;(}}{{\rm{m}}^2}{\rm{)}}{\rm{.}}$$

Truờng hợp 2: Giả sử dây thừng cột con dê ở A dài 30 m, dây thừng cột con dê ở B dài 10 m, suy ra R$_{1}$ = 30 m, R$_{2}$ = 10 m.

Diện tích cỏ mà hai con dê có thể ăn là:

$S' = {S_1} + {S_2} = \frac{{\pi R_1^2 \cdot 90}}{{360}} + \frac{{\pi R_2^2 \cdot 90}}{{360}} = \frac{{\pi \cdot {{30}^2} \cdot 90}}{{360}} + \frac{{\pi \cdot {{10}^2} \cdot 90}}{{360}} = 250\pi {\rm{\;(}}{{\rm{m}}^2}{\rm{)}}{\rm{.}}$

Ta thấy 250π > 200π nên S’ > S.

Vậy dùng hai sợi dây 30 m và 10 m thì diện tích cỏ hai con dê ăn sẽ nhiều hơn.